Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Отличие от общего случая состоит лишь в том, что за траекторию перемещения точки берется не произвольная линия, а дуга окружности, центр которой находится на оси вращения, а радиус равен расстоянию между точкой и осью вращения. Проследим, как будет изменяться положение точки А при ее вращении вокруг оси (, перпендикулярной плоскости и, (рис. 64). Точка А пер мещается по дуге окружности в плоскости е (о 1 ( и, следовательно, а !| и, ), поэтому эта окружность проецируется на плоскость и, без искажения, а на плоскость н, — в отрезок прямой, параллельной оси х (рис. 64,б) . Таким образом, при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекции, фронтальная проекция точки перемещается по окружности с центром на фронтальной проекции оси вращения, а горизонтальная — по прямой, параллельной оси х.
Вращение точки вокруг осн ( 1н; иллюстрирует рис. 6б,а. Точка В перемещается в новое положение В, по окружности, принадлежащей Рис. 64 Оо~ - '4Щ '-"" х-~,4~м~~ а) Способ ереюеяия еокруг оси, 53 перпендикулярной к плоскости Чюекиии плоскости () 1 й Так как ( 1 п,, то () )) и,. Позтому прн вращении точки вокруг осн, перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекции, ее горизонтальная проекция перемещается по окружности, центр которой принадлежит горизонтальной проекции оси вращения, а фронтальная проекция точки — по прямой, параллельной осн х (рис.
6б,б) . Выяснив характер проекций траекторий перемещения точки ппн ее вращении вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции, легко осуществить перемещение любой геометрической фигуры из заданного положения в частное путем ее поворота вокруг оси ( ). к, (или с, ) . В качестве примера покажем на эпюре Монжа, как осуществляется перемещение отрезка произвольной прямой в частное положение путем вращении вокруг осн, перпендикулярной плоскости проекции. "Для упро..цення геометрических построений здесь, как н во всех других случаях нспользсеання способа врюпення, ось вращения следует выбирать так, чтобы она пересекала вращаемую прямую. гз Г (2 гнс. 66 Рнс.
67 ПРИМЕР П ]АВ] прямой общего поло. ження а перенести в положение, параллельное лт (ркс. 66). Чтобы осуществить такое перемеще. нне, достаточно повернуть ]АВ] вокруг о осн (). и, на1 Н ~та Величину угла р выбирают такой, чтобы после гюворота ]А]В, ] занял по. ложенне )) осн х. Так как точка В принадлежит осн вращения, то она ке будет менять своего положення в процессе преобразования. В1 = В, следовательно, В] =— В' н В 1' —— В". Для на. хождения точки А," необходимо нз А, воссгавнть перпендикуляр к осн х н от. метить точку его пересечення с горнзонтальной прямсй, проведенной через А". ПРИМЕР 2. [СВ] прямой общего положення Ь перевести в положение ).
пт (рнс. 67). Чтобы осуществить перемещение отрезка нз общего положення в проецнруюшее, необходима последовательно выполнить два вращения вокруг осей, перпенднкулярных к плоскостям проекцнй. После первого вращения отрезок пе. реводнтся в положение, параллельное плоскости п1 (нлн лг), н лишь после этого вращением вокруг осн, перпенднкулярной плоскости проекцнн и, (ялн хт) перемещают отрезок в положение, перпендикулярное плоскости пт (нлн к,). На рнс.
67 ]СР] вначале вращением вокруг () 1 хт переведен в положение )! л, (]С] Щ ]) х), затем вращением вокруг (2 ). п~ ]Сг()1] перемещен во фронтально проецирующее положение (]СФ2])- )'. 54 Снасабы преабраэоаания артаганаяьныя проекций с'~ с'с,' с',-с", й 2' ~ 4' 'с,';: 2, ис 4. По горизонтальным проекциям 1',, 3', и 2',, 4', определяем их фронтальные проекции. Если необходимо перевести плоскость в положение !~ л,, то это легко сделать, повернув фронтальные проекции прямых и", и Ь, вокруг оси )с 1 а, на угол у' так, чтобы л," н Ь" ,заняли положение, параллельное оси х. Э Новое положение а, и Лс можно определить и иначе: через 1, и 2, провести с прямые а', и Лс, составляющие с прямой Лсс такой же угол, какой а' и Ь' составляют с Л'.
