Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (С.А. Фролов - Начертательная геометрия), страница 10

Рис. 48,а показывает прямую с — линию наибольшего ската плоскости ет; на рис. 48,б эта линия задана на эпюре Монжа. На рис. 49 показана прямая е( — линия наибольшего наклона плоскости Д (а 1~ Ь) к плоскости проекции тт,. Так как плоскость Д задана параллельными " Ь прямыми и направление фронтального следа плоскости (ой нам не известно, то для определения направления фронтальной проекции Рис. 49 прямой т( необходимо построить фронтальный след плоскости (ой или фронтальную проекцию фронтали этой плоскости.

На рис. 49 проведена фронталь ( (1', (") плоскости () (ее построение проще, чем определение фронтального следа плоскости р). Затем через произвольную точку А" (А Е ()) проведена фронтальная проекция д" (д" 2 г""). Отмечена точка М" = е(" й )". По А" и М" найдены А' и М'. Эти две точки указывают положение горизонтальной проекции прямой т(' — линии наибольшего наклона плоскости () к плоскости проекции тт,. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖЛУ ЛВУМЯ ТОЧКАМИ ([АВ! П тт, ) е [А'В') = [АВ[. ([АВ) П ттт ) е [А В ) ~ [АВ[. Аналогично: Во вгех остальных случаях отрезок проецируется на плоскость проекции с искажением. Прн этом ортогональная проекция отрезка всегда будет меньше его длины. Для установления зависимости между длиной отрезка прямой и длиной его проекций рассмотрим рис.

50,а. В прямоугольной трапеции АВВ'А' (углы при вершинах А' и В' — 'прямые) боковыми сторонами являются отрезок АВ н его горизонтальная проекция А'В', а основаниями — отрезки АА' и ВВ', по величине равные удалениям концов А и В отрезка от горизонтальной плоскости проекции тт, . Проводим в плоскости трапеции АВВ'А' через точку А прямую АВ,, параллельную горизонтальной проекции отрезка АВ. Получим прямоугольный треугольник АВВ,, у которого катет АВ, ~ А'В', а катет ВВ, равен разности аппликат концов отрезка (~ВВ'1 — ~АА'!). Гипо- Расстояние между двумя точками А и В определяется длиной отрезка прямой, заключенного между этими точками. Из инвариантных свойств ортогонального проецирования следует, что ортогональная проекция отрезка будет конгруентна оригиналу лишь в том случае, когда он параллелен плоскости проекции (см.

8 6, свойство Ед): Неоиределяемыгиоилгиа ггпигтрни) ортогонельныеироекиие 43 точке, иримой, илоскостн -4а ~»~-уатв А В, а) Рис. 50 ПРИМЕР. На прямой общего положения о отложить от точки А вправо отрезок длиной 25 мм (рис, 51) . РЕШЕНИЕ:, 1. Отмечаем иа прямой а произволь. яую точку 1 (1, 1 ' ); 2. Определяем длину отрезка [А1 [; 3. На прям зй (А'1а ) от точки А откладываем отрезок А'Ва длиной 25 мм. 4.

Из точки Ва опущением перпеидикуляр иа прямую е'. [АВ1 является горизонтальной проекцией отрезка заделкой длины. 1а Рис. 51 тенуза этого "реугольника равна длине отрезка АВ. . ~В~а = )А~В)т + (~ВВ~) — ),1,1',) т. Зависимость между длиной отрезка н его фронтальной проекцией может быть установлена с помощью треугольника АА,В, в котором гнпотенуэа равна длине отрезка, один из катетов — фронтальной проекции отрезка, а другой — разности удалений концов отрезка от фронтальной плоскости проекции: )АВ)' = )А"В")' + [)АА '[ — )ВВ" [) '. Приведенные примеры показывают, что для графического определения на эпюре Монжа длины отрезка достаточно построить прямоугольный треугольник, взяв за один его катет горизонтальную [фронтальную) прэекцию отрезка, а за другой катет — разность удалений концов отрезка от горизонтальной [фронтальной) проекции. На рнс.

50,6 показано определение действительной величины отрезка АВ с помощью построения треугольника А'В'Ва. На этом же чертеже приведен второй вариант решения задачи — путем построения треугольника А "В" А, на базе фронтальной проекции отрезка. Построение прямоугольного треугольника не единственный графический способ определения длины отрезка. В дальнейшем будут показаны различные способы преобразования ортогональных проекций, с помощью которых можно получить более экономичные решения. С помотцью прямоугольного треугольника можно решать задачу на построение на эпюре проекции отрезка наперед заданной длины. А 44 Метод щюекчий При последующем изложении материала нам часто придется обращаться к параллельным прямым и плоскостям.

