Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 19
Текст из файла (страница 19)
)и указаний о характере перемещения линии л, при этом указания могут быть заданы также !' графически, в частности с помощью направляющей поверхности т. В процессе образования поверхности линия л может оставаться неизменной или менять свою форму. )Подвижная линия я * называется оГ>рпэующей, неподвижные линии Э е1, ...~ "" и поверхность т— нип рпвлл ю щ им и.
Процесс образования поверхности может быть легко уяснен на примере, показанном на рис. 115. Здесь в качестве образующей взята плоская кривая ~, Закон перемещения кривой д задан двумя направляю- 1 шими и, и йз н плоскостью т, при этом имеется в виду, что образующая л скользит по направляющим 3, и 2з, все время оставаясь параллельнои плоскости у, а точка А, принадлежащая образующей ~, переме.
щается по кривой с), . Описанный способ образования поверхности называется кинемотическим. Кинематическим способом можно образовать и с его помощью задать на чертеже разнообразные поверхности. Каркас поверхности Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже является задание поверхности множеством принадлежащих ей точек или линий, при этом точки или линии выбираются так, чтобы они давали возможность с достаточной степенью точности определять форму поверхности и решать на ней различные задачи. Упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности, наэывиетсл ее киркпсом. *а — образующая, от латинского слова белесо — образую, порождаю.
»» о' — направляющая, от латинского слова елг1ао — направляю. 1. х)1 у 2. х,юАМ, Рнс 115 84 Поверхность В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями, каркасы подразделяют на точеча ные и линейные. Линейным каркасом называется множество линий, имеющих единый закон образования и связанных между собой определенной зависимостью.
Условия, устанавливающие связь между линиями каркаса, называют зависимостью каркаса. Эта заРнс. 116 висимость характеризуется некоторой изменяющейся величиной, называемой параметром каркаса. Линейный каркас считается непрерывньин, если параметр каркаса— непрерывная функция, в противном случае он называется дискретным.
В качестве линий, образующих каркас, обычно берут семейство плоских кривых, полученных в результате сечения поверхности пучком параллельных плоскостей. В основе теории каркаса лежит положение о том, что непрерывное однопараметрическое множество линий в пространстве задает поверхность, и, наоборот, всякая поверхность может быть представлена однопараметрическим множеством линий, свойства которых и закон их распределения в пространстве определяют своиства поверхности.
Для того чтобы по каркасу можно было судить о форме поверхности и иметь возможность осуществлять расширение дискретного каркаса до непрерывного, поверхности следует задавать каркасом, образованным двумя семействами плоских сечений. На рис. 116 показан каркас поверхности, состоящий из двух ортогонально расположенных семейств линий а,, а„а,, ..., а„и Ь,, Ь„Ь„..., Ь„.
При необходимости заданный каркас может быть расширен путем проведения дополнительных линий а; и Ь; в интервале между соседними линиями семейства ( а ... ~ и (Ь ...~ соответственно. й 26. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ Поверхность с позиции кинематнческого способа ее образования рассматривают как множество всех положений движущейся линии (или поверхности). При таком подходе к образованию поверхности можно утверждать, что поверхность будет задана (определена), если в любой момент движения образующей будут известны ее положение и форма, а это, в свою очередь, позволит однозначно ответить на вопрос, принадлежит ли точка пространства данной поверхности или нет.
Кинематический способ образования поверхности подводит нас к понятию определителя, под которым мы будем подразумевать необходимую и достаточную совокупность геометрических фигур и связей между ними, которые однозначно определяют поверхность.
В число условий, входящих в состав определителя, должны быть включены: 1. Пе)эечень геометрических фигур, участвующих в образованйи поверхности. 2. Алгоритмическая часть, указывающая на взаимосвязь между этими фигурами. Олрсделагсль ловерхлосщ 85 Итак, определитель поверхности состоит из двух частей: из совокупности геометрических фигур (первая часть) и дополнительных сведений о характере изменения формы образующей и законе ее перемещения (вторая часть) .
Чтобы отличить первую (геометрическую) часть определителя от второй (алгоритмической) части, условимся заключать первую — в круглые, а вторую — в квадратные скобки; тогда в общем случае определитель поверхности будет иметь следующую структурную форму: Ф (Г); [А], где (Г) — геометрическая часть, [А] — алгоритмическая часть.
