Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Отрезок перпендикуляра Я'г'К'(', опущенного нз вершины пирамиды Яг ' на основание Аг"Вг С,, определяет высоту пирамиды. 65 Другие елоеоои лреоброзоааииа оргоголальииа проекций 9 16. ДРУГИЕ СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОРТОГОНАДЬНЫХ ПРОЕКЦИИ Кроме плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций начертательная геометрия располагает большим количеством различных способов получения новых, наиболее удобных для решения задач проекций по заданным неудобным. В тридцатые годы вышла в свет книга С. М. Колотова *'Вспомогательное проектирование"*, в которой были изложены основные принципы получения неискаженного вида прямоугольных проекций на специально выбранную плоскость, а также построения косоугольных и центральных проекций на заданные плоскости проекции.
В последующие годы появилась серия работ, посвяшенных созданию новых и усовершенствованию ранее предложенных способов вспомогательного проецирования. Особое место среди этих работ занимают работы, посвященные криволинейному вспомогательному проецированию. Их авторы использовали для получения вспомогательных проекций в качестве проецирующих кривые линии, пространственные или плоские. В настоящее время имеется много хорошо разработанных и доведенных до практического использования способов, которые могут быть объединены под общим названием вспомогательное проецирование.
Рис. 82 ... 88 дают наглядное представление о получении проекций, удобных для решения задач с помошью вспомогательного проецирования. Так, на рис. 82 решена задача по определению расстояния между скрещивающимися прямыми о и Ь путем ортогонального проецирования этих прямых на вспомогательную плоскость о 1 о.
При этом направление проецирования а й о. Рис. 83 показывает целесообразность использования косоугольного проецирования на заданную плоскость проекции при решении задачи по определению точки встречи прямой с плоскостью. Известно, что точка встречи прямой с плоскостью определяется элементарно просто, если плоскость занимает проецирующее положение. В случае, изображенном на рис. 83, плоскость обшего положения и переведена но фронтально проецирующее полажение путем проецирования и на гшоскость проекции л, в направлении горизонтали этой плоскости. На рис.
84 для определения точек встречи прямой а с произвольной конической поверхностью применено центральное проецирование. За центр проекций принята вершина конической поверхности 8. В этом случае коническая поверхность оказывается проецирующей, что значительно упрощает решение поставленной задачи. На рис. 88 приведен пример решения задачи по определению точек встречи прямой с поверхностью кольца. Для упрощения решения этой задачи использовано криволинейное (в частности, окружностное) проецирование, При.таком способе проецирования поверхность кольца оказывается горизонтально проецирующей. Все построения для нахождения положения точек М и зт' ясны из чертежа и не требуют пояснений.
Использование теорем проективной геометрии и свойств коллинеарных преобразований дало толчок к созданию различных способов е Колотов С. М. Вспомогательное проектирование. Киев, 1933. бб Слособи преобразования ортоголальлик лроекций Рис. 82 Рис. 83 Рис.
84 Рис. 85 Эллиптический Плсдиось пар.тболоид родства Параболоид вра~оеиия Рис. 86 перспективно-аффинных и гомологических преобразований ортогоналъных проекций, составляющих основу проективных преобразований. На рис. 86 показано перспективно-аффииное преобразование эллиптического параболоида в параболоид вращения. Рис. 87 дает наглядное представление о преобразовании поверхности гиперболоида вращения о в сферу ат путем гомологических лреобразовамий. Не вызы- другие способи нреобраэсеенин б7 ортогональнын нроенний Плоскасн гпислсслн Гипц36олеил 6 ра Рис.
87 21 — "-О Ф, оЗ, Рис. 88 вает сомнения целесообразность таких преобразований. Действительно, при решении позиционных задач лучше иметь дело с поверхностью вращения, чем с эллиптическим параболоидом (рис. 86), и со сферой, чем с поверхностью гиперболоида вращения (рис.
87). И, наконец, применение топологических преобразований пространства и погруженных в него геометрических фигур привело к созданию чрезвычайно гибкого спссоба, позволяющего осуществить преобразование сложных нелинейчатых поверхностей, ограничиваэощих геометрические тела, в простые цилиндрические поверхности и даже плоскости. В основе рассматриваемых преобразований лежат топологические свойства: а) взаимчан однозначность — каждой точке исходной фигуры Ф соответствует одна и только одна точка преобразованной фигуры Ф,; б) взаимная непрерывность — бесконечно близким точкам исходной фигуры Ф соответствуют также бесконечно близкие точки преобразованной фигуры Ф,.
На рис. 88 бесконечно близким точкам А и В фигуры Ф соответствуют две бесконечно близкие точки А, и В, фигуры Ф,. Преобразования, обеспечивающие сохранение топологических свойств составляют теоретическую базу способа топологических преобразований. 68 Слособи яреобраюваиил оргогоиель иыз проекций " Ао Рнс. 89 На рис. 89 показано решение задачи по определению точек встречи плоской кривой ) с произвольной поверхностью вращения а. Топологнческим преобразованием фигура Ф, ограниченная произвольной поверхностью вращения а, преобразована в шар а,.
