§3. Классическое определение вероятности

Классическое определение называется так потому, что было создано основоположниками теории вероятности в самый момент зарождения ее как математической науки.

Оно позволяет во многих случаях определять вероятности событий, не проводя опыты, до опыта, основываясь только на теоретических рассуждениях.

Классическое определение применимо только в тех случаях, когда все результаты опыта можно представить как элементарные и равновозможные.

Исход опыта называется элементарным, если его нельзя разложить на более простые составляющие;

Равновозможность оценивается из условия симметрии.

Для того, что уточнить эти два понятия, рассмотрим пример:

Опыт: бросание кубика:

Можно по-разному перечислять исходы такого опыта.

1 способ 2 способ 3 способ

выпадает 6 “четное число” выпадает 1

выпадает не 6 “нечетное число” выпадает 2

выпадает 3

Не элементарные и

не равновозможные

равновозможные,

но не элементарные

не

выпадает 4

выпадает 5

выпадает 6

элементарные и

равновозможные

1 способ:

Исход «выпадает не 6» не элементарный, его можно разложить на совокупность более простых: «выпадает 1» или 2, или 3, 4, 5.

Кроме того, они и не равновозможны: на кубике только одна грань с цифрой 6 и пять граней с не шестеркой.

2 способ:

Исходы не элементарные (оба), но равновозможные: на кубике три грани с нечетным числом очков и три с четным.

3 способ:

Исходы и элементарны и равновозможны. Число таких исходов равно 6.

При подсчете вероятности по классическому определению как раз и нужно не проводя опыт представить себе все возможные его исходы и пересчитать их количество. При этом исходы нужно формулировать так, чтобы они были элементарными и равновозможными. Не всегда это возможно, но во многих случаях классическое определение прекрасно работает.

Кроме того, те свойства вероятности, которые можно проанализировать с помощью классического определения, переносятся затем и на те случаи, когда классическое определение применить нельзя. Многие идеи, полученные с его помощью, плодотворно переносятся на остальные разделы теории вероятностей.

О8 : По классическому определению вероятность случайного события А подсчи-тывается как отношение:

( 6 )

n – общее число элементарных равновозможных исходов опыта;

m – число исходов, при которых событие появляется (благоприятствующих исходов).

Пример1: Найти вероятность появления герба при бросании монеты.

Задачи на подсчет вероятности по классическому определению удобно решать и оформлять следующим образом.

Сначала описываем опыт, который проводится и, исходя из этого, пересчитываем число исходов такого опыта:

Опыт: бросание одной монеты.

У этого опыта два возможных исхода: выпадение герба или решки.

Удобно записывать эти элементарные исходы следующим образом:

 ₁ =(герб)

₂ =(решка)

Итак, n = 2

После этого описываем событие и пересчитываем число благоприят-

ствующих исходов.

Событие A: появление герба.

Этому событию благоприятствует только один исход: ₁ . Т.е., m = 1.

В ероятность:

Пример 2: Найти вероятность выпадения четного числа очков при

бросании кубика.

Опыт – бросание кубика; n = 6

Событие А – выпадение четного числа очков m = 3;

В ероятность:

Пример 3: Найти вероятность выпадения хотя бы одного герба при бросании двух монет.

Опыт – бросание двух монет.

Исходы: ₁ =( герб, герб); ₂ =( герб; решка);

₃ =( решка, герб); ₄ =( решка; решка).

n = 4

Событие А – выпадение хотя бы одного герба m = 3;

В ероятность:

Пример 4: Найти вероятность того, что при бросании 2х кубиков сумма очков окажется не более 3.

Опыт – бросание двух кубиков.

Каждый элементарный исход – это пара чисел. Выпадает некоторое число на первом кубике и некоторое на втором:

_i =( число; число);

На первом кубике 6 вариантов, на втором тоже. Любое число очков на первом кубике сочетается с любым числом очков на втором, т.е.,

n = 6 ∙ 6 =36.

Событие А – сумма очков не более трех.

Благоприятствующие исходы ₁ =( 1;1); ₂ =( 1;2 ); ₃ =( 2;1 )  m = 3

В ероятность:

Замечание 1:

Для случайного события А только часть исходов являются благоприятствующими, поэтому числитель m всегда меньше знаменателя n, и поэтому

0

( 7 )

< P (A) < 1.

( 8 )

Для достоверного события U все исходы благоприятствующие, m = n, и поэтому

P (U) =1.

У невозможного события V благоприятствующих исходов нет, m = 0 и поэтому

P

( 9 )

(V) =0.

Замечание 2:

Для пользования классическим определением нужно уметь подсчитывать число вариантов. А для этого нужно изучить формулы такого раздела элементарной математики, как комбинаторика.