ля аЬ" В случае перевода плоскости а! = Ь 1 общего положения в частное ~ 4а с „. задача РешаетсЯ аналогично тОльй ::4", ко что рассмотреннььм примей" ~ ээ йс,сс 4э и "эсеЬэ' ам, Р Чтобы плоскость,произволь- но расположенная в пространст- 1 5,",' ве, запила проецирующее положение, достаточно вращением перевести прямую, принадлежащую этой плоскости, в положение, перпендикулярное плоскости проекции. Количество графических построений, которые необходимо выполнить для такого перемещения, может быть сокращено, если взять не произвольную прямую, а горизонталь или фронталь плоскости. Уменьшение графических построений в 'с этом случае происходит благодаря тому, что перевод горизонтали или фронтали в проецирую,р., щее положение можно осущестйс э вить за один поворот, а не за два, как это пришлось бы делать, если поворачивать прямую общего положения.
На рис. 68 плоскость общего положения а, заданная параллельными прямыми и н Ь, поворотом вокруг с си 1 1 л, переведена во фронтально проецирующее положение. Новые проекции прямых а, и Ь, найдены с помощью горизонтали й. Геометрические построения, приведенные на рис. 68, выполняем в следуюшем порядке: 1. В плссскости а проводим горизонталь й (й', й" ) . 2. Врашением вокруг оси 1, проходящей через горизонталь й н перпендикулярную плоскости и,, переводим й (й', й") в положение й, (й'с, йс,'с1~т. 3. При повороте горизонтали на 1 а на такой же угол повернется все множество точек этой плоскости, поэтому для определения нового положения проекций прямых а, и Ь, достаточно повернуть вокруг оси )точки 1, 3 и 2, 4 13 Е а, 4 Я Ь) на тот же 1 чс'*.
55 Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости нроекиии (вращение вокруг линии уровни> й' 11. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ОСИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИИ (ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ЛИНИИ УРОВНЯ) Эффективным приемом, упрощающим решение задач, связанных с определением метрических характеристик плоских фигур, является способ вра>г,ения этих фигур вокруг их линий уровня.
Путем такого вращения можно плоскость, которой принадлежит рассматриваемая фигура, повернуть в положение, параллельное плоскости проекции. В этом случае ортогональная проекция любой принадлежащей плоскости фигуры будет конгруентна оригиналу н, следовательно, позволит определить все метрические характеристики проецируемой фигуры непосредственно по ее проекции без каких-либо дополнительных построений. Очевидно, вращая плоскость вокруг горизонтали, можно перевести ее в положение, параллельное плоскости и,, и получить неискаженный вид горизонтальной проекции. Вращение плоскости вокруг фронтали позволяет перенести ее в положение, параллельное плоскости н,, что обеспечит получение неискаженного вида фронтальной проекции.
Каждая точка плоскости при ее вращении перемещается по окружности, принадлежащей плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Центр окру:кности будет находиться на оси вращения, а величина радиуса вращения равна расстоянию от точки до оси вращения. Если за ось вращения взята горизонталь, то окружность, представляющая траекторию движения точки, будет проецироваться на плоскость л1 в отре. зок прямой, перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали. На плоскость л, окружность проецируется в эллипс, построение которого можно не делать.
Точка пересечения горизонтальных проекций горизонтали и горизонтальной проекции окружности определяет горизонтальную проекцию центра вращения. Аналогично, при вращении плоскости вокруг фронтали любая точка, принадлежащая плоскости, перемещается по окружности, которая проецируется на плоскость с, в отрезок прямой, перпендикулярной фронтальной проекции фронтали. Фронтальная проекция. центра врашения определяется пересечением фронтальных проекций фронтали и окружности. Вращение точки вокруг горизонтали показано на рис.
69. Точка А при вращении вокруг горизонтали >г будет перемещаться по окружности с, плоскость которой >> перпендикулярна оси вращения >>. Чтобы переместить точку в новое положение путем поворота ее вокруг >г, необходимо найти положение центра вращения и определить величину радиуса вра:цения.
Центр вращения О находится в точке пересечения оси вращения Л с плоскостью >>. Чтобы определить величину радиуса вращения ОА, необходимо построить в плоскости л, прямоугольный А О'А'А„*. Лля этого принимаем горизонтальную проекцию О'А' за катет прямоугольного треугольника; второй катет должен быть равен разности аппликат концов отрезка ОА; >г~.> л — л<.>о > = >А1). Гипотенуза с О'А'Ас О'Ас = Я.
Новое, после поворота, положение точки А', находится в месте пересечения дуги окружности, проведенной из горизонтальной * Величину отрезка [ОА1 можно определить и другим путем, например, вращением его вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции; плоскопараллельным перемен;ением или, как зто будет показано и з 13, с помощью замены плоскости проекции. я Словили нрвоорввоввнин орвогонвлвнын нровнний о 2вц — цвн о" й- А', .,О' я=~О'А„~ 1 А ' "6Ав проекции центра вращения О радиусом, равным |О Лв ~, с горизонтальным следом йв р плоскости (). На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
