Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1. Поверхность косого цилиндра с тремя направляющими (см. табл. 4, рис. 130) . Эта поверхность может быть задана на эпюре Монжа проекциями трех криволинейных направляющих и пересекающей их прямолинейной образующей. 2. Поверхность дважды косого цилиндроида (см. табл. 4, рис. 131) . Она образуется в том случае, когда две из трех направляющих кривые, а третья — прямая линия.
В инженерной практике находят применение частные случаи поверхностей этого вида. Поверхность косого клина. Эта поверхность получается в том случае, когда все трн направляющие расположены в параллельных плоскостях, причем криволинейные направляющие — гладкие кривые.
Поверхность косого клина используется при конструировании поверхности крыла летательного аппарата (рис. 134) . При этом достигаются хорошие технологические условия изготовления его каркаса. Поверхность косого перехода. Для образования поверхности косого перехода в качестве криволинейных направляющих берут дуги окружностей одинакового радиуса, расположенные в параллельных плоскостях, а в качестве третьей направляющей — прямую, перпендикулярную к плоскостям окружностей и проходящую через середину отрезка, который соединяет центры окружностей (рис.
133) . Поверхности косого перехода применяются в архитектуре и строительной практике. 3. Поверхность дважды косого коноида (см. табл. 4, рис. 132) . Эта поверхность образуется в том случае, когда одна из трех направляющих кривая, а две другие — прямые линии. 4. Поверхность однополостного гиперболоида (см. табл, 4, рис. 133) . Поверхность однополостного гиперболоида может быть получена при движении прямолинейной образующей по трем скрещивающимся прямым, не параллельным одной плоскости.
На рис. 136 поверхность однополостного гиперболоида задана прямыми направляющими Ы,, с(1, А и показаны образующие ~,, дг и Юг ° Определение положения образующей рассмотрим на примере построения прямой л,. На направляющей е(, отмечаем произвольную точку 1 (1', 1"). Эта точка совместно с направляющей дг (прямая «(г для упрощения геометрических построений принята горизонтально проецирующей) определяет плоскость (). Находим точку 2 = Иг гг )гоз. Точки 1 и 2 определяют образующую а,. Аналогично находят проекции прямых оог И Кз ° Рис, 134 Рис. 135 Линейчатн!е новернностн с тремя нанравляющиии 99 (грунин А И! 2" дан Рис.
737 Рис. 136 Поверхность однополостного гиперболоида обладает одним замечательным свойством: направляющие с(!, с(е, с(„можно принять за образующие, а образующие д!, г,, уа считать направляющими, при этом получится та же самая поверхность, т. е. определители (и с(! с(2 с(3 ) (н) ( с(! с(2 с(3 ) ! ~! '(' (с(; а, а~, аа ) ' И, " ( г, к~, а. ~ ч б)! тождестненны. Иными словами, в однополостном гиперболоиде имеются два семейства прямолинейных образующих, причем образующие одного семейства не пересекаются между собой, но каждая из образующих одного семейства пересекает все образующие другого семейства.
Можно представить случай, когда три прямолинейные образующие могут быть совмещены друг с другом путем вращения вокруг некоторой оси. В этом случае вся поверхность может быть образована вращением только одной иэ трех образующих вокруг этой оси. Покажем, что при этом получается поверхность однополостного гиперболоида. Пусть прямая я (рис. 137) вращается вокруг оси ! (прямая й и ось ! скрещивающиеся) . Проведем прямую а, пересекающую ось ( в точке А. Прямые а и !' определяют мерндиональную плоскость поверхности, которая образуется вращением прямой й.
При вращении прямой а вокруг оси ( образуется коническая поверхность вращения, заданная на чертеже двумя положениями образук>шей а!, а, и осью !. Прямая у, не параллельная этой конической поверхности, пересечет ее в двух точках. Допустим, что этими точками будут М и Х. При вращении прямая д пересечет прямые а, и а! в точках М,, й!! и М,, М,, т.
е. произвольная прямая меридиональной плоскости пересекает меридиан поверхности в двух точках..Это говорит о том, что меридиан этой поверхности — кривая второго порядка. Ось ! меридиана не пересекает, но является для него осью симметрии. тто, н свои! очередь, говорит о том, что меридиан поверхности-- кривая второго порядка -- гипербола, а прямая ! — ее мнимая ось. Мы показали, что в частном случае линейчатая поверхность с тремя скрещивак!щнмися прямолинейными направлян>шими пересекается плоскостью, проходящей через ось поверхности, по гиперболе; отсюда н произошло 100 Лоьсрклос>ь на««н>и»>пи >юш>р>пп>гг> и >лпп>п>я>гп >пыл;иш рбипоио»рап>> пил'. )йпюкос»п >и р>пчщикулпр>щя к оси од>ппюлогч>пл о гиперболоида, нер»сека>т сга по элли>п:у, н часпюм случае -.
по окруиапп:ти (при >п>ресечении однонолостно> о > иперболоила прап>ения) . 1!рактически длп >п>строения >Чпп>кции ош>ополос>ного > иперболоида нра>ценип необходимо: нос>роить проекции двух окруж>п>стен, раап»- ложшш»,х и дну» на!>аллея»н»,» плоскостях; разделить нро> кции г>круж. насте» на произвольное рашше чис>п> чац>еи (рис. 138); затем со»дипить прямой линией точку 1," ниж>н:и окружности с лл>бой (кроме 1, ) точкой нерхнеи окружности.
