Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поэтому для определе. нин фронтальной проекции я проводим прямолинейную образующую 6< кониче<- кой поверхности (), по которой горизонтально проецирующая юн>снесть 7, проходящан через точку А и ось 1, пересекает поверхность (). Фронтальная проекция Х должна бьггь параллельна у>'. Для ее построении на горизонтальной проекции <(' отмечаем точку 1', в ко<орой 6<>т < > <)'; по 1' определяем 1".
Через 1" проводим Для построения фронтальной проекции Л через Л' проводим линию связи перпендикулярно оси х и отмечаем точку ее пересечения с л ПРИМЕР 7. На поверхности цилиидроида () указать фронтальную проекцию точки Л, если известна ее гори:юнтальиая проекции Л'(рис. 176). РЕШЕНИЕ. Через горим>нтальнух> проекция> точки Л проводим горизонтальную проекцию примолинейной образующей л' поверхности р, для этого через ((ри>ш>Ь>склесгь гочка лоне>жчосгл (А Са) )23 ПРИМЕР 6. Погтроить горизонтальную проекцию точки, принадлежащей повсрхности вращения п(ж <), если известна ее фронтальная проекция А" (рис.
176) . РЕШЕНИЕ. Через данную фронтальнун> проекцию точки Л' проводим фроиталь. ную проекцию окружности ! ', принадлежащей поверхности а. Строим горизон. тельную проекцию этой окружности ! . Окружность ! — параллель поверхности а, ее следует рассматривать как сечение поверхности и горизонтальной плоскостью 7. Длина отрезка О 1 укажет нели- чину радиуса окружности ! .
На ! отмечаем А . Для нахождении Л' через А" проводим линию связи перпендикулярно оси х и отмечаем точку ее пересечения с ! . ! 24 Позиционные за>)нчи ти такие линии, приходится строить кривые, принадлежащие поверхности. Приведенный ниже пример показывает, как следует решать задачу на принадлежность точки поверхности в случае, когда поверхность нелинейчатая, ьч 41. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ (! с а) Построение линии, принадлежащей поверхности, принципиально не отличается от построения точки, принадлежащей поверхности (см.
й 40, примеры 1 ... 9) . Различие состоит лишь в том, что определяются проекции не одной, а л точек, принадлежащих линии. Если необходимо определить проекцию прямой, принадлежащей плоскости, то решение задачи значительно упрощается. ПРИМЕР 2 Построить фронтальную проекцию прямой т, принадлежащей плоскости а, если известна ее горизонтальная проекция и>' (риг. 179) . РЕШЕНИЕ. Прямая оцнозначно определяется двумя не тождественными точками, поэтому для определенна т необходимо и достаточно найти фронталь. ные проекции двух не тождественных точек 1 и 2, принацлежащих прямой т, т.
е, дважды решить задачу по определению проекций точки, принадлежащей ПРИМЕР 9. Опрецелить недостающую (фронтапьнуи>) проекции> точки Л, принадлежащей нелинейчатой поверхности а, если нэнестна ее горизонтальная про. екция Л (рис. 177) . РЕШЕНИЕ. Определение недостающей проекции точки А осуществляется анапа. > ично рассмотренным ранее случаям (см, примеры 1 ... 8) . Вначале через точку А' пронодим прямую ! — горизонтальную проекцию линии 1. Чтобы линия 1 принадлежала поверхности а, необходимо, чтобы любые точки, взятые на этой линии, принадлежали поверхности а.
В качестве ПРИМЕР 1. Построить фронтальную проекцию кривой 1, принадлежащей поверхности гиперболического параболоида а, заданного направлнющимн >(>, >(2 и плоскостью параллелизма (), если известна горизонтальная проекция кривой 1' (рис. 178). РЕШЕНИЕ. Поверхность а прелг>авляет собой множество точек, а линия 1, при. надлежащая поверхности а, являетси подмножеством этого множества. Поэтому цля соблюдения услония 1 С а необходимо, чтобы каждый элемент (точка) подмножества 1 принаплежал множеству а.
Для обеспечения этого условия необходимо, чтобы любая точка А . б 1 прннад. лежала линии у С а. таких точек принимаем точки 1', 2', 3', 4, 5, в которых 1' пересекает горизонталь. ные проекции образующих Ф>, Хз, Кз, хй яз зная 1' 2' 5' определяем1" 2" ..., 5". Соединив зтн точки плавной кривой, получим 1; наг отмечаем Л .Точка А б а, так как Л С 1' и Л С !', а 1 С а.
Следует иметь в виду, что при решении подобных зацач в качестве линии 1 целесообразно пользоваться плоской кривой, в частности„принадлежащей проецирующей плоскости (в рассмотрен. ном случае кривая 1 принадлежит горизонтально проецирующей плоскости 7) . Решение сводится к следующему: 1. На горизонтальной проекции поверхности а проводим горизонтальные проекц)>и прямолинейных образующих 3>.
Ь>2, хз. йн, цз парарлельно Лпц. 2. Находим фронтальные проекции > н этих образующих й>, йз, йз, йю нз. 3. Отмечаем точки 1', 2', 3', 4', 5', в ко. торых горизонтальная проекция кривой пересекает горизонтальные проекции образукпцих ((>, ь>2. ь>з, 34, уз . 4. Находим фронтальные проекции точек 1", 2", 3", 4", 5" на соответствующих фронтальных проекциях образующих 3>', йз йз Ь>4 Фз Соединив их плавной кривой, получим искомую фронтальную п)ю. екцню 1" кривой 1 С а. плоскости, если известна оциа иэ ее проекций (см. Ь 40 пример 3) . На рис.
