Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е. кривизна — предел отношения у гли между иолукосительнтими к соответствующей дуге. В общем случае кривизна в каждой точке плоской кривой будет различнсй (исключение составляют только окружность и прямая, для которых кривизна в ли>бойс их точке постоянна; для прямой она равна нулю]. Графически определить величину кривизн(и в данной точке кривой можно с помощью окружности (круги) кривизны Окружностью кривизны в данной точке А кривой ( называют предельное положение окружности, проведенной через точку А и две другие бесконечно близкие ей точки А, и А,, также принадлежащие кривой 1 (рис.
100) . Радиус такой окружности т называют радиусом кривизны, а ее цент) Π— центром кривизны. Чем меньше величина радиуса кривизны, тем больше искривлена линия. Позтому количественная характеристика кривизны определяется величиной, обратной радиусу кривиз- 1 ны )т= —, Зволюэг и эвельеенлг 75 (л В е(в А, - .=Мгт — — 'с! .- 1„, ! и! ф'с, Рне. 10! 11! А, А А Рис.
100 ьч 20. П!'ИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ЦЕНТРА КРИВИЗНЫ КРИВОЙ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ Из рис. 100 видно, что окружность кривизны в точке соприкасания имеет общун! с кривой 1 касательную (,г и нормаль лл. Этим свойством можно воспользоваться для графического определения центра кривизны кригзай в данной точке. Пусть даны кривая!и точка М, принадлежащая этой кривой (рис. 101) . Возьмем на кривой 1 ряд произвольных точек А, В, С. Проведем через них полукасательные !А, !и, 10 и отложим на них равные отрезки произвольной длины.
Через полученные точки А,, В,, С, проведем плавную кРивУю 1,. КасательнаЯ !лт к кРивой 1 в точке М пеРесечет кРивУю 1, в точке М, (кривую 1, называют эквитингенциильной относительно 1, а кривую 1 относительно 1, называют триктрисой). Проведем через М нормаль лм к кривой 1, а через точку М, — нормаль лм к кривой 1, и ! найдем пеРесечение ноРмалей ллт и ллт, точка пеРесечениЯ О Укажет положение центра кривизны для тачки Л)1 кривой 1. (ОМ) равен радиусу 1 кривизны тм, а отношение )г = — „— кривизне кривой 1 в данной точке М. 21. ЭВОЛК)ТА И ЭВОЛЬВЕНТА Определение эволюты и эвольвенты неразрывно связано с понятием кривизны кривой линии. Если определить положение центров кривизны О,, О,, ..., Он ряда, принадлежащих данной кривой 1 (рис.
102), точек А,, А,, ..., А„и соединить их плавной кривой, то получим кривую т, называемую эволытой кривой 1. Итак, эволюти есть множество точек, лвггнющихсл центрами кривизны шнии. Кривая ! по отношению к кривой т (своей зволюте) называется звольвентой. Образование эвольвенты можно представить из рассмотрения рис. 103. Отметим на кривой т ряд точек М, М,, М,, ..., М„. Примем их за вершины ломаной линии. Из тачки М, как из центра проведем дугу окружности М1,! радиусом т, =- !МгМ~ (точка 7! ~ М,М,).
Затем из точки М, проведем дугу радиусом т, = !М,В, ! и отметим точку ее пересечения с продолжением звена М,М, ломаной линии М,М,Мз. 1 ~1 ! тг (МзМг ). Далее проведем дугу радиусам тз = ~Мз1г ~ и определим положение тачки В, — (з = 1!1 з тг (Л(,Мз ). Следуя описанным путем, можно определить точки 1 г, ..., 1,п. Множество точек 1,г, 1,г, ..., 1,л образуют центровую кривую 1. Если число сторон ломаной линии М, М,, Мг, ..., М„неограниченно возрастает, то в пределе получим кривую нг и соответственно кривую 1, состоящую из после- 76 Линии ь„ Ряс. 103 Рис. 102 довательных дуг окружностей монотонно изменяю1цихся радиусов. Кривая ! есть эвольвента кривой гл. Эвольаенты находят широкое применение в технике.
В частности, профили зубьев различных зубчатых передач имеют форму эвольвенты окружности. Ввиду широкого использования эволют и эвольвент в инженерной практике целесообразно отметить некоторые их свойства, вытекающие непосредственно из рассмотренных способов построения. 1. Эвслюта представляет собой множество точек, являющихся центрами кривизны всех точек эвольвенты. 2. Касательные эвалюты являются нормалями эвольвенты.
3. Вся кая плоская кривая липин имеет бесчисленное множество эвольвент. 4. Через каждую точку касательной к эволюте проходит одна и только одна эвольвента. 5. Длина дуги зволюты ранна абсолютному значению разности радиусов кривизны эвольвенты в концах ее дуг. 0 22. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ КРИВОЙ Вид кривой ! вблизи некоторой точки М с единственной касательной ! зависит от характера движения точки вдоль касательной и направления поворота касательной.