В связи с этим целесообразно не только показать задание на эпюре Монжа точки, прямой, плоскости, но и выяснить условия, которые должны быть выполнены для изображения параллельных прямых, плоскостей, прямой и плоскости. В расширенном евклидовом пространстве (пространстве, дополненном несобственными точками и прямыми) две прямые, прямая и плоскость, две плоскости всегда пересекаются. Различие по сравнению с обычным евклидовым пространством состоит лишь в том, что точка пересечения прямых нлн прямой и плоскости и прямая, являющаяся результатом пересечения двух плоскостей, могут быть как собственными, так и несобственными. В последнем случае прямые, прямая и плоскость, плоскости считаются параллельными.

Изображение на эпюре Монжа параллельных прямых, прямой и плоскости, плоскостей базируется на инвариантном свойстве 2з (см. Э 6) ортогонального проецирования. 1. Параллельные прямые. Если а 1~ Ь, то а л Ь в несобственной точке К, следовательно, ее проекции К' и К" будут также несобственными. Поэтомуа'!~ Ь'иа" ~~ Ь", т. е. у параллельных прямых параллельны их одноименные проекции. 2.

Параллельность прямой и плоскости. Если а л а = К вЂ” несобственная точка (иначе а ~~ а), то ее проекции будут также несобственными точками К„' и К ". Поэтому а' ~~ а' и а" ~~ а". а1 Рис. 52 Неочределягмые понятия геометрии; оргогоиалькые яроекиии 45 гочки, крямай, клоскоспч Известно, что прямая, параллельная плоскости, должна быть параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости. Поэтому, чтобы задать на эпюре Монжа прямую а, параллельную плоскости а, необходимо и достаточно в гглоскости и "взять" произвольную прямую Ь и провести а 1~ Ь по правилу, изложенному в и, 1. 3.

Параллельные плоскости. Две плоскости параллельны, если в одной из них можно провести две пересекыощиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым другой плоскости. Поэтому, чтобы задать на эпюре Монжа плоскость а (а О Ь), параллельную плоскости () (т гэ л), достаточно указать проекции пересекакпцихся прямых а и Ь, соответственно параллельных прямых т и и. В частности, если плоскости заданы следами, то у параллельных плоскостей будут параллельны их одноименные следы. На рис.

52 показаны эпюры: параллельных прямых а ~1 Ь (рис. 52,а); параллельных прямой а и плоскости а (рис. 52,б); параллельных плоскостей а и () (рис. 52, в и г) . На рис. 52 в плоскость а (а гэ Ь), плоскость () (пг г1 и), на рис. 52,г плоскости заданы следами. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. В чем состоит реконструкция трехмерного евклидова пространства? 2.

Что такое несобственные элементы пространства". 3. Сформуяи;дуйте основные отношения принадлежности между элементами евклидова пространства. 4. Перечислите основные способы ме. тода проекции. б. Какие преимущества присущи ортогоиаяьному проецированию по сравнению с косоугольным проецированием? 6. Укажите основные инвариантные свойства ортогс нального проецирования.

7. Каким образом пространственная фигура из трех взаимно перпендикулярных плоскостей преобразуется в плоскую модель? 8. Какой октант имеет отрицательное направление всех осей". 9. Какими полами плоскостей проекций ограничены П, П1, Ч1, ЧП октанты? 10. Как обозначаются проекции точки, прямой, плоскости на плоскостях проекций? 11. Как по отношению к осям проек. ций распо гагаются проекции точек, находяитихся в 1, П, П1, ..., ЧШ октантах? 12. Какие знаки имеют координаты к, у, я точки, находящейся в 1, П, П1, ... ..., Ч1П октанте? 13. Какие координаты на эпюре определяют горизонтальную и фронтальную проекции точки? 14.

В каких октантах значения коор. дннат точки отрицательны, в каких положительны? 16. Как определить положение треть. ей проекции точки на безосном чертеже, если известны две ее проекции и три проекции другой точки? 16. Дайте определение и способы нахождения следов прямой я плоскости. 17. Какие линии плоскости называются гяавными, перечислите характерные особенности проекций этих линий на эпюре Монжа. 18. Какие прямые и плоскости называются проецирующими, в чем состоит отличительная особенность их ортогонаяьных проекций? ГЛАВА ?? СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИИ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Трудоемкость и, как следствие, точность графического решения задач часто зависят не только от сложности задач, но и от того, какое положение занимают геометрические фигуры, входящие в условия задачи, по отношению к плоскостям проекций.