Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 16
Текст из файла (страница 16)
91 дает наглядное представление о произвольной пространственной кривой линии. 9 17. КАСАТЕЛЬНЫЕ И НОРМАЛИ К ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ ь К алгебраическим линиям, в частности, относятся окружность, эллипс, парабола, гипербгола, астроида, карднонда и др. ее К трансцендентным линиям относятся синусоида, спираль архимеда, циклоида и др. На рис. 92 показана пространственная кривая !. Возьмем на ней произвольную точку М и проведем через нее секущие (МА) и (МВ) .
При приближении точки А к точке М (МА) будет поворачиваться вокруг точки М, и когда точка А совпадет с точкой М, [МА) достигнет своегс предельного положения (луч (, ) . Предельное положение секущей в точке М называется полукасательной к кривой ! в точке М. Каоттельные и лориали к пространственной 71 кривой [МВ) при совпадении точки В с точкой М займет предельное положение 1,. Из чертежа видно, что в точке М к кривой ! проведены две полукасательные, направленные в противоположные стороны. Полу- касательные 1, и (, образуют прямую, которую называют касательной к кривой в данной точке (!М ) .
Через касательную к пространственной кривой в данной точке можно провести пучок плоскостей*. Одна из плоскостей этого пучка, называемая соприкасающейся плоскостью, играет особую роль при исследовании свойств пространственных кривых. Подойти к понятию соприкасающейся плоскости можно путем следующих рассуждений: пусть дана пространственная кривая ! (рис. 93) .
Возьмем на ней произвольную точку М н укажем полукасательные и !э к кривой ! в этой точке. Через точку М проведем две секущие [МА) и [МВ». Обозначим полуплоскость, заданную полукасательной и секущей [МА), а,, а плоскость, определяемую полукасательной т, и [МВ), — и, . При приближении точек А и В к точке М плоскости а, и и, будут проворачиваться вокруг полукасательных. Когда секущие займут положение полукасательных, плоскости а, и а, займут предельное положение.
Так как полукасательные принадлежат одной прямой, то плоскости а1 и и, совпадут, образуя одну плоскость а, которую называют соприкасающейся плоскостью пространственной кривой в данной точке. Соприкасающаяся плоскость может быть определена так же, как предельное положение плоскости, проходящей через три бесконечно близкие точки пространственной кривой линии. Соприкасающаяся плоскость неразрывно связана с движущейся по кривой точкой. Так как каждая точка кривой имеет свою касательнукг (кроме особых точек), то соприкасающаяся плоскость при перемещении по кривой будет все время менять свое положение. При этом она будет не только следовать за касательной к кривой, но, одновременно, и вращаться вокруг нее. К пространственной кривой линии ! в любой ее точке (за исключением некоторых особых точек) можно провести пучок перпендикулярных к ней прямых (рис.
94) """. Множество этих перпендикуляров (нормалей) определяют плоскость, которую называют нормальной плоскостью (). Одна из нормалей этого множества, принадлежащая соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью и, . е Пучком плоскостей называетсв множество всех плоскостей, щюходящих че реэ одну н гу же прямую е; прямая а называется осью этого пучка.
''Пучком прямых называется множество нсех прямых плоскости, проходящих через данную точку М; точка М называетсч центром пучка. !т !м Рис. 91 Рис. 92 72 Пиния 17 1М Рис. 93 Рис. 94 Другую нормаль зтого мноу жества, перпендикулярную к соприкасающейся плоскости, называют бинормалью пг. Бинормаль пг н касательная (М определяют плоскость т, которую называют спрямляющей плоскостью кривой (рис. 95). Трехгранник Френе. Три взаимно перпендикулярные плоскости а,(7 и т (рис. 95), проходящие через одну точку пространственной кривой, обРис. 96 разуют прямоугольный трехгранник, называемый основным или 77одвижным трехгранником. Его называют также трехгранником Френе *. Трехгранник Фрвне используется в качестве системы плоскостей проекций, на которые проецируют пространственную кривую для изучения ее свойств. При этом плоскость а принимают за горизонтальную, плоскость т за фронтальную и плоскость б за профильную плоскость проекции.
Дифференциальные свойства пространственной кривой исследуют по ее плоским проекциям на гранях трехгранника Френе. Б. ПЛС1СКИЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ Кривая линия называется плоской, если все ее точки принадлежат одной плоскости. Основные понятия и определения, приведенные на с. 69 для пространственных кривых, сохраняются с некоторыми изменениями и для плоских кривых линий; плоские кривые могут быть также алгебраическими и трансиендентными. В первом случае уравнение кривой в декартовых координатах может быть представлено в форме т" (х, у) = О, где ((х, у) — целый много- член от х и у.
