02_Статистическое определение (Лекции)

§ 2. Статистическое определение вероятности

Когда мы в своей повседневной деятельности прогнозируем свои шансы на успех в условиях случайности, единственным источником информации для нас является наш предшествующий опыт. Если в предшествующих опытах событие появлялось достаточно часто, то и в данном очередном опыте мы оцениваем вероятность как достаточно высокую. Если ранее оно появлялось редко, то мы говорим, что вероятность мала.

Поэтому вполне естественной представляется попытка и в математической теории использовать для подсчета вероятности данные опыта. При создании теории вероятности основоположниками этой науки одним из первых подходов было как раз статистическое определение.

О6 : Проводится серия из N опытов. Фиксируется число M появлений события А. Относительная частота события А – это отношение числа появлений события А к общему числу проведенных опытов:

( 1 )

Пример: монета подброшена 10 раз, герб появился 7 раз.

Событие А – появление герба. N = 10, M = 7.

.

Замечание 1:

Для случайного события А число появлений M меньше числа опытов N (оно потому и случайное, что иногда появляется а иногда нет). Поэтому:

0

( 2 )

< W(A) < 1.

( 3 )

Для достоверного события U, которое появляется во всех опытах, M = N и поэтому

W(U)=1.

Невозможное событие V ни в одном опыте не появляется, M = 0 и поэтому

( 4 )

W(V)=0.

Замечание 2: Полученное число W(A) меняется от одной серии опытов к другой, само носит случайный характер. В других сериях из 10 бросаний герб может появиться 2 раза или 9 раз. Тогда для того же самого события мы получим W(A) = 0,2 или W(A) = 0,9. Правда, если проводить серию из большего числа опытов N , то различие между получаемыми результатами будет значительно меньше:

Экспериментатор	Число бросаний	Число выпадений герба	Относительная частота
Бюффон	4040	2048	0,5080
К. Пирсон	12000	6019	0,5016
К. Пирсон	24000	12012	0,5005

Это явление, когда с возрастанием числа опытов N относительная частота стабилизируется, в практической статистике получило название «Закон устойчивости относительных частот ».

О7 : Статистической вероятностью события А называется число, к кото-рому приближается относительная частота W(A) при увеличении числа опытов N.

( 5 )

Статистическое определение позволяет находить вероятности таких событий, о структуре которых ничего неизвестно и частоту которых нельзя предсказать заранее из теоретических соображений. Например, только статистические данные за многие годы позволили найти вероятности рождения мальчиков и девочек. Оказалось, что эти вероятности отличны от 1/2; вероятность рождения мальчиков равна примерно 0,52.

Статистическое определение вероятности служит базой для всей математической статистики, которая как раз и занимается тем, что устанавливает вероятности экспериментальным путем как относительные частоты.

С другой стороны статистическое определение вероятности имеет целый ряд существенных недостатков. Оно не является достаточно строгим с точки зрения математики; из него даже не видно, всякое ли случайное событие имеет вероятность. В силу этого по статистическому определению трудно изучать свойства вероятности. Непосредственно удается установить лишь следующие три факта:

1) вероятность достоверного события равна единице:

2) вероятность невозможного события равна нулю;

3) вероятность произвольного случайного события есть положительное число, не превосходящее единицы

Наконец, экспериментальное определение вероятности требует материаль-ных и физических затрат на проведение опытов. Иногда многократное повторение опыта в одних и тех же условиях вообще невозможно (проведение экспериментов над сложной экономической системой слишком дорогое и опасное занятие).

Поэтому желательно было бы иметь такой способ подсчета вероятностей, который бы вообще не требовал проведения опытов, позволял бы пользоваться только теоретическими рассуждениями.

Таким является классическое определение вероятности.