Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 20
Текст из файла (страница 20)
118,а), но стоит только перевести ось кольца в наклонное положение, как задание этой поверхности двумя ортогональными проекциями (на те же плоскости проекций) становится невозможным (рис. 118,б) . Чтобы задать поверхность на чертеже, достаточно указать проекции не всего множества точек или линий, принадлежащих поверхности, а только некоторых из них, с помощью которых может быть установлено взаимно однозначное соответствие между образом (проекцией) и прообразом (объектом проецирования). Такими точками или линиями могут быть точки или линии, входящие либо в состав определителя поверхности, либо в ее каркас (точечный или линейный).
В первом случае поверхность задается определителем, во втором — каркасом. Задание поверхности проекциями ее определителя не всегда обеспечивает наглядность, а это, в свою очередь, затрудняет чтение чертежа, поэтому для получения наглядного изображения поверхности на эпюре а) Рис. ! га 88 поеерхлость Монжа в ряде случаев следует указывать очерк (очертание) этой поверхности. Очерком поверхности (при ортогональном проецировании) называют след на плоскости проекции проецируюецей цилиндрической поверхности, которая огибает заданную поверхность.
Рис. 119 дает наглядное представление о том, как получается очерк произвольной замкнутой поверхности а на горизонтальную плоскость проекции. Рнс, 119 Ь 28, КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ* Многообразие форм поверхностей создает большие трудности при их изучен.ии. Для того чтобы облегчить процесс изучения поверхностей, целесообразно осуществить их систематизацию, распределив все поверхности по классам, подклассам, группам и подгруппам.
При делении поверхностей на классы, подклассы, группы, подгруппы следует к одной классификационной категории относить поверхности, обладающие характерным признаком, который у поверхностей, входящих в другую категорию, отсутствует. Таким признаком может служить, в частности, единство способов образования поверхностей, т. е. тех условий, которые входят в определитель поверхности. Поэтому в основу систематизации поверхностей может быть положен их определитель. Будем считать, что поверхности принадлежат одному классу, если они имеют одинаковое содержание геометрической части определителя. Используя этот критерий, все многообразие поверхностей можно отнести к двум классам: класс 1 составляют поверхности, образующие а) которых — кривые линии; класс П объединяет поверхности, образованные прямой линией, т.
е. Л1 —. прямая. Поверхности, входящие в класс 1, называются нелинейчатыми в отличие от поверхностей класса 11, которые считаются линейчатыми. При отнесении поверхностей к классам 1 или 11 во внимание принималась геометрическая часть определителя — вид линии, образующей поверхность. Условия алгоритмической части определителя, характеризующие закон движения образующей, позволяют выделить из классов 1 и П поверхностей три подкласса (рис. 120) . е Следует иметь н виду, что многообразие поверхностей и способов их получения не имеет предела, позтому создать строгую систему для классификации понерхностей не предстаелнется яозможным. Более того, с геометрической точки зрения классификация поверхностей не может иметь научного обоскоаания. Что касаетсл методики, используемой н процессе обучения, то здесь, напротив, лсякея попытка систематизации материала, и том числе и рассматринаемого лопроса о классификации поиерхностей„заслужинает самого серьезного внимания.
Классификация поверхностей 89 Подкласс 1 содержит поверхности, образованные поступательным перемещением образующей линии. Такие поверхности называют поверхностями пирдллельного переноси. Их определитель — Ф (я, е(); (л = То(й~)) е, Подкласс 2 составляют поверхности, образованные вращением образующей линии — поверхности ерищенил. Их определитель — Ф (ь', (); [К, = )1; (й) ) *. Подкласс 3 включает поверхности, образованные винтовым перемещением образующей, — винтовые поверхности.
Их определитель— Ф(й, () ) (я = Т;(й) о )(;(й) ) **. Поверхности подклассов 1, 2 и 3 имеют одинаковую геометрическую часть определителя. В зависимости от вида образующей (кривая или прямая) поверхности параллельного переноса, вращения и винтовые могут быть отнесены как к первому (й — кривая) ***, так и ко второму (а — прямая) классам (см. рис. 120) . Каждый из классов 1 и П делится на группы А, Б, ..., которые могут быть подразделены на подгруппы а, б, ... В свою очередь, подгруппы состоят из отдельных видов поверхностей о, (), ... Критерии для деления на группы, подгруппы и виды также берутся из определителя по- в Выражения Тл (й) и )е,(й) указывают на характер движения образующей ж так Тл (и) — поступательное перемещение вдоль Н, Я;(й) — вращение иокруг й ее Здесь Т;(й) о й;(у) — композиция из двух движений: параллельного перемещения вдоль оси и вращенин вокруг оси!.
