Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (С.А. Фролов - Начертательная геометрия), страница 7

вверх от плоскости я,; противоположные направления осей считают отрицательнь.ми. Плоскости проекции делят пространство на восемь частей — октаягов. Октанты условно принято нумеровать, как это показано римскими цифрами на рис. 25. Каждый октант представляет собой прямоугольньш трехгранник, у которого гранями служат части плоскостей проекций (называемые полами), а ребрами — оси координат. е Декарт (1696 — 1660) — французский математик и философ, предложнвцзий систему координат для определения положения системы точек в пространстве. Фь~ ° ~2 вв П у гч 23 Метод лроеячлй Учитывая при отсчете координат точки отмеченные выше направления осей х, у и г, получим табл.

1 знаков координат. Таблица 1 Пользоваться пространственным макетом, показанным на рис. 25, для изображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что на плоскостях л, и л, (показанных на макете) происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры.

Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета пользуются зпюром — чертежом, составленным из двух или трех связанных между собой ортогональных проекций геометрической 4игуры". Преобразование пространственного макета в эпюр осушествляется путем совмеШения плоскостей л, и и, с фронтальной плоскостью а проекции и, . Для совмещения плоскости я, с и, поворачиваем ее на 90 вокруг оси х в направлении движения часовой стрелки (рис. 26) . На рис. 26, для наглядности, плоскость эг, повернута на угол, чуть меньший 90' После совмещения горизонтальной плоскости поворачиваем вокруг оси г также на угол 90' профильную плоскость в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Вместе с полами ч Зпюр — от французского глагола еригег — улучшать, исправлять рисунок. г-у яэ и/ -х Уеэ -У „;, г ул, Рис. 26 Рис. 2Ч йголредгляачыг яоиятия геометрии; ортогоилльиые лроекиии 39 гочки, ярямой, ялоскосги плоскостей проекций будет перемещаться и ось у, при этом ось у, принадлежа- -„:;.': '*"~"':...~:"ч( ' " "::4Ф,"* щая горизонтальной плоскости проек- 'Ф~ь ции, после поворота совпадает с осью х, а::~':лг ',. ось у профильной плоскости — с осью х.

После преобразования пространственный макет примет вид, показанный на рис. 27. х ',' У На этом рисунке указана также последовательность, в которой располагаются ~ф.«',,;",";„:: полы плоскостей проекций, так, запись я, [х, (яз)] указывает, что в этой части эпюра (ограниченного положительным направлением осей х и х) ближе к нам находится верхняя левая пола фронтальной плоскости проекции, за ней располагается задняя левая пола горизонталь- Рнс. 28 ной плоскости проекции, далее — верхняя задняя пола профильной плоскости проекции.

Так как плоскости не имеют границ, в совмещенном положении (на эпюре) границы не показывают; нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций; излишне также напоминать, где отрицательное направление осей проекций. Тогда, в окончательном виде, эпюр, заменяющий чертеж пространственного макета (см. рис. 25), примет вид, показанный на рис.

28. Плоская модель (эпюр) пространственного макета несет такую же информацию, какую содермшт пространственный макет. 2 8. НЕОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ; ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ К основным — неопределяемым — понятиям геометрии относятся: точка, прямюч, плоскость, расстояние и множество; они не могут быть определены с помощью других, более простых (элементарных) понятий. В то же время с помощью системы аксиом возможно установить отношения между отмеченными основными понятиями, которые в дальнейшем служат основанием для формулировки различных геометрических предложений (теорем), составляющих теоретическую базу геометрии.

Учитывая особую роль, которую играют в геометрии, в том числе и геометрии начертательной, основные понятия, целесообразно начать изложение курса начертательной геометрии, связанного с использованием метода проецирования, с рассмотрения ортогональных проекций точки, прямой, плоскости н определения длдны отрезка прямой (являющегося мерой расстояния), заданного ортогональиыми проекциями". По этой же причине проекции точки, прямой, плоскости и определение длины отрезка прямой рассматриваются вместе, несмотря на ° Рассмотрение проекций множества теряет всякий смысл, так как в геометрия имеют дело с множествами, злементамн которых являются точки.

В общем случае множесгво не имеет границ — оно представляет собой пространство, запол. ненное точками. Проекция такого множества покроет все поле проекцнн. Поэтому речь может идти только о проекциях конечного множества, образующего конкрет. ную геометрическую фнгуру. Проекции геометрнческкх фигур будут рассмотрены в гл. П1 н 1У.

39 МегоД проекций то, что прямая относится к разделу линия, плоскость является представителем поверхностей, о которых речь будет идти позже, в гл. П1 и 1Ч, а определение расстояния составляет содержание 9 бб гл. Ч[. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ Точка, как математическое понятие, не имеет размеров. Очевидно, если объект проецирования является нульмерным образом, то говорить о его проецировании бессмысленно, В геометрии под точкой целесообразно понимать физический объект, имеющий линейные измерения. Условно эа точку можно принять шарик с бесконечно малым радиусом.

