Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 13
Текст из файла (страница 13)
70 описанные выше построения выполнены на зпюре Монжа. Характер и последовательность геометрических построений, которые необходимо выполнить для перемещения плоскости, произвольно расположенной в пространстве, в положение, параллельное плоскости проекции л,, вращением вокруг линии уровня, показаны на рис. 71, на котором плоскость а, заданная пересекающимися прямыми а и Ь, переведена вращением вокруг своей фронтали ~ в положение, параллельное плоскости л,. Плоскость а однозначно определяется также тремя точками 1, 2 и А. Так кнк точки 1 и 2 принадлежат фронтали 1, которая принята за ось вращения, то они не меняют своего положения в процессе преобразования. Поэтому, чтобы задать новое положение плоскости а, ~| л,, достаточно осуществить поворот только одной точки А. Ниже приводится последовательность геометрических построений, которые необходимо выполнить для поворота точки А: 1) провести горизонтальную проекцию фронтали плоскости а — 1'(1', 2'); 2) пользуясь точками 1', 2', найти точки 1", 2", определяющие фронтальную проекцию фронтали ~"; 3) нанти проекции центра вращения (О', О"), для чего через А" провести прямую, перпендикулярную к Г" ', и отметить точку пересечения перпендикуляра с 1 — точку О; 4) определить величину радиуса вращения, как гипотенузу прямоугольного треугольника О"А"Ав, у которого катет А"Ав = ~у(.)А У )О(' () ) из центра О" провести дугу радиусом О"Ав, точка пересечения которой с прямой О"А ' укажет положение А,".
Точка А, совместно с прямой 1" (точками 1, 2) определяет плос- кость а, й л,. Сносов вращения вокруг оси, нринадлнясащей 51 нлоскости нроекиии (совмещение) з 12. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ОСИ, ПРИНАЛЛЕЭ(АЩЕЙ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИИ (СОВМЕЩЕНИЕ) Совмещение является частным случаем вращения плоскости вокруг горизонтали и фронтали. При совмещении за ось вращения принимается не произвольная горизонталь или фронталь плоскости, а ее горизонтальный или фронтальный след (нулевые горизонталь или фрон- таль). В этом случае в результате поворота плоскости она совпадает (совмещается) с плоскостью проекции л,, если вращение осуществляется вокруг горизонтального следа плоскости, либо с и, при вращении вокруг ее фронтального следа. Совмещение так же, как и вращение вокруг горизонтали или фронтали, применяется, когда требуется определить истинный вид фигур, принадлежащих плоскости, или построить в плоскости общего положения фигуру заданной формы и размеров.
Сущность способа совмещения можно уяснить из рассмотрения рис. 72,и. Плоскость общего положения се вращается вокруг следа Ьво до совпадения ее с горизонтальной плоскостью проекции. При этом преобразовании след )гоп, как ось вращения, останется на месте. Поэтому для нахождения совмещенного положения плоскости достаточно найти совмещенное положение только одной принадлежащей ей точки (не лежащей на следе Ьв о) . В качестве такой точки целесообразно (для упрощения графических построений) взять точку А, принадлежащую фронтальному следу. Точка А (А'А") при вращении вокруг оси )гво будет перемещаться по дуге окружности, принадлежащей плоскости (), перпендикулярной к оси вращения. Графические построения, которые необходимо выполнить на эпюре Монжа для определения положения точки А, приведены на рис, 72,а (как видно из рисунка, они аналогичны построениям, выполненным на рис.
70). Совмещенное с плоскостью проекции положение фронтального следа ~о се, определяется точками Х„и А', . Следует иметь в виду, что любая геометрическая фигура плоскости се при ее солэмещении с плоскостью проекции н, проецируется в конгруентную ф~лгуру. Поэтому [ХвА"), указывающий расстояние от точки схода слелсв Х„до А", принадлежащей фронтальному следу, конга) б) Рне.
72 58 Сноеобы нреобрнэонннин оргогоналннын проенцнб эоа . в" ( ~ М' с' й, Рис. 73 руентен (Х,„А',] на совмещенном положении следа 1оег,. В связи с М" этим положение точки А'„а следовательно, и следа эоа, мож- 1 С Оеа О й но определить не пепи зуя центром и радиусом вращения. Ж,". Для этого достаточно из точки Ха 1 А" Хо (рис. 72, б) описать дугу ] радиусом, равным расстоянию ~ХеэА"), до ее пересечения с прямой (горизонтальным следом йор плоскости )э, в кото- Р(, э рой будет перемещаться точка 41 г-'. ~г'» ' О М А), проведенной через А' пер- пендикулярно к йоц.