ее чСледует помнить, что образующая кривая у не меняет своей формы. Рис. 120 9() Поверхность Рис. 121 верхности. На рис. 121 показана общая структура отнесения поверхностей к классам, подклассам, группам, подгруппам и видам. Из рис. 121 видно, что класс 11 (линейчатые поверхности) содержит три группы Ац, Бц, Вц. Признаком лля такого деления служит число направляющих линий: группа Ац — линейчатые поверхности с тремя направляющими 1Ф) е(! ь2 ~~3 ) ) (И~ 1~~! ! ~~3 ) ~ ')! группа Бц — линейчатые поверхности с двумя направляющими (функции третьей направляющей выполняет направляющая плоскость т) Ф (а; е),, е)!, т); Я, ! !( е(!, е(! ) ~ % Л Мр) = ~')' группа Вц — линейчатые поверхности с одной направляющей (ребром возврата); в этом случае все три направляющие "совпадают" с ребром возврата Й! ) еХ! =- с(! — = д! ! (а !~) (в ' 1 «~! " е)2 ~~3 ~ ~ "х!' Неаииейчагые ловерхиосги с образующей 9 ! лвраиеииого вида (груила А!) В свою очередь, каждая группа подразделяется на подгруппы.
Так, группа Ап содержит четыре подгруппы (см. рис. 121): аП вЂ” косой цилиндр с тремя направляющими (И~ «~1 «(2 «(3) (в! ! ! ! «~1' ~~! «(3) ~ )) все три направляющие «(«, «(з, ««з — кривые; бп — дважды косой цилиндроид (б) «! «(2 «'з)) (а! «! («(! «(! «(3) ! Ф)т две направляющие «(«, «) ! — кривые, «(з — прямая; в11 — дважды косой коноид ф (б! «з! «(! «(з) (б! !~! 1«з«, ««з, «(з ) Ч (з«); одна направляющая «(! — кривая, две «(з, «(з — прямые; гп — однополостный гиперболоид ч' (8; «(«, «зз, «(3 ) (бг' г! 1 «(«, «(2, ««3 ) ~ Ц]; все три направляющие «(«, «(з, «(з — прямые.
Каждая из подгрупп включает отдельные виды поверхностей, например, в подгруппу бп входят: а — поверхность косого клина, () — поверхность дважды косого винтового цилиндроида и 7 — поверхность косого перехода. Рассмотрим более подробно поверхности, входящие в каждый из отмеченных классов и подклассов. кллсс ~ 8 29. НЕЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ОБРАЗУЮЩЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ВИДА (ГРУППА А1) Эта группа поверхностей имеет единый по форме определитель Ф (б«, ..., б„; «(«, «(з, «(з ) ' ! ( а«, ..., бл ) Г! ~ «(«, «(» «(з ~ ~ М* в котором д — образующая переменного вида, «(«, «(з, «(з — направляющие ". П р и м е ч а и и е. В р«ще случаев закон перемещения образующей может быть задан не тремя, а двумя (с««, ««з) и даже одной («(! ) направлнющей. В двух последних случанх вместо отсутствующих направляющих указываются дополнительные условия.
В качестве примера можно привести поверхность п, показанную на рис. 115, у которой закон перемещения образующей й задан двумя направляющими !(! и д! и ! плоскостью 7„которая выполняет функции третьей направляющей дз. Определитель этой поверхности имеет вид ф (й! «««, ««г. 7) ' (й! О ( «««, бз, ) Ч «и А (йг7) = 0 ) Г! (й! Э А б ««! ) ) . * Здесь, как и в определителе поверхностей групп Б1, АВ, БП (см. й 28, 30, 32, 38, 84), некоторые из направляющих б«, ««з, дз могут быть не только кривыми «), но и прямыми «( линиями. 92 Поеерхлосзь Т а б л и ц а 2.
Нелинейчатме поверхности с образующей переменного вида. ГруппаА(; Ф(а~, ...,К„д|, дг с(з) ( (1 К1 " ° Ил(г1 (с(1 с(т ° пз~~ б) 1 Смысловое значение алгоритмической части этого определителя может быть вы. ражено следующим предложением: криволинейная образующая (х) пересекает направляющие <Т, и Ит (пересечение х с 4, и Хт является не пустым множеством е — а О ( оы чт '( ~ б)) и образующая а параллельна плоскости у (х'т = о ), а точка А, ! ). ) ! 1 принадлежащая образующей а, скользит по направляющей Х, (у. э А е й1 ) . Другим примером может служить трубчатая поверхность (3 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
