Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Плоскость 7 заменяет ту третью направляюшую, которая образуется множеством точек пересечения движушейся прямолинейной образующей а с плоскостью 7. В рассматриваемую группу поверхностей входят три подгруппы: а) «илиндроиды, б) коноиды, в) косые плоскости. Перечисленные подгруппы поверхностей могут быть отнесены к двум разновидностям: поверхности, образованные с помощью направляющей плоскости; поверхности, в создании которых принимала участие плоскость параллелизма.
К первой разновидности относятся косые линейчатые поверхности (косой цилиндроид, косой коноид, дважды косая плоскость); ко второй — прямые линейчатые поверхности (прямой цилиндроид, прямой коноид, косая плоскость). Поверхности с плоскостью параллелизма называются поверхностями Каталана*. Из лннейчатых поверхностей с двумя направляюшими рассмотрим только поверхности Каталана, так как именно эти поверхности находят широкое применение в технике. () 34.
ЛИНЕИЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ДВУМЯ НАПРАВЛЯЮЩИМИ И ПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛИЗМА (ПОВЕРХНОСТИ КАТАЛАНА) При формировании линейчатой поверхности с помощью плоскости параллелизма обраэуюшие должны быть параллельны этой плоскости, поэтому они пересекаются с ней в несобственных точках, множество которых определяет несобственную прямую; эту прямую следует рассматривать как третью направляюшую линейчатой поверхности, т.
е. плоскость параллелизма является как бы собственным представителем несобственной прямой. Образование линейчатой поверхности с помощью плоскости параллелизма является частным случаем обшего способа формирования линейчатой поверхности с двумя направляюшими. Определитель для группы поверхностей Каталана имеет вид Для задания поверхности этой группы на зпюре Монжа достаточно указать проекции направпяюшнх д, и д, и положение плоскости параллелизма 7 (табл.
5, рис. 140 ... 142) . ь По имени бельгийского математика Каталана (КаГа!ал), исследовавшего свой. ства этих поверхностей. Ланеичатьзе понсркпости с Двумя зшправляющими 103 и плоскостью параллелизма )понеряззости Каталани) Т д б л и ц а 5. з)инейчатые поверхноетис двумя направляющими и нло< коезанз параллелизма. Группа Гзц; Ф Щ; Н~, с)з, у); ) кз с1 ~ с) ~, с)з ) ~ ~ Л ) т = «" )) 104 поверхность 1.
Поверхность прямого цилнндроида (см. табл. 5, рис. 140). Поверхность прямого цилиндроида образуется в том случае, когда направляющие д, и г(> гладкие кривые линии, причем одна из них должна принадлежать плоскости, перпендикулярной плоскости параллелизма. Для определения проекций прямолинейных образуюгцих поверхност>л прямого цилиндроида достаточно провести прямые, параллельные плоскосги параллелизма. На рис. 143 показано построение образук>щей Л .
Вначале проводим у., определяем точки М и 1>1", по ним находим М И 11> . (МИ) проводим параллельно плоскости параллелизмат; дляэтого достаточна, чтобы (МЪ1') 1 )г„, Поверхность прямого цилиндроида находит применение в инженерной практике, в частности, она используется при изготовлении воздухопроводов болыпого диаметра. 2. Поверхность прямого коноида (см. табл. 5, рис. 141) . Отличие поверхности кононда от цилиндроида состоит только в том, что одна из направлнющих линий коноида — прямая.
Поэтому для задания поверхности коноида на эпюре Монжа необходимо указать проекции: кривой г(> (одна направляклцая), прямой г(, (вторая направляющая) и плоскости параллелизма 7. Если прямолинейная направляющая перпендикулярна плоскости параллелизма, то мы будем иметь дело с частным случаем поверхности, которая называется прям ым копои дом. >(7>я >и>лучения проекционного чертежа (эпюра монжа), обладающего наглядностьк>, следует указать проекции не одной, а ряда прямолинейных образующих этой поверхности.
Для этого проводим несколько прямых, параллельных плоскости параллелизма 7 и пересекающих направляющие д, и Й, . На рис. 144 показано построение произвольной образуюц(ей г. Чтобы прямая а была параллельна плоскости параллелизма т, необходимо, чтобы она была параллельна прямой, принадлежащей плоскости 7. Так как плоскость 7 горизонтально проецирун>щая, то горизонтальные проекции всех прямых, принадлежащих э 1 Ой ПЛО1 КОСТИ СОвпадаю1 С 1 ОВИЗОНТЭЛьиым СледОМ ПЛОСКОСТИ )гь 7 Поэтому построение частной образующей поверхности коноида начинаем М Рис. 143 Рис.
144 Линейчатъте поверяности с двумя направляютмими (05 и плоскостью параллелизма 1поверяности Каталина) КЯ 1," и! Рмс. 145 с пРоведениЯ ее гоРизонтальной пРоекции л,, пРичем К,' ~~ )то т (на основании инвариантного свойства 2 г (см. ч 6) ортогонального проецирования). Отмечаем точки М' и М', в которых горизонтальная проекция образующей у' пересекает горизонтальные проекции направляющих с(т и с(т, по М' и й(' находим точки М" и М", которые определяют фронтальную проекцию прямой у' .
Поверхность прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования поверхности устоев мостовых опор. 3. Поверхность гиперболического параболоида — косая плоскость (см. табл. б, рис. 142) . Гиперболический параболоид может быть получен при скольжении прямой по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим, при атом образующая все время остается параллельной плоскости параллелизма. Гиперболический параболоил имеет две т(шоскости параллелизма, соответствующие двум семействам прямолинейных направляющих.