1!а чс)пежо 13)) точка!", соединена с точкой 3'>, >очка 2" ,с 4," и >. д. (.'полинин псе точки деления нижнеи окруигности с точками деления перхнеи окру кнос>и, >п>лучим проекции каркаса нонерхности. Второе семеиство пинии каркаса >тон поверхности мажара быль образовано, если соедини» пернун> точку всрхнеи окружности г: >ре>ьей точкой пи>кш>и окружносз и (1>" с )>' ), точку 2," с точ кои 4",, 3, с 5" ,и т.
д. 1!оперхность однополостного гиперболоида вращения широко испальзуетсн н технике, н частности, длн передачи вращении при скрсщивап>щихсп осях с помощью зубчатых или фрикционных гипербоидалынлх колес. Особенно широкое применение эта поверхность нашла н строительстве. Одним из примеров может служить башни Шухова, построенная в Москве для установки антенны радиостанции "Коминтерн" .
первой мощной радиоспшции в Советском Союзе. Гиперболический парабг>лг>иг) В частном случае, когда прямолинеинан образунлцая скользит по трем скре>циванпцнмся прямым (направляюгцим), параллельным одной плоскости, получается поверхность, называемая гиперболическим параболоидом. Такому названии> эта поверхность обязана тем, ига при пересечении ее плоскостями в сечениях получаются гипербола и парабола. Поверхность гиперболического параболоида обладает одним замечательным свойством, состоящим в том, что не талька ее направля>ощне параллельны одной плоскости, на и образующие, скользящие по этим направляющим, также параллельны некоторой плоскости. Чтобы убедиться я справедливости этого высказывания, докажем следующую теорему.
Если п)и>мая перемещиегг>я в пространстве по трем прямым, пириллельпым одной и той же плоскости, то опа будет двигатьсл, все время оставиясь параллельной некоторой другой плоскости. Пусть даны трн скрещивающиеся направляющие прямые д,, >(>н и>, параллельные горизонтально проецирующей плоскости у (рис. 139) . Чтобы не загромождать чертежа лишними геометрическими построениями, будем считать, чта образующие гиперболического параболоида принадлежат фронтально проецирующим плоскостям б>, б> и б>.
При таких условиях образующие 8>, 8>, д> определяются соответственно точками 1 н 2, 3 и 4, 5 н б пересечения направляющих с плоскостями ))>, б>, ))>. Построим (3'7'(, конгруентный и параллельный отрезку (5'6'(, и проведем прямую 7'4', Из чертежа видно, что 1> 2'3'7' ~ Ь 5'6'8', так как стороны этих треугольников параллельны, а сторона 3'7' д 3'2'7' конгруентна стороне 5 б Л 5'б'8'.
Из конгруентности треугольников следует (2'7'] Р (5'8'(, на (5'8'( У (1'4'( (как параллельные между параллельными), следовательно, (2'7'( ~ (1'4'(. Отсюда вытекает, что отрезки (1'2'! и (4'7'! конгруентны ь Поверхность однополостного гиперболоида врещелия можно получить текже врещелвем гиперболы вокруг ее мнимой оси. Лииеичвтъ~е)юввряиости сдвумя ивиравяяюи)аии 101 (врулиа Б11! )в 1в 11й Зв 9) 5) ти 12', 1" ГЧ2, 10)5)=Я) 4)=-8)5) 7) б) х 1 Рис.
139 6)' 12) и параллельны. Прямые л) и л) как параллельные соответствующим сторонам А 3'4'7' параллельны его плоскости; третья образующая ут принадлежит плоскости этого тре- 5,' угольника. Из изложенного следует, что произвольно взятые образующие Рес. 138 гиперболического параболоида па- раллельны некоторой плоскости. Это, в свою очередь, говорит о том, что на поверхности гиперболического параболоида имеется два семейства прямых линий, каждое из которых параллельнс своей плоскости, т. е.
эта поверхность так же, как н поверхность однополостного гиперболоида, имеет две плоскости параллелизма. Если плоскости параллелизма взаимно перпендикулярны, то гиперболический параболоид называют прямым, если не перпендикулярны, то поверхность называют наклонной. Для образования одной и той же поверхности безразлично, иэ какого семейства взяты прямые за направляющие. В рассматриваемом примере можно за направляющие принять скрещивающиеся прямые л), л), л), параллельные плоскости А 3'4'7', тогда образующими поверхности окажутся прямые )1), )1), «з. 1) 33.
ЛИНЕИЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ДВУМЯ НАПРАВЛЯЮЩИМИ ( ГРУППА Е) ц 1 Движение прямой — образующей по трем направляющим, не единственный способ образования линейчатой поверхности. Только что доказанная теорема убедительно подтверждает справедливость такого высказывания, Из этой теоремы вытекает важное следствие: лаяей- 1()2 Поеерхагкть чатал поверхность может быть однозначно определена двумя направляющими и плоскостью параллелизма. В этом случае определитель линейчатой поверхности примет вид Ф Ф' г(,, дь, 7); Ы) Г1 ( д ° д~, ~ 1 Ф А (Я~7) — Ф ) ) . Здесь 7 — направляющая плоскость.
В частном случае, если угол между ч 4747 = О (образуюшая параллельна плоскости 7), то 7 называют плоскостью параллелизма. Пусть будут заданы две произвольные кривые г(, и г(, и плоскость Можно задать такой закон 'перемещения прмолинейной образуюшей ар прн котором она, скользя по линиям г(, и г(,, все время сохраняет постоянный т р' с плоскостью 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