179 решение выполнено в следующем порядке: 1. Отметилн на горизонтальной проекции прямой т две различные точки 1' и 2'. 2. Определили их фронтальные проекции 1" и 2 . Положение точек 1" и 2" найдено с помощью 4>ронталей ~> Э 1 и )2 3. Точки 1" и 2" определяют искомую фронтальную проекцию примой т '. Пересечение линии с линией )! Г)н!! !25 к х— ! Рис 178 Рис 179 8 42. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЛИНИИ С ЛИНИЕИ (! гч пч) Решение задач на определение общей точки, принадлежащей как линии ), так и линии т, или иначе, задач по определению точки пересече- НИЯ ДВУХ ЛИНИЙ, ВЫтЕКаЕт НЕПОСРЕДСТВЕННО ИЗ ИНВаРИаита ОРтОГОНаЛ)с ного проецирования К= аю Ь К' = а'Г) Ь'тчК" -.— а" О Ь".
ПРИМЕР 1 Показать на эпюре Моижа две произвольные пересекающиеся линии т и «(рис. 180). Пн Рис ! 80 Рис. 181 РЕШЕНИЕ. Пусть К т Гч л, тогда К б т и К Е л. Из условия ппиналлежнос. ти К Е=. чл вытекае~ К' б гл и К" 6 гл Так как К Е л, то К Е л'и К~ б п . Дл» того чтобы гл О л, необходимо, чтобы К и К принадлежали одному перпенди- куляру к оси х.
На рис. 180 показаны пересекающиеся кривые гл и л. ПРИМЕР 2. Данную кривую ! пересечь горизонталью Л, проходищей через точку Л (рис. 181). РЕШЕНИЕ. Через Л" проводим фронтальную проекцию горизонтали Л )~ осн х Отмечаем точкр К' — Л ' ! ) ! '. Находим Л' О !'. Точки К и Л" определяют горн. топтальную проекцию Л горизонтали Л. 12б ллзиииоииыс задачи й 43. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХ1В)С'!'И С ПОВЕРХНОС'1Ъ|0 (о О 0) Две поверхности пересекаются по линии, точки которой принацлежат каждой из пересеканццихся поверхностей.
Поэтому построение линии пересечения двух поверхностей о и р сводится к нахождезтин! общих точек, принадлежащих как множеству точек, составляя~нему поверхность о, так и другому множеству точек, входящих в состав поверхности 11. Способ построения линии пересечении цвух поверхностей состоит в следунзщем: заданные поверхности пересекают третьей, вспомогательной поверхностью (виц и расположение вспомогательной секущей поверхности выбиранп с таким расчетом, чтобы можно было легко определить линии пересечения этой поверхности с заданными); находят линии, по которым зта вспомогательная секущая поверхность пересекает каждую из данных поверхностей. Далее отмечднп точку (точки), в которой пересекаются полученные линии пересечения (рис.
182) . Построив <ггмеченные операции и раз, получим множество точек. Линия 1, соединяющая эти точки, являетсл искомой линией пересечения поверхностен. Используя геометрический язык, хоц решения задачи можно представить в виде формализованного алгоритма, записанного в символической форме. В табл.
Я дано традиционное цля начертательной геометрии словесное описание алгоритма (слева) н соответствующая ему символическая запись на геометрическом языке (справа) . Т а б л и ц а 8. Описание алгоритма решения задачи по определению линии пересечения двух поверхностей овеснос описание на традиционно начертательной геометрии Вводим вспомогательную секугцуи Опреиелнем линии пересечении зто тельной поверхности с каждой нз за рхностей Находим точки, в которых па!исси ченные линии пересечения. Ооединя н плавной линией некоторых случанх линия пересеч множество! может состоять иэ под ривыми (пространственными илн быть как действительными, так и Алгоритм нахождения точек, общих для двух заданных множеств тачек — поверхностей о и (), можно записать в виде 1 —.
(е„о бт Оьз О ...с! 7.л); (е, =(т !эп)гэ (т.!э р)]. (4) Повторяя многократно последовательность операций, обозначенных в приведенном алгоритме (кажцый раз, естественно, меняя положение вспомогательной секущей поверхности у ), можно получить любое число точек, принадлежащих искомой линии пересечения заданных поверхностей. Рассматриваемый алгоритм опрецеления точек, принадлежащих ли- нии пересечения двух поверхностей, является универсальным, так как Пересечение ттовернности с новернностъю 127 (от тр) / / / (т/ я Рис.
182 под а и () могут подразумеваться любые поверхности, в том числе и плоскости. На выбор вида и расположения вспомогательной секущей поверхности т в приведенном алгоритме также не накладывается никаких ограниченйй. Вдумчивый читатель может задать вполне справедливый вопрос: "Что это за алгоритм, который предписывает решать задачи по определению точки (точек), принадлежащей линии пересечения двух поверхностей, путем решения двух задач, в каждой из которых также приходится строить линию пересечения поверхностей?". Такое, на первый взгляд, нелогичное построение алгоритма становится вполне оправданным, если учесть, что данные поверхности а и () могут иметь любую форму и занимать произвольное положение в пространстве, что не позволяет непосредственно, по эпюру, определить линию их пересечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