Если плоскости параллелизма перпендикулярны друг другу, то гиперболический параболоид называют прямым. В инженерной практике гиперболический параболоид часто называют кОсОО ллОс кос тъ нт. Для задания на чертеже косой плоскости достаточно указать проекции двух скрещивающихся прямых т(т и с(т и положение плоскости параллелизма т. Для получения проекционного чертежа, обладающего наглядностью, обычно указывают проекции нескольких прямолинейных образукппих, для зтого: 1) на направляющих с(, и с(т выделяктт отрезки (А))) и (С1) ); 2) делят проекции отрезкон (АЛ) и (С1)) на произвольное число равных частей (на рис. 14б проекции точек деления обозначены 1',, б'; 1', ..., б" и 1'т, ..., б'1, 1,, ..., 63 ); 3) одноименные проекции точек деления соединяют прямыми. Задавая таким путем косую плоскость, мы не пользовалнсь плоскостями параллелизма.
Если требуется определить их положение, то достаточно через произвольную точку К провести прялтые е н 1, параллельные соответственно прямым с(т и с(,. Вторая плоскость паралле- !ОЬ Лонерхессть лизма (длл ссмсйгтпа на«Ра«лню«(их Рн «й, ) о>Ч«>дел>н >с« пгРесскан>щимися «р»мыми ! и >и (! !! и», п !! >(> ), Косая нлоскост>, находит «п>роков «р«м< «<ни< в инж<н<!я<о-строитель«он практике дл«формироню>н««о«<рхностеи откосов нась««>и железных и шэпомобнльных дорог, >юбережных гидротехнических сооружений в месгах со»ряже»ия откосон, имен>щих различные углы наклона. 4. 1!лоск<и ть. Если нюцюнлнняцис «рямыс <!, и <(> пересекаютсн нли параллепьнь>, то «ри днижгнии ио ним яр«молин> йной оГ>разу««цей а получается плоскость.
Г!зоГ>ражени< >и>оск<«ти на щ>н>ре Монжа и различные варианты ее ра<дюложепин но отношению к плоскостям проекций были подробно рассмотрены и ч 8 гл. !. >ч 35. ЛИ11ЕЙЧЛ'1 !>! Е 1)ОВЕРХ!!ОСТИ С (Ц(!(О)1 1!ЛПРАВЛЯ)()ЩЕ)! ТОРСЫ (Г! УП!!Л Вг!) Рассматриваемая в этом параграфе группа линейчатых поверхностей с одной криволинейной направляющей называется горсими, а криволинейная напранлян>щан таких поверхностей — ребром <н>зврити <'-. Пав< рхпо< >»и> с ребром «> н>рати (торгом) низыван>т пове рх«ос> ь, опись>ваемун> <)виже«игл< прямои ..
ог>ра,>ун>и>си и, >саванна< и<я некоторой прострингтв<пшой криво« вЂ”. напра«я.чндией <( Торсы обладан>т замечательным свойппгом — они могут быть совмещены с плоскостью без складок и разрывов, путем последонательных ее изгибов по прямолинейным образу«>щим.
В связи с этим можно дать и другое определение поверхности торса. Торсом называют линейчитук> поверхность, когорун> можно <овмесгигь всеми ее точками с плоскость>а без склидок и разрывов. Такие поверхности называют также развертывакнцимися поверхностями. Если ребро возврата вырождается в точку, то получается частный вид торса — коническая поверх«о< гь (если точка собственная) или цилиядрическил поверхность в случае вырождения ребра возврата в несобственную точку.
Итак, к рассматриваемой группе линейчатых поверхностей относятся: 1) поверхность с ребром возврата (табл. 6, рис. 146); 2) поверхность коническая (табд. 6, рис. 147); 3) поверхность цилиндрическая (табл. 6, рис. 148) . В частном случае торсовые поверхности пг>еобразуются в плоскость. Для этого лостаточно, чтобы ребро возврата <!> преобразовалось в плоскую кривую, а направляющая <(< конической или цилиндрической поверхности — в прямую линию. Определитель этой группы поверхностей имеет вид гр (й; <(,, я); 1~,. гт (, — я, с 4 !. Рассмотрим более подробно каждую из отмеченных поверхностей. 1.
Поверхность с ребром возврата. Образование этой поверхности можно представить таким образом. Пусть даны плавная кривая <( и точка Я, причем Я б а Э <! (рис. 149) . Разделим кривую <! пап участков, границы которых отметим точками 1„2, 3, ..., и. Проведем прямую Я! и отложим на ней от точки Я вниз )ЯЯ, ). Конец отрезка Я, соединим прямой с точкой 2 с= с(, получим отсек конической поверхностиЯ, ! 2. *Ребро возврата следует рассматривать кан кривую, в которой "совпадают" все три криволинейные направляю>ине линейчетой поверхности <(> — = ໠— з аэ. Пннейчегие новеряности с одной направляющей ! 07 /грунна ВЛ) Т а б л и ц а 6. Линейчатые поверхности с одной направляющей— торсы. Группа Вц; Ф (а; е7,, Я); [В; гт 0, = Я; Е 3', ) На прямой (Я,2) откладываем [Я,Я, [ и конец отрезка Я, соединяем с точкой 3 е е( — вновь получаем отсек конической поверхности Я,23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
