05_Плотность распределения (Лекции)
Описание файла
Файл "05_Плотность распределения" внутри архива находится в следующих папках: Лекции, 02_Случайные величины (общая теория). Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "05_Плотность распределения"
Текст из документа "05_Плотность распределения"
§4. Плотность распределения
Плотность распределения f(X)
(дифференциальная функция)
только для непрерывных с.в.
Подсчитаем количество вероятности, приходящееся на единицу длины оси ОХ
Х Х+∆Х
P (x<X<x+∆x)=F(x+∆x)-F(x)
∆F
На единицу длины приходится количество вероятности, равное
Переходя к пределу при получаем:
плотностью распределения называется первая производная от функции распределения
1 Количество вероятности приходящееся на элементарный отрезок ∆Х
dF=F1(x)dx (8) – элемент вероятности
2 Вероятность попадания в заданный интервал
S(α,β)= Р(α<X<β)
3 f(X) – неотрицательная функция (как производная неубывающей функции F(X)
F(x)>=0
4 Основное свойство плотности распределения:
Если задана плотность, то функция распределения находится по формуле
Примері
Непрерывная с.в. задана плотностью распределения:
f (X) C(X2 – 3X) XЄ(0;3)
0 X Є (0;3)
1 Найти С
2 Найти вероятности попадания в заданные интервалы
3 Найти функцию распределения.
1 X(X-3)
f(X)= -2[(x/3)2 – x/3] XЄ(0;3)
-
ХЄ(0;3)
F (x)= 0 X<0
0<X<3
1 3<X<
Когда мы проводим наблюдения над случайной величиной, мы можем обнаружить, что одни возможные значения появляются чаще, другие реже. Т.е., у одних значений вероятность появления больше, у других меньше.
Примеры:
-
Опыт – бросание кубика.
Случайная величина Х – выпавшее число очков.
Возможные значения {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
-
Опыт – трехкратное бросание монеты.
Случайная величина Х –число выпавших гербов .
Возможные значения { 0, 1, 2, 3 }.
-
Опыт – лекция по теории вероятностей.
Случайная величина Х – число присутствующих студентов.
Возможные значения { 0, 1, 2, …, N }.
-
Опыт – работа банковского служащего в течение часа.
Случайная величина Х – число обслуженных клиентов.
Возможные значения { 0, 1, 2, …, N }.
О3 :Законом распределения вероятностей случайной величины Х (дальше везде будем говорить кратко – Законом распределения) называется всякое правило, устанавливающее соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями того, что она примет эти значения.
Это соответствие можно устанавливать по-разному, в зависимости от того, с какой случайной величиной мы работаем, с дискретной или с непрерывной. Существуют три способа задания закона распределения, которые мы далее по очереди подробно рассмотрим.
Сейчас мы только перечислим их и отметим главное: если закон распределения задан (любым из этих способов) то мы можем прогнозировать поведение случайной величины. Точно предсказать до опыта, какое именно значение примет случайная величина, мы не можем в принципе, но зато мы сможем подсчитывать вероятность того, что она примет то или иное значение, попадет в интересующий нас интервал.
Способы задания закона распределения:
-
Ряд распределения;
-
Функция распределения F(x)
( иногда ее еще называют интегральная Функция распределения)
-
Плотность распределения f(x)
(ее еще называют также дифференциальная Функция распределения )
Следующая схема показывает, когда применяется каждый из этих способов: