Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Проиллюстрируем сказанное примерами. Приведенные примеры показывают, что проецируемая фигура может занимать по отношению к плоскости проекции или произвольное, или частное положение. В первом случае, как правило, получаются проекции, неудобные для решения задач. В то же время решение задачи значительно упрощается, когда мы имеем дело с частным расположением геометрических фигур относительно плоскости проекции (см. рис. 54 и 57).
Наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры (в случае ортогонального проецирования), при котором получаются проекции фигуры, удобные для решения задач, следует считать: а) положение, перпендикулярное к плоскости проекции, — при решении позиционных задач (см. рис. 54) *; е Определения и деление задач на позиционные и метрические см. в гл. У и У1. ПРИМЕР 1. Требуется определить точку пересечения ("встречи") линии 1 с гшоскостью П (рис. 53).
Так как и пиния 1, н плоскость и занимают произвольное положение как по отношению друг к другу,так иотносительно плоскостей проекций, то ответить на поставленный вопрос непосредственно по пространственному изображению нлн по ортогональным проекциям (зпюру Монжа) без дополнительных графических построений не представляется возможным, В то же время ситуация, заданная на рис. 54,а, позволяет сразу, без каких- либо дополнительных построений, получить ответ.
для решения задачи используем инвариантное свойство 2г (см. 5 6). Точка К, в которой линия 1пересекает плоскость а, как принадлежащая горизонтально проецирующей плоскости, будет иметь горизонтальную проекцию К на горизонтальном следе плоскости Ьеп| К' = 1' Г1 Ьац. Зная положение К', определяем К". На рис. 54,6 приведено решение этой задачи на зпюре Монжа. ПРИМЕР 2, Определить длины сторон АВАНС и величины углов при его верши.
нах. Очевшпш, если плоскость Ь АВС (плоскость а) занимает произвольное положение относительно плоскостей проекций (рис. 55), или перпендикулярное к какой-либо плоскости (рнс. 56), то для решения поставленной задачи необходи. мо выполнить определенные графические построения. В то же время ответ на поставленные вопросы может быть получен без каких-либо графических построений непосредственно нз ортогонаэьных проекций, если плоскость Ь АВС параллельна плоскости проекции (рис. 57,а,б). Зто утверждение базируется на инвариантном свойстве 2д (см.
4 6) . Поиятия и ояредеяеяяя 47 Рис. 53 б) Рис. 54 ! а )еое Рис. 55 Рис, 56 в и 1 ~с в л / )~~и х — с— а) д' С' В' ~се Рис. 57 48 Способы араобразоаанаа сртогонааьни» ароекааб б) положение, параллельное плоскости проекции, — для решения метрических задач (см. рис. 57) . В связи с этим, естественно, возникает вопрос, каким путем можно получить удобные проекции для решения поставленной задачи по заданным неудобным ортогональным проекциям? Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить изменением взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекции. При ортогональном проецировании это может быть достигнуто двумя путями: во-первых, перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве; во-вторых, выбором новой плоскости проекции, по отношению к которой проецируемая фигура, не меняющая своего положения в пространстве, окажется в частном положении.
Первый путь лежит в основе способа плоскопвриллельного перемещения; второй — составляет теоретическую базу способа зимены плоскостей проекций. Рассмотрим каждый из этих способов в отдельности. ), Л ЮС()Г, |ИОСКОИЛРАЛЛКЛЬНОГО ЛГИ.М НЦН)ИЯ Изменение взаимного положения проецнруемой фигуры и плоскостей проекций способом плоскопараллельного перемещения осуществляется ° путем перемещения геометрической фигуры в новое положение так, чтобы траектории перемещения ее точек находились в параллельных плоскостях.
В зависимости от положения этих плоскостей по отношению к плоскостям проекций и вида кривой (траектории перемещения точки) различают несколько способов плоскопараллельного перемещения: 1. Способ параллельного перемещения. Плоскости — носители траекторий перемещения точек параллельны плоскости проекции. Траектория — произвольная плоская линия. 2. Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекции.
Ппоскости — носители траекторий перемещения точек параллельны плоскости проекции. Траектории — дуги окружностей, центры которых находятся на оси, перпендикулярной плоскости проекции. 3. Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекции (вращение вокруг линий уровня) . 4. Способ вращения вокруг оси, принадлежащей плоскости проекции (вращение вокруг следа плоскости) . Рассмотрим каждый из этих способов в отдельности.
э 9. СПОСОБ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ Для параллельного перемещения (переноса) справедливо утверждение, которое может быть выражено в виде следующей теоремы. при тьэраллельном переносе геометрической фигуры относительно плоскости проекции проекция фигуры ни эту плоскость хотя и ме- Способ иараллельного иеремеиьенил 49 Рис.
58 няет свое положение, но остается конгруентной проекции фигуры в ее исходном положении. Докажем зту теорему для случая, когда проецируемая фигура плоская и ее плоскость принадлежит плоскости уровня Ф С а, плоскость а ~[ и, (рис. 58). В зтом случае на основании инвариантного свойства 2д (см. ч 6~ горизонтальная проекция Ф' будет конгруентна самой фигуре Ф (Ф' = Ф).
Прн переьаещении фигуры Ф в новое положение Ф, фигура Ф, будет конгруентна <1>, так как: а) расстояние между точками фигуры не меняется; б) в процессе перемещения фигура Ф все время остается в плоскости и. В силу параллельности плоскостей а н и, Ф, =- Ф,, но Ф, = Ф, а Ф = Ф', следовательно, Ф, = Ф'. Доказанная теорема будет справедлива и в случае, когда геометрическая фигура занимает произвольное положение относительно плоскости проекции. Отметим еще два свойства параллельного перемещения: 1.
При всяком перемещении точки в плоскости, параллельной плоскости проекции и,, ее фронтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси х. 2. В случае произвольного перемещения точки в плоскости, параллельной и,, ее горизонтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси х. Справедливость отмеченных свойств может быть легко показана на простом примере.
Возьмем плоскость а, параллельную горизонтальной плоскости проекции и, (рис. 59) . Пусть точка А е о переместится из положения А в А, (А А, ) . двигаясь в плоскости о по произвольной траектории (1,, 1, или 1, ). Очевидно, фронтальная проекция точки А" переместится в А,", при атом [А "А,"[ принадлежит следу тла, который параллелен оси х ([А "А,"[ С 1ла [[ х) . На рис. 59,б показано перемещение точки В~(1 [[ и,. Из чертежа видно, что горизонтальная проекция траектории перемещения точки В из первоначального положения в новое В, представляет [В'В', [ с )ьог [[ х и не зависит от вида линии — траектории перемещения точки из положения В в В,.
Пользуясь приведенной теоремой и отмеченными своиствами, легко построить новые проекции геометрической фигуры по заданным ее ортогональным проекциям, и, в частности, такие ее проекции, которые 50 Слоеойы лреобраюиании орюгональнык проекций соответствуют отмеченным выше (см. с. 48) частным положениям проецируемой фигуры по отношению к плоскости проекции. Проследим на примерах использование способа параллельного перемещения для перевода произвольно расположенной геометрической фигуры в частное положение.
Для перевода отрезка прямой, произвольно расположенной в пространстве, в положение, параллельное плоскости х,, потребовалось выполнить только одно перемещение отрезка параллельно плоскости проекции. Для перевода отрезка из общего положения в проецирую- Л !ач А~ , ъ(~ В' а) б) ор Рнс.
69 П , с с ()",с" о" Ьг В' а' Ьор Ьаи Ь' Ьт Рис. 61 Рис. 60 ПРИМЕР 1. [.4В] прямой общего положения а перевесгн в положение, параллельное плоскости лт (рис. 60) У [ЛВ], параллельного плоскости лы горизонтальная проекция должна быть па[оаллельна осн к. Поэтому переводим [Л В'] в новое полажение [А[В[], параллельное оги х. Перемещение отрезка в новое пояс жение осуществляем так, чтобы любые его точки двигались в плоскостях, параллельных плоскости л1.
Прн таком перемещении новая горизонтальная проекция конгруентна исходной [Л!В[ ] =- [Л'В'] (на основании теоремы с. 49), Фронтальные проекции точек отрезка [Л "В" [ будут перемещаться в новое по- поженив по прямым, параллельным осн х (свойство 1, с,49).
На рнс. 60 графические построения выполнены в указанной ниже последовательности; 1) через произвольную точку Л', провели прямую о[, параллельную осн х; 2) отложили на ней от точки Л, отрезок [Л'1 В', ] Ю [Л'В']; 3) нз точек Л1 н В, восставнлн перпендикуляры к осн х н нашли точки пересечения нх с соответствующими гори. зонтальнымн прямыми, проведенными чеРез точки Л н В н Полученные точки Л1, В1 являются концами Фронтальной проекции отрезка [Л, В, ], паРаллельного плоскости хт, Сноеоб параллельного неравен(енин 1 [ в", УО./ ге, А" )ае с", )срг ()(', А' 0«1 В2 А', Рис.
62 Рис. 63 шее необходимо последовательно выполнить два его перемещения параллельно плоскостям проекции: вначале перевести отрезок в положение, параллельное плоскости и, (или н,) путем перемещения параллельно пчоскости н, (или н, ), затем перевести отрезок в положение, перпендикулярное л, (или и, ) . На рис. 61 [СР) вначане переведен в положение ((л, ([С, Р, ) ), затем перемещением параллельно плоскости н1 — в положение 1 лз ([СаРт ] ) .
ПРИМЕР 2. [СР[ прямой общего положения Ь перевести в положение 1 на (рис. 61) . Зная характер геометрических построений, которые необходимо выполнить для перемещения отрезка из общего положения в проецирующее, можно легко перевести плоскость, произвольно расположенную в пространстве, в частное положение (параллельное или перпендикулярное плоскости проекции) .
На рис. б2 показан перевод плоскости общего положения а()гоп, )е„) в новое о~ (/гео,, гео, ), прн этом и, 1 и,. Как видно из чертежа, перевод плоскости и в положение о, осугцествлен с помощью горизонтали Й, которая переведена в положение И, 1 и,, поэтому и и, 1 и,. Следует обратить внимание на то, что расстояние с! остается постоянным: ( Ь О и 6 ! ( й е и 1 й 1 [ Рис. бй дает представление о преобразовании ортогональных проекций Ь АВС, определяющего плоскость общего положения (), в проекции Ь А, В,С,, задающего плоскость рг (('н,.
Геометрические построения выполнены в последовательности, указанной индексами, поставленными у проекций точек справа внизу. Выполненньге на эпюре построения соответствуют перемещению плоскости в пространстве вначале ~( н, во фронтально-проецирующее положение (Ь А, В, С, ), затем перемещением (( н, плоскость треугольника переведена в положение (( н1 (Ь АзВаСз ) . 52 Сноеоби нрееораюааниа оргоеоненънь и орое ни и й з 10. СПССОБ ВРА)ЦЕНИЯ ВОКРУГ ОСИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИИ Вращение вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекции, является частным случаем параллельного перемещения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