Для того чтобы определитель относился к конкретному виду поверхности„необходимо в каждую часть определителя вложить конкретное содержание. Следует иметь в виду, что прн задании поверхности можно в ряде случаев вместо геометрических элементов задавать числовые параметры. Например, любая сфера будет отличаться от всех других сфер только величиной радиуса Л, поэтому, задавая числа, указывающее значение я, мы определяем одну единственную сферу. Очевидно, числовым параметром конической поверхности вращения может служить угол между образующей и осью конической поверхностна. Параметры поверхности бывают двух видов; параметры фоРмы и паРаметРы положения.
Параметры, изменение которых вызывает изменение формы поверхности, называют параметрами формы. Параметры, изменение которых приводит к изменению положения поверхности в пространстве, называют параметрами положения. Сумма условий, определяющих совокупность всех независимых параметров поверхности, называется ее параметрическим числом. Параметры формы. В только что рассмотренных случаях параметр К для сфж ры и ~ ~в' для конической поверхности относятся к параметрам формы. Число параметров, изменяющих форму поверхности, может быть любым целым положительным числом, начиная с нуля.
Так, например; число параметров формы лля плоскости равно нулю; для сферы — единице. Если поверхность зацепа своим уравнением в канонической форме, все параметры формы входят в это уравнение. Параметры положения. Число параметров, характеризующих положение поверх. ности в пространстве, не может быть меньше трех н больше шести. Так, например: для плоскости оно равно трем, для трехосного эллипсоида — шести.
Если уравнение, определяющее поверхность, составлено для произвольного положения поверхности, то оно содержит не только все параметры формы, но и все параметры положения, т. е. число независимых параметров уравнения в этом случае равно параметрическому числу поверхности. Чтобы найти (установить) определитель поверхности, следует исходить иэ кинематического способа ее образования.
Так как поверхность может быть образована различными путями, очевидно одна и та же поверхность может иметь различные определители, например, поверхность прямого кругового цилиндра (цилиндрическую поверхность вращения) с кинематической точки зрения можно представить: а) как след, оставляемый в пространстве прямой я при ее вращении вокруг оси ( (рис. 117,и); при этом определитель цилиндрической поверхности вращения будет иметь внд * В обоих случаях положение поверхности в пространстве не учитывалось. Вб 11оеерхлопь а] б) в) Рис. 117 б) как след от вращения кривой я, принадлежащей поверхности прямого кругового цилиндра, вокруг оси 1 (рис.
117,б); в этом случае определитель поверхности можно записать: Ф (а' ') ' (а1 = ЕВ(В)1' в) как результат поступательного перемещения окружности я, при этом центр окружности О перемещается вдоль оси 1', а ее плоскость а все время остается перпендикулярной к этой оси (рис. 117,в); тогда определитель поверхности можно записать: те Ф (я, 1); Д = Т; (Д) А (О е 1) А (В с а ! 1) ); г) как огибающую всех положений сферической поверхности )), центр О которой перемещается по оси 1 (рис.
117гг); определитель в этом случае примет вид Ф ()), 1'); ())1 = Т) (Д ) А (О Е 1) ) . Иэ множества определителей поверхности обычно выбирают наиболее простой; в рассматриваемом случае таким определителем будет Ф(а, '); (4= )11(6) () 27. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕК1(ИИ ПОВЕРХНОСТИ Вы уже знаете, что две ортогональные проекции на две непараллельные плоскости однозначно определяют положение точки и положение и вид линии. Переходя к рассмотрению ортогоиальных проек- * В. — преобразование (рассматрнвается как вращение вокруг оси 1), переводя- $ щее любые точки А и В в'такие точки Л, и В,, что )АВ) = )А~ В~ ~.
"ь Т вЂ” преобразование (рассматривается как параллельное перемещение), переводящее точки Л и В в такие точки А, и Вы что ~АВ) = )А, В~ ). Ортоеональньье проекции повернноеги 87 ций поверхностей, мы обнаруживаем, что некоторые поверхности не могут быть заданы свсими проекциями.
В справедливости этого утверждения можно убедиться на примере проецирования простейшей поверхности — плоскости. Действительно, если мы будем проецировать все точки плоскости, занимающей произвольное положение по отношению к плоскостям проекций, то проекции множества точек плоскости покроют полностью все плоскости проекций. Зто произойдет потому, что плоскость является незамкнутой поверхностью — она может быть безгранично продлена в любом направлении. Не только незамкнутые поверхности невозможно задать проекциями всех принадлежащих им точек, но и ряд замкнутых поверхностей при определенной ориентации их к плоскостям проекций не могут быть определены (заданы) ортогональными проекциями их точек, например, если ось поверхности кольца занимает положение, перпендикулярное к плоскости проекции, то кольцевую поверхность можно задать ее двумя ортогональными проекциями (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
