04_Сумма и произведение событий (Лекции)

§3. Операции над событиями

При подсчете вероятности по классическому определению порой бывает достаточно сложно пересчитать число возможных исходов опыта. Кроме того, в большинстве практических случаев вообще нельзя пользоваться классическим определением, ибо нельзя представить исходы как элементарные и равновозможные.

Поэтому в теории вероятностей поступают следующим образом. Представляют интересующее нас сложное событие как некоторую комбинацию более простых событий, для которых или проще пользоваться классическим определением, или относительно несложно поставить опыт, чтобы определить вероятность экспериментальным путем как относительную частоту.

Затем, имея вероятности составляющих, подсчитывают вероятность сложного, составного события.

Таких операций над событиями всего лишь две: сумма и произведение.

О9 : Суммой ( или объединением ) двух событий А и В называется событие С, заключающееся в появлении хотя бы одного из событий А и В.

О бозначение: или

Замечание 1: Здесь и неоднократно в последующем будет использоваться словосочетание «хотя бы одно». Оно означает: одно и больше (здесь, в этом определении: появляется или одно, любое из них, или оба вместе).

О9 : Произведением ( или пересечением ) двух событий А и В называется событие С, заключающееся в совместном появлении этих событий.

О бозначение: или

Поясним смысл этих операций на примерах:

Пример 1:

Опыт – бросание кубика.

События: А – выпадение четного числа очков;

B – выпадение числа очков, большего либо равного 5;

Что представляют собой события: A + B, A · B ?

Чтобы ответить на этот вопрос, запишем, из каких исходов состоят события A и B :

А = { 2, 4, 6 } В = { 5, 6 }

Перебираем по очереди все исходы от 1 до 6 и проверяем, при каких из них появляется хотя бы оно из них:

Выпадает { 1 } – не появляется ни одно ;

Выпадает { 2 } – появляется А ;

Выпадает { 3 } – не появляется ни одно;

Выпадает { 4 } – не появляется А;

Выпадает { 5 } – появляется В;

Выпадает { 6 } –появляются оба.

Собираем все исходы, при которых появляется хотя бы одно из заданных событий:

А + В = { 2, 4, 5, 6 }.

Оба событие вместе (произведение) появятся, только если выпадет 6.

А · В = { 6 }.

Замечание 1: Приведенный пример показывает, что когда мы выясняем, что собой представляют сумма и произведение заданных событий, нужно комбинировать исходы, из которых эти события состоят.

Замечание 2: Пример поясняет смысл вторых терминов, которые используются для названия этих операций. Действительно:

сумма – это объединение исходов, принадлежащих обоим событиям; произведение – это пересечение двух множеств исходов, т.е. исходы, общие для обоих событий.

Замечание 3: Вообще, справедливо такое правило:

всякое событие, это прежде всего исходы, из которых оно состоит.

Пример 2:

Опыт – на числовую ось бросается случайным образом точка.

События: А – координата точки попадает в интервал – 3 < x < 5;

B – точка попадает в интервал 2 < x < 7;

Что представляют собой события: A + B, A · B ?

Задача легко решается, если изобразить эти интервалы на числовой оси, т.е., использовать метод интервалов:

A+B = (-3 <x < 7); A·B = (2 < x < 5)

Пример 3:

Опыт – доставание карты из колоды.

События: А – появление туза;

B – появление карты черной масти;

Что представляют собой события: A + B, A · B ?

A+B – появление любого туза или любой черной карты;

A · B – появление черного туза.

Пример 4:

Что представляют собой события: A + A, A · A ?

Ответ: A + A = A · A = A .

Продумайте, почему, учитывая, что сумма и произведение –

это операции над исходами.

Намного облегчает понимание операций суммы и произведения событий геометрическое представление событий, которое мы рассмотрим в следующем параграфе.

Там же мы продолжим рассматривать примеры этих операций.