Поясним это утверждение на примерах. Пусть по кривой ! движется точка М (рис. 104). Перемещение точки М, (М, ~ !) в положение М, (М, ~ !) можно рассматривать как движение тачки по дуге кривой ! в направлении, указанном зеленой стрелкой. Проведем через точки М, и М, касательные к кривой !. Точку Мс можно рассматривать не только с позиции ее принадлежности к кривой ), но и как принадлежащую касательной 1„.
В этом случае перемещение точки Мс (Мс Е 1,) в положение М, (М, ~ 1, ) следует трактовать как движение точки по касательной в направлении, указанном зеленой стрелкой. Причем для того чтобы точка Мс е 1, заняла положение М, Е (,, необходимо, чтобы касательная 1, при переходе в положение 1, поворачивалась в направлении, указанном стрелкой. При перемещении точки М, в положение М, направление ее движения вдсль кривой (касательной) по сравнению с участком МсМ, не меняется; не меняется и направление поворота касательной г, . Классификация ючек плоской криаои 77 Из рассмотрения рис. 104 видно, что характер движения точки по кривой (, выявленный для участков МоМ,, М, М,, сохранится и на других участках М,М,, ..., М„1М„.
Все рассмотренные точки (М„М,, М„..., М„) кривои ( и проведенные через них касательные ((о, (л) обладают общим свойством: направление движения точки вдоль кривой (и касательной) и направление поворота касательной не меняются. Такие точки и проведенные через них касательные к кривой называют соответственно: обыкновенной (регулярной) гочкой и обыкновенной (регулярной) касательной. Кривую ), состоящую только из регулярных точек, называют пас~аной кривои.
На рис. 105 изображена плавная кривал и указаны принадлежащая ей регулярная точка М и проведенные через нее касательная и нормаль к кривой й Если направление движения точки или поворота касательной меняется, то мы будем иметь дело с особой точкой и особой касательной. На рис. 106 показана кривая ( и указаны принадлежащие ей точки Мо М1 ° М. Мз, Мз с проведенными через них касательными (о, Н, б (з, Мы видим, что ни в одной из указанных точек направление их движения вдоль кривой не меняется. Что касается направления вращения касательной, то оно меняется на противоположное в точке М.
Такую точку называют точкой перегиба. В точках перегиба касательная меняет вместе с направлением вращения и сто ону кривой. Две ветви е кривой расположены по, разные стороны от о шей касательной 1 и по разные стороны от нормали и. На рис. 107 показана кривая! 'с особой то(кой М, которая называется точкои возврата первого рода или заострвнной ~анкой.
В точках возврата первого рода две ветви кривой располагаются по одну сторону от нормали и по разные стороны от касательной. Рис. 108 дает представление о точке возврата второго рода*. Мы видим, что в точках возврата второго рода две ветви кривой расположены по одну сторону от общей для обеих ветвей касательной и по одну сторону от нормали. В точках возврата второго рода изменяется не только направление движения точки по кривой, но и направление вращения касательной. Кроме отмеченных, к особым точкам кривой относятся: а) угловая точка (рис. 109). В угловой точке (ее называют также точкой излома) направление кривой и касательной к ней изменяется "скачком", и поэтому кривая имеет в точке М две касательные н, соответственно, две различные нормали; "Точку возврата второго рода называют также "клюв".
М Рис. 104 Рвс. 105 78 дичин лс 12 М (и, и, пр Рис. 108 Рис, 106 (,и(, Рис. 110 Рис. 109 б) узел, или многократная гочки (рис. 110) . В узловой точке кривая пересекает саму себя. В зависимости от числа самопересечений узловые точки могут быть: двойными, тройными и т. д.
На рис. 110,0 и б показаны двойные, на рис. 110,в — тройная точка. 8 23. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ЛИНИИ Для построения ортогональных проекций кривой (пространственной или плоской) необходимо построить проекции ряда точек, принадлежащих атой кривой, и соединить между собой одноименные проекции в той же последовательности, в 'какой они располагались на оригинале. При задании кривой ее проекциями необходимо указать по крайней мере проекции одной точки, принадлежащей кривой. Действительно, если на проекциях кривой ( (рис. 111) не указать проекции точки А (А, А ), то по одним только проекциям Р и )" нельзя судить о форме кривой, Следует также иметь в виду, что по двум ортогональным проекциям кривой нельзя сразу ответить на вопрос о том, какой кривой (плоской или пространственной) соответствуют данные проекции.
Чтобы Оргогонельные проекции линии 79 Вн е т 1 Рис. 111 Рис. 11г установить, какая (плоская или пространственная) кривая линия задана на эпюре, необходимо выяснить, принадлежат ли все точки кривой одной плоскости: если принадлежат — кривая плоская, в противном случае— пространственная. Заданная на рис. 112 кривая 1 — пространственная, так как точка М, взятая на кривой, не принадлежит плоскости а, определяемой тремя другими точками А, В, С этой кривой. СВОЙСТВА КРИВЫХ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ При построении ортогональных проекций кривых необходимо знать те свойства этих кривых, которые сохраняются (инвариантны) при проецировании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