При такой трактовке понятия точки мсжно говорить о ее проекциях. Более того становится оправданным сделанное ранее (см. с. 13) определение геометрической фигуры как множества всех принадлежащих ей точек. При построении ортогональных проекций точки следует руководствоваты>я первым инвариантным свойством ортогонального проецирования А — А'. Пусть даны в пространстве точка А и три взаимно перпендикулярные плоскости проекции (рис. 29,а). Положение точки в пространстве определяется тремя координатами (х, у, а), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.

Чтобы определить эти расстояния, достаточно через точку А провести прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций, определить точки А', '.", А"' встречи этих прямых с плоскостями проекций и измерить величины отрезков [АА'], [АА" ], [АА'"], которые укажут соответственно значения аппликаты г, ординаты у и абсциссы х точки А.

Точки А', А", А"' называют ортогональными проекциями точки А, при этом согласно принятым обозначениям (см. с. 9): А' — горизонтальная проекции точки А; А" — фронтальная проекция точки А; А"'— профильная проекция точки А. Отрезки: [АА"'] =- [ОА„] — абсцисса точки А; [АА' ] = [ОАу) — ордината точки А; [АА'] = [ОА,] — аппликата точки А,* е Конг1>уентность отрезков [АА 1 = )ОА„), [АА ] = [ОАу), [АА ] = [ОАг) следует нз того, чго пареппепепнпед АА "АгА "А АгОАу прямоугольный. А" А'" ':). у а) Рнс.

29 НеокреДеляеяые понятие геометрию ортоюкееькые проекции 3( тоекк, прямой, плоскость Прямые (АА'), (АА"), (АА"') называются проецирующими прямыми. При этом прямую (АА'), проецирующую точку А на горизонтальную плоскость проекций, называют горизонтально проецирующей прямой. Аналогично: прямые (АА" ) и (АА"') называют соответственно: фронтально (АА") и про4ильно (АА"') проецирующими прямыми. Две проецирующие прямые, проходящие через точку А, определяют плоскость, которую принято называть проецирующей. Чтобы получить эпюр точки А, преобразуем пространственный макет, изображенный на рис. 29,а, так, как это было показано в предыдущем параграфе (см.

рис. 2б и 27) . Фронтальная проекция точки А остается на месте, как принадлежащая плоскости к,, которая не меняет своего положения при рассматриваемом преобразовании. Горизонтальная проекция А' вместе с горизонтальной плоскостью проекции повернется по направлению движения часовой стрелки и расположится на одном перпендикуляре к оси х с фронтальной проекцией А".

Профильная проекция А'" будет вращаться вместе с профильной плоскостью проекции и к концу преобразования займет положение, указанное на рис. 29,б. При этом А"' будет принадлежать перпендикуляру к оси г, проведенному через А", и будет удалена от оси г на такое же расстояние, на какое горизонтальная проекция А' удалена от оси х. Поэтому связь между горизонтальной и профильной проекциями точки может быть установлена с помощью двух ортогональных отрезков [А'Ау] и [АуА"'! и сопрягающей их дуги окружности с центром в точке пересечения осей х, у, г. Отмеченной связью пользуются для нахождения недостающей профильной (или горизонтальной) проекции.

Положение профильной (горизонтальной) проекции по заданным горизонтальной (профильной) и фронтальной проекциям может быть найдено и без проведения дуги окружности. В этом случае связь между горизонтальной и профильной проекциями может быть установлена с помощью ломаной линии А'А, Аео с вершиной А, на биссектрисе угла, образованного осями у, принадлежащими плоскостям к, и к, .

Биссектрису ОА, называют постоянной прямой )е эпюра Монжа. Чтобы определить положение точки А в пространстве, необходимо знать три ее координаты (х, у, г), равные длинам отрезков [АА'"], [АА" ], [АА'1 (см. рис. 29,а) . Величины этих отрезков могут быть легко определены на эпюре рис. 29, б: ]АА ! = [А Ау] = [А Ае]' [АА"! = [А'А ! = [А"'Ае]; ]АА! = [А Ак! = [А Ау]- Попутно отметим, что горизонтальная проекция точки А определяется абсцнссой х н ординатой у; ее фронтальная проекция — абсциссой х и аппликатой г, а профильная проекция — ординатой у и аппликатой г, т. е. А'(х, у); А" (х, г); А"' (у, г) . Из записи (1) следует: 1.

Точка в пространстве удалена: 32 Метод лроехцлй Аналогнчно находнм положение горизонтальной н фронтальной проекций точкн В. Лля этого на пололопельных направлениях осей х н у откладываем соответственно 15 н 5 мм. Этн коордннаты определяют подселенце В'. Фронтальная проекцня принадлежит прямой лнннн связн, проходящей через В перпенднкулярно к осн х, н удалена от этой осн на заданное значенне з = — 10.