Указанными преобразованиями задача сведена к простейшей — определению точек встречи плоской кривой с поверхностью сферы. Зная положение точек М, и р(,, с помощью линий связи (прямых, параллельных осн х) определяем М и л(. Изучение отмеченных выше способов преобразования ортогональных проекций выходит за рамки учебной программы курса начертательной геометрии для втузов. Мы остановнлнсь на них лишь для того, чтобы читатель имел в виду, что кроме классических способов (см, 5 9 ... 14) в арсенале начертательной геометрии имеются н другие, подчас более мощные, способы преобразования ортогональных проекций*. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ е Более подробные сведения о перечисленных способах преобразования читатель найдет в книге С. А.
Фролова '*Методы преобразования ортогонельных проекций". М.: Машиностроение, 1970. 1. В чем состоит принцип преобразования ортогональных проекций способом плоскопараллельного перемещення7 2. В чен состоит отличие способа вращения вокруг осей, перпендикулярных к плоскоспе проекции, от способа параллельного перемюцення? 3. Как с пределяется положение центра вращения н величина радиуса вращения точки прн ее повороте вокруг горизонтали н фронталн? 4. Как можно определить совмещенное с плоскостью я1(яз ) положение фронтального,'горнзонтального) следа плос. кости без нахождения центра н радиуса вразцення? б.
Как перемещаются проекция точки прн ее вращении вокруг ося, перпендикулярной к плоскостнпроекцнн лз(яз)? 8. Сколько параллельных перемещений н в какой последовательности необходимо выполнить, чтобы перевести отрезок прямой общего положения в отрезок горизонтально (фронтально) проецирующей прямой? 7.В чем нт ущ пр„бра . ванна ортогональных проекций способом замены плоскостей проекций? 8.
Сколько перемен плоскостей проекций н в какой последовательности необходимо выполнить, чтобы перевестн отрезок прямой общего положения в отр~ зок фронтально (горизонтально) проецирующей прямой7 ГЛАВА Ш ЛИНИЯ Линии занимают особое положение в начертательной геометрии. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени.
Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удается решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путем часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата. Линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм. Умело подбирая линии, дизайнер име6т возможность придать изящные эстетические формы конструируемым изделиям. ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ В 5 8 отмечалось, что при определении геометрических фигур в геометрии принято исходить из основных (неапределяемых) понятий — точки, прямая, плоскость и расстояние, а в современном представлении также понятия множество. Базируясь на этих элементарных понятиях, линию целесообразно трактовать как траекторию перемещения точки (рис.
90). Такое представление линии позволяет получить определение линии, используя такие основные понятия геометрии, как точка и множество. В этом случае линию можно рассматривать как непрерывное множество всех принадлежащих ей точек. Если учесть, чта положение точки при ее движении па заданной траектории будет зависеть от непрерывно меняющейся величины Ы (расстояние до точки от начала координате), то можно утверждать, что положение точки, принадлежащей линии, определяется непрерывно меняющейся величиной гг. Тогда, окончательно приняв д за параметр, приходим к следующему опредедению — линия есть непрерывное однопдриметрическое множество точек.
В этом определении славам непрерывное подчеркивается, что двум бесконечно близким значениям параметра соответствуют две также бесконечно близкие точки. Следует иметь в виду, что данное определение линии является условным. В действительности положение точки будет зависеть не только от вектора о (определяющего величину расстояния), но и от углов его наклона к плоскостям проек. иий. Мы останавливаемся на нем лишь потому, что в дальнейшем, прн изложении гл. 1Ъ' "Поверхность", оно позволяет получить определенИе поверхности, оснаваннс также на понятиях точка и множество и, что более важно, подойти к атому определению с точки зрения кинематнческого способа получения поверхности.
' В случае окружности наем|о координат не долмою совпадать с ее пентром. 79 Лнмая Рассматривая поверхность как след, который оставляет геометрическая фигура при своем перемещении в пространстве, можно ввести понятие определитель, которое играет весьма важную роль в теории поверхностей. (=Аг((Аг(з где А,-! *-Ф Линии подразделяются на апгебраическиеа, если в декартовой системе координат они оп- У ределяются алгебраическими уравнениями, и грансценденгРнс. 90 ные**, если они описываются трансцендентными уравнениями. Линии могут быть пространственными и плоскими.
Пространственными или линиями двоякой кривизны называют линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости. Линии, у которых все точки принадлежат одной плоскости, называют плоскими. Если алгебраическое уравнение, описывающее линию, и-й степени, то алгебраическая кривая считается и-го порядка. Порядок алгебраической кривой определяется также числом точек ее пересечения с плоскостью (для пространственной линии) или прямой (для плоской линии). При этом следует иметь в виду, что в число точек пересечения включаются точки с действительными и мнимыми координатами.
Простейшей линией является прямая. Так как свойства прямой и задание ее на зпюре Монжа уже известны читателю (см. гл. 1, 9 8), в настоящей главе речь будет идти о характеристиках и свойствах кривых линий (пространственных и плоских) и построении их ортогональных проекций. Было отмечено, что пространственными кривыми называются линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
