Формула полной вероятности.

Событие А может появиться только совместно с одним из событий Н₁, Н₂, …, Н_п, составляющих полную группу попрано несовместных событий (Н_І – гипотезы). Вероятность событий находится по формуле:

Р(А) = Р(Н₁)*Р_Н1(А) + Р(Н₂)*Р_Н2(А) + … + Р(Н_n)*Р_Нn(А) (24)

Например:

Из наугад взятой коробки берут 1 шар. Найти вероятность того, что он белый.

А – появление белого шара

Н₁ – выбор коробки №1

гипотезы Н₂ – выбор коробки №2

Н₃ – выбор коробки №3

А = А*Н₁ + А*Н₂ + А*Н₃

Р(А) = (формула 27)

Р(Н₁) = Р_Н1(А) =

Р(Н₂) = Р_Н2(А) =

Р(Н₃) = Р_Н3(А) =

Р(А) =

Например: система состоит из 2-х элементов с надежностями 0,7 и 0,8.

Формула Бейеса.

Позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как событие А уже произошло.

(28)

Формальное доказательство

Р (Н_i*A) = P(Hi)*P_Hi(A) = P(A) *

Например: Из наугад взятой коробки случайным образом взяли предмет, и он оказался кубиком. Найти вероятность того, что достали его из второй коробки.

Событие А – появление кубика

Н₁ – выбор коробки №1

Н₂ – выбор коробки №2

Н₃ – выбор коробки №3

Р(Н₁) = Р_Н1(А) =

Р(Н₂) = Р_Н2(А) =

Р(Н₃) = Р_Н3(А) =

Р_А(Н₂) =

Например: система состоит из двух элементов, работающих независимо с надежностями 0,7 и 0,8. система испытывалась и вышла из строя. Найти вероятность того, что в отказе системы виноват первый элемент.

А – отказ системы

Н₁ – отказ элемента №1, работа элемента №2 Н₁ = А₁^- * А²

Н₂ – отказ элемента №2, работа элемента №1 Н₂ = А₁ * А₂^-

Н₃ – отказ №1 и №2 Н₃ = А₁^-* А₂^-

Н₄ – работа №1 и №2. Н₄ = А₁ * А₂

Р(Н₁) = 0,3*0,8=0,24 Р_Н1(А) = 1

Р(Н₂) = 0,7*0,2=0,14 Р_Н2(А) = 1

Р(Н₃) = 0,3*0,2=0,06 Р_Н3(А) = 1

Р (Н₄) = 0,3*0,8=0,56 Р_Н4(А) = 0

∑ = 1

Р_А(Н₁) =

Добираясь на работу, служащий имеет возможность выбора трех маршрутов. Первый из них самый короткий, но на нем вероятность опоздания равна 0,25. При выборе второго вероятность опоздания 0,15. На третьем, самом длинном маршруте, эта вероятность равна 0,05. Первый маршрут человек выбирает в 60% случаев, второй - в 30% случаев. Какова вероятность того, что сегодня он успеет на работу вовремя.

Вводим случайное событие A - служащий успевает на работу .

Появлению или не появлению этого события предшествует выбор маршрута.

Т.е. , событие A происходит совместно с одним из событий :

B ₁ - выбор первого маршрута ; P( B ₁) = 0,6 ;

B ₂ - выбор второго маршрута ; P( B ₂) = 0,3 ;

B ₃ - выбор третьего маршрута ; P( B ₃) = 0,1 .

Эти события образуют полную группу и они попарно несовместны, т.е. , это

гипотезы. При условии, что произойдет одно из этих событий, вероятность события А (условная вероятность) равна:

Для подсчета вероятности события А следует пользоваться формулой полной вероятности :

Подставляем в нее записанные выше числа:

P(A) = 0,6 • 0,75 + 0,3 • 0,85 + 0,1• 0,95 = 0,8 .

Итак, вероятность того, что служащий успеет вовремя на работу, равна 0,8.