Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 18
Текст из файла (страница 18)
К таким свойствам относятся: 1. Касательные к кривой проецируются в касательные к ее проекциям. 2. Несобственным точкам кривой соответствуют несобственные точки ее проекции. При проецировании плоских кривых в дополнение к отмеченным будут справедливы следующие свойства: 3.
Порядок проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой. 4. Число узловых точек (точек, в которых кривая пересекает саму себя) на проекции кривой равно числу узловых точек самой кривой*. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ВИНТОВОЙ ЛИНИИ Из пространственных кривых в технике находят широкое применение винтовые линии. Винтовую линию можно рассматривать как результат перемещения точки по поверхности вращения. Коли зафиксировать положение точки на поверхности прямого кругового цилиндра острием хорошо заточенного карандаша, а затем начать вращать цилиндр вокруг его оси и равномерно перемещать карандаш вдоль оси цилиндра, то острие карандаша опишет на цилиндрической поверхности пространственную кривую, называемую цилиндрической винтовой линиейе*.
Ось цилиндрической поверхности будет * Случаи, когда касательная проецируется в точку (свойства 1), а плоская криная в прямую (свойства 3 и 4), ие учитываются. *е Если движение точки будет происходить по поверхности врагдення другого нида, например конической или сферической, то получим соответственно коническую и сферическую винтовые линии.
3() Линия осью винтовой линии, а радиус цилиндрической поверхности — радиусом винтовой линии. Если вращение цилиндра и прямолинейное перемешение карандаша равномерны, то получим цилиндрическую винтовую линию, называемую геласой, т. е. гелиса является траекторией движения точки, равномерно врашаюшейся вокруг оси и одновременно перемешаюшейся с постоянной скоростью вдоль этой оси.
Величину Р перемещения точки в направлении оси, соответствующую одному ее обороту вокруг оси, называют шагом винтовой линии. Для построения проекции винтовой линии, в частности гелисы, предварительно строим проекции прямого кругового цилиндра (рис. 113). Окружность основания цилиндра (горизонтальная проекция гелисы) делим на одинаковое число равных частей. На такое же число частей делим шаг (на фронтальной проекции). Из точек деления окружности проводим линии связи, а через соответствуюшие точки деления шага— А Во, А' 3 Определение длины пространственной кривой 81 по ее оргогонллънмм проекциям горизонтальные прямые. Отмечаем точки 1", 2", 3",, 8", в которых пересекаются соответственные прямые.
Соединив полученные точки (1', 2", 3", ..., 8") плавной кривой, получим фронтальную проекцию винтовой линии. Цилиндрические винтовые линии подразделяют на правые и левые (с правым или левым ходом) . Основанием для такого деления служит направление движения точки, "спускающейся" по винтовой линии. Если проекция этого направления на плоскость, перпендикулярную к оси винтовой линии, совпадает с направлением движения часовой стрелки, то винтовая линия — праного хода, в противном случае винтовую линию считают левой. На рис.
113 показана правая винтовая линия. Гипотенуза треугольника 1,, 1, „1„, изображенного на рис. 113 справа, является разверткой гелисы на протяжении ее шага. Цилиндрическая винтовая линия вполне определяется радиусом, шагом и ходом. 8 24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ ПО ЕЕ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПРОЕКЦИЯМ На рис.
114 даны две проекции пространственной кривой !. Чтобы определить длину кривой, необходимо осуществить ее спрямление. Спрямление пространственной кривой, заданной ортогональными проекциями, осуществляется следующим путем: 1. Спрямляем горизонтальную проекцию кривой А'В' в (А, В, ) . Для этого намечаем на !' ряд точек 1', 2', 3', ... так, чтобы дуги, заключенные между этими точками, мало отличались по длине от стягивающих их хорд.
Откладываем длины хорд )А'1'), (1'2'), ~2'3'~, ..., )6'В'~ на горизонтальной прямой а в последовательности, которую они занимали на проекции кривой. 2. Из точек А,, 1,, 2,, 3,,, В, прямой а восставляем перпендикуляры и отмечаем точки их пересечения с горизонтальными прямыми, проведенными через соответствующие фронтальные проекции точек А", 1", 2", 3", ..., В".
3. Полученные точки пересечения А,, 1„2„3„..., В, укажут вершины ломаной линии, выпрямив которую, получим отрезок [Ае, Ве, ], равный длине пространственной кривой с точностью аппроксимации дуг кривой их хордами. ВОПРОСЪ| ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Дайте определение пространственной и плоской кривой. 2. Что называется порндком алгебраической кривой и как можно определить его, если кривая (плоская или пространственная) задана графи.
чески? 3. Перечислите свойства кривой линии, инвариантные относительно параллельного проецирования. 4. Назовкте "особые точки" кривой и дайте их определение. 5. Что такое соприкасаклцаяся плоскость? 6. дайте определение трехгранника Ф рене. 7. Расскажите, как можно построить касательную к плоской кривой: а) проходящую через заданную точку, не принаилежашую кривой, б) проходишую через точку, заданную на кривой; в) параллельную заданному направлению. 8. Что такое эвольвента и эволюта плоской кривой? Лайте определения и укажите основные свойства этих кривых.
9. Что называется кривизной плоской кривой в данной точке? Как можно опре. делить ее граФически? 10. Что такое шаг винтовой линии? 11. Как построить на чертеже цилиндрическую винтовую линию? 12. Как можно определить длину дуги пространственной кривой па ее ортогональным проекциям? ГЛАВА х ч( ПОВЕРХНОСТЬ Мир поверхностей разнообразен и безграничен. Он простирается от элементарной, отличающейся простотой и математической строгостью плоскости, до сложнейших, причудливых форм криволинейных поверхностей, не поддающихся точному математическому описанию. Без преувеличения можно сказать, что по разнообразию форм и свойств, по своему значению при формировании различных геометрических фигур, по той роли, которую они играют в науке, технике, архитектуре, изобразительном искусстве, поверхности не имеют себе равных среди других геометрических фигур. Естественно, что начертательная геометрия как наука, передающая результаты своих теоретических исследований в распоряжение инженера для их практического использования, не может обойти вниманием такие важные геометрические фигуры, какими являются поверхности.
11()11ЯТИЯ И 0111'1'~'11..(И! 1И51 В математике под поверхностью подразумевиется непрерывное множество точек, между координитами которых может быть устиновлени зивисимость, определяемия в декиртовой системе координат уривнением вида г (х, у, г) = О, где т (х, у, з) — многочлен и-и степени, или в форме кикой-либо тринсцендентной функции. В первом случае поверхности называют алгебраическими, во втором — трансцендентными. Если алгебраическая поверхность описывается уравнением и-й степени, то поверхность считается и-го порядка.
Любая произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет сама поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые) .
В начертательной геометрии геометрические фигуры задаются графически, поэтому целесообразно рассматривать поверхность как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующееся на основных элементарных геометрических понятиях, таких, как точка и множество. Действительно, если принять, что положение движу- шейся в пространстве линии будет непрерывно меняться с течением времени б и принять т за параметр, то поверхность можно рассматривать как непрерывное однопараметрическое множество линий. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности.
поверхностью называется непрерывное двупараметрическое множество точек. Образование иоеерзиости и си задание $3 иа эпюре Маяки 25. ОБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ЗАДАНИЕ НА ЭПЮРЕ МОНЖА Ранее отмечалось, что поверхность можно рассматривать как со- Э вокупность последовательных положений некоторой линии я, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Для получения наглядного изображения поверхности на чертеже (эпюре Монжа) закон перемещения линии я целесообразно задавать графически в виде совокупности линий 11д, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
