08_Вероятн произведения событий (Лекции)

Вероятность произведения событий. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

Н

7 кр.

13 бел.

апример: из коробки с цветными шарами достаем один за другим 2 шара (не возвращая). Найти вероятность того, что второй шар белый.

А – первый – белый

В – второй – белый.

Р(В) - ?

P_A(B) =

P_A^-(B) =

Вероятность события в, найденная при условии, что А уже произошло, называется условной вероятностью события В.

Обозначение: P_A(B), P(B/A)

События А и В называют зависимыми, если вероятность одного из них меняется в зависимости от того, произошло второе или нет.

P_A(B) ≠ P_A(B) (22)

События А и В называются независимыми, если P_A(B) = P_A^-(B) = P(B) (23), т.е. вероятность одного из них не меняется от того, произошло второе событие или нет.

Вероятность произведения двух событий равна:

Независимые P(A*B) = P(A)*P(B) (24)

Зависимые P(A*B) = P(A) * P_A(B) (25)

Обоснование формулы (25):

Р(А*В) = Р(А)*Р_А(В)

Например: Достают 2 шара. Какова вероятность того, что оба белые.

А – первый – белый

В – второй – белый.

С – оба белые

С=А*В (зависимые)

Р(С) = Р(А)*Р_А(В) =

По классическому определению:

Например: Производится 2 выстрела. Вероятность попадания первого=0,8, второго = 0,9. Какова вероятность, что будет 2 попадания в цель.

А – попадание в первом выстреле. Р(А) = 0,8

А^- - промах в первом выстреле. Р(А^-) = 0,2;

В – попадание во втором выстреле. Р(В) = 0,9

Р(В^-) = 0,1 ;В^- - промах во втором.

С- два попадания.

С = А*В

Р(С) = Р(А*В) = (независимые) = Р(А) * Р(В) = 0,8*0,9 = 0,72.

Р (А*В*С) Р(А)*Р(В)*Р(С)

Р(А)*Р_А(В)*Р_А*В(С)

Например: Вероятность ошибки при заполнении первого финансового документа = 0,1; второго = 0,05; третьего = 0,15. Найти вероятность того, что:

1. во всех будет ошибка

2. все без ошибок;

3. ошибка только в одном; .

4. допущена хотя бы одна ошибка;

5. допущено не более одной ошибки.

А₁ – ошибка в первом документе. ; Р(А₁) = 0,1; Р(А₁^-) = 0,9;

А₂ – ошибка во втором документе. Р(А₂) = 0,05; Р(А₂^-) = 0,95;

А₃ – ошибка в третьем документе. Р(А₃) = 0,15; Р(А₃^-) = 0,85.

1. В₁ – во всех трех документах ошибки:

В₁ = А₁*А₂*А₃ (независимые)

Р(В₁) = Р(А₁)*Р(А₃)=0,1*0,05*0,15=0,00075

2) В₂ – ошибок нет.

В₂ = А₁^- * А₂^-*А₃^- (независимые)

Р(В₂) = Р(А₁ ^-)*Р(А₂^- )*Р(А₃^- )=0,9*0,95*0,85

3) В₃ – ошибка только в одном.

В₃ = А₁ * А₂^-*А₃^- + А₁^-*А₂*А₃^- + А₁^-*А₂^-*А₃ (слагаемые несовместные, сомножители независимые).

Р(В₃) = 0,1*0,95*0,85 + 0,9*0,05*0,15 + 0,9*0,95*0,15

4) В₄ – хотя бы одна ошибка.

В₄ = А₁ + А₂ + А₃ (совместные)

Р(В₄) = 1-Р(В₄^-) = 1 – Р(А₁^-*А₂^-*А₃^-) = (независимые) = 1-0,9*0,95*0,85.

5) В₅ – не более одной ошибки.

В ₅ = А₁^-*А₂^-*А₃^- + А¹ * А₂^-*А₃^- + А₁^-*А₂*А₃^- + А₁^-*А₂^-*А₃

0 ошибок 1 ошибка