Через по,г' ', ' и' лученную точку пройдет фрон- Р. з , . й тальный след плоскости )'оеэ, при совмещении его с плоскостью н, . В Д 9 ... 12 мы познакоми- -' 'О' лись с различными способами Оа перевода геометрической фигуры, занимающей общее положение в пространстве, в частное положение. Иногда приходится решать обратную задачу, связанную с построением проекций плоской фигуры заданной формы и размеров, принадлежащей плоскости общего положения. Решение такой задачи можно выполнить, используя способ совмещения. План решения задачи следующий: 1) созмещаем плоскость, которой должна принадлежать фигура, с какой-либо плоскостью проекции; 2) строим (вычерчиваем) на совмещенном положении плоскости требуемую фигуру; 3) **поднимаем'* (поворачиваем) плоскость вместе с изображенной на ней фигурой в пространство.
Графические построения, которые надо выполнить, чтобы "поднять" плэскость в пространство, аналогичны построениям, выполняемым при совмещении плоскости с плоскостью проекции, только выполняются они в обратной последовательности. В кг.честве иллюстрации покажем решение задачи на построение проекци'л окружности с, принадлежащей плоскости общего положения о, если известно положение ее центра О и величина радиуса ее (рис. 73) . Графические построения осуществляем в последовательности, ука. занной в приведенном выше плане решения. Плоскость о совмещаем с плоскостью н, так же, как это было сдела- но на рис.
72,б. Затем через точку О (О', О" ) проводим фронталь |'(э", ~") и горизонталь й(й', й") плоскости а и находим их совмещенное положение гг ()6 (! 6э, ) и й,(й, и йое„). Центр окружности О е ~, поэтому для определения положения центра достаточно через горизонтальную проекцию О провести прямую, перпендикулярную оси вращения йоеэ, и отметить точку ее пересечении с совмещенной фронталью (горизонталью) .
Из центра О', проводим окружность с', заданным радиусом В. Отмечаем точки г'г,', М',, С',, О',, в которых (', и й, пересекают окружность с, . По М', находим М' (М Е )', следовательно, М' Е 1'); М', перехо- бб Сиособи иреобраяоааиия ортогоиальиг~х ироекииб иг своего псложения, т. е. мы осуществляем переход от системы х— и и, к новой системе х, †.
Плоскость и, пересекается с плоскостью л, по з прямой и,, которая определяет новую ось проекции. Положение горизонтальной проекции А' точки А остается без изменения, так как точка А и плоскость и, не меняли своего положения в пространстве. Для нахождения новой фронтальной проекции точки А ' достаточно спроецировать ортогонально точку А на плоскость их. Из чертежа видно, что расстояние от новой' фронтальной проекции Аои точки А до новой осн х, равно расстоянию от старой фронтальной проекции А" до старойосих (!А"'Ах,! !А Ах!) ° Чтобь| перейти от пространственного макета к эпюру, необходимо совместить плоскость х, с плоскостью чертежа.
Метод замены плоскостей проекций предусматривает совмещение новой плоскости с той из старых плоскостей, к которой она перпендикулярна. В рассматриваемом случае ввиду перпендикулярности плоскостей и, и и, плоскость иг совмещена с и,. За ось вращения принята новая ось проекций х,. Направление поворота не оказывает никакого влияния на результат преобразования. Поворот следует делать в таком направлении, при котором новые проекции не накладываются на старые и не затрудняют чтения чертежа. На рис. 74,а совмещение плоскости и, с и, осуществлено вращением ее по направлению движения часовой стрелки.
Равенство аппликат новой А"' и старой А" фронтальных проекций точки А и использование в обоих случаях прямоугольного проецирования делают построение новой фронтальной проекции чрезвычайно простым Оно состоит в том, что через старую горизонтальную проекцию точки проводят прямую, перпендикулярную к новой оси, и откладывают на ней от точки пересечения с осью отрезок, равный расстоянию от старой фронтальной проекции до старой оси (рис. 74,б) .
Замена горизонтальной плоскости и, новой плоскостью и, и пост- иг роение новых проекций точки А в системе х, —, осуществляется аналогично тслько что рассмотренному случаю, с той лишь разницей, что теперь остается без изменения фронтальная проекция точки, а для нахождения новой горизонтальной проекции А"' точки А необходимо из старой фронтальной проекции точки опустить перпендикуляр на новую ось х, и отложить на нем от точки пересечения с осью х, отрезок, равный расстоянию от старой горизонтальной проекции до старой оси х.
Построения, выполненные по этому правилу, приведены на рис. 7б. На рис. 7б показан отрезок (АВ), произвольно расположенный в проа1 о Рис. 74 Замена двух плоскостей проекний 61 В" и оА"' )вчч А"' Рис, 75 Рис. 77 Рис. 76 странстве, и его новая фронтальная проекция на плоскость и,, которой он параллелен. Все построения ясны из чертежа и не требуют пояснения. На рис. 77 приведено решение задачи, при котором плоскость обще.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