Определения полукасательной и касательной в точке плоской кри- е По имени Французского математика Жана Фредерика Фреие, предложивше- го его в 1947 г. вой также совпадают с аналогичными определениями для пространственной кривой. В отличие от пространственной кривой, для каждой точки которой может быть проведено множество перпендикулярных к ней прямых, образующих нормальную плоскость, плоская кривая в каждой ее точке имеет только одну нормаль — прямую, перпендикулярную к касательной в данной точке кривой и принадлежащую плоскости кривой.
В инженерной практике часто приходится проводить касательные и нормали к плоским кривым. Рассмотрим графические способы построения этих линий. 3 18. ПРИБЛИЖКННЫК СПОСОБЫ ПОСТРОКНИЯ КАСАТКЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К ПЛОСКОЙ КРИВОЙ Графический способ построения касательной и нормали к плоской кривой базируется на использовании "кривой ошибок'. Для построения этой кривой из точки, через которую долмсна проходить искомая касательная, проводим лучи, пересекающие заданную кривую.
Отмечаем концы хорд, по которым лучи пересекают кривую, и с помощью этих хорд строим "кривую ошибок'*. Сущность способа проследим на конкретных примерах. [М1], [М2], [МЗ], ]М4], при этом длины хорд, расположеикьгн по разные стороны от точки касания М, отложим с разных сторон о~ прямой Ь. Полученные точки соединим плавной кривой т. Пересечение кривой т с прямой 6 укажет точку 1, принадлежащую касательной. Соединив А с М прямой линией, получим искомую касательную 1.
ПРИМЕР 1. Построение касательной к кривой, щюходящей через точку, не прн. надлежащую кривой (рис. 9б) . Пусть даны кривая ! и точка А (А б а О1)Л(А г11). Проведем через точку А ряд секущих вы аы вэ, лл. Отметим точки 1, 1ы 2, 2,, 3, 3,, 4, 4,, в которых эти секущие пересекают кривую 1. Через середины полученных хорд проведем плавную кривую т (лииию т называют "кривой ошибок") . Пересечение линии т с заданной кривой ! определит точку касания М.
(АМ)— искомая касательнаи 1 к кривой 1, прове. денная из точки А. ПРИМЕР 2. Построение касательной к кривой параллельно заданному направлению в (рис. 97) . для определения точки касания М проведем ряд секущих в,, аы еэ, ал параллельно заданному направлению в. ЧеГ, з середины хорд [1 1, ], [2 2з ], [3 Зз ], 4, 44] проведем плавную кривую т и отметим точку М ее пересечения с задан.
ной кривой 1. Точка М будет точкой касания, а прямая 1, проходящая через эту точку параллельно з, искомой касательной. ПРИМЕР 3. Построение касательной к кривой в данной точке касании М (рис. 93). Проведем произвольную прямую Ь, примерно перпендикулярную к искомой касательной, а через точку М ряд секущих а,, л,, вз, ал так, чтобы они пересекали и кривую 1и прямую Ь. От точек пересечения секущих с прямой Ь отложим (иа секущих) отрезки, равные хордам Лрибликеннке снособы жктроснил касательной 73 н нормвли н плоской кривой ПРИМЕР 4, Построение нормали к кривой, проходящей через точку, не принадлежащую данной кривой (рис. 99) .
В плоскости даны кривая ! и точка А, не принадлежащая кривой 1, Примем точку А за центр окружностей разных радиусов, зтн окружности пересекут данную кривую в точках 1, 1ы 2, 2ы 3, З~, 4, 4,, которые примем эа концы хорд. Из концов хорд восставим перпендикуляры. При этом перпендикуляры, восставльлные из точек 1, 2, 3, 4, будут иметь про ивоположиое направление перпендикулярам, восставленным иэ точек 1,, 2ы 3,, 4,. На атил перпендикулярах отложим отрезки, равные длине соответствующих хорд. Полученные точки соединим плавной кривой нь Пересечение гп с 1 укажет положение точки М, через которую пройдет искомая нормаль л(н 1 [1, 1, ]).для проведения нормали к кривой линии параллельно заданному направлению или через данную на кривой точку предварительно надо построить касательную к кривой (см.
примеры 1 и 3 на с. 73), Определив положение точки касания (первый случай) и направление касательной (второй случай), легко провести нормаль к кривой. 74 Льиьи аз -аг а2 ..-а, --а1 Рис 99 Рис. 97 аа ! ич--7 ' а„ Рис. 98 с 19. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ Величина угла а между полукасательными в двух бесконечно близких точках, отнесенная к длине дуги е, заключенной между этими точками, характеризует степень искривленности кривой линии. Чем больше угол и', тем большую кривизну имеет линия. Обозначив кривизну )г, аь можно записать )" =- (нп —, (при Ье - 0), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
