Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Построенные касательные однозначно определяют касательнунь плоскость. Наглядное предстапление о проведении плоскости о, касательной к поверхности р в заданной точке М, дает рис. 204. На этом рисунке показана также нормаль и к поверхности <3. х I / ( Рнс. 204 Рис. 203 >1 >еск>ктн лхсюсе ная к еаесрхност>> 141 Рнс. зов Рис Зэ>5 Е/орли»ью ь >юнерхности е заданное >очке незьннлегся ярлмнч, перпендику >яркая к катте >ьнс>и я>н>скости и проходяи>ая через точку касаи нл. >!и>эин> пересе>>снэ>я >ял>срхносги шюскосгьн>, проход>гц(сй череэ нормаль, наз»,ван>т нормальным сечением понерхности.
В зависимости от вида понерхности ка<агельнаи плоскость может иметь с поверхностью как одну, так и множество точек (линию) . 31ннээя касании может быть в то же время и линиеи пересечения поверхности с плоскостьн>. Возможны также случаи, когда на эюверхности имеются точки, и которых невозможно провести касательную к поверхности; такие точки называя>г особыми. В качестве примера особых точек можно привести точки, принадлежащие ребру возврата торсовой поверхноэти, или точку пересечении меридиана поверхности вращения с ее осью, если меридиан и ось пересекаются не под прямым углом. Виды касания защи;ят от характера кривизны поверхности.
Кривизна поверхности Вопросы кривизны поверхности были исслецованы французским математиком Ф. Дюпеном (1784 — 1873), который предложил наглядный способ иэображения изменения кривизны нормальных сечений поверхности. Для этого в плоскости, касательной к рассматриваемой поверхности в точке М (рис. 205, 206) . на касательных к нормальным сеченинм по обе стороны от данной точки отклацываются отрезки, равные корням квадратным иэ величин соответствующих радиусов кривизны этих сечений, Множество точек -- концов оэ.реэков зацают кривун>, называемую индикатрисой Дюлена.
Алгоритм построения индикатрисы /1юпена (рис. 205) можно записать: 1. М с' .а, М Е )) Л а тт0; 2. [МА>) 1а, [МА>) ! (); 8. [ МА/) с т„[М)э/) с т„, [М)э/) с;„; 4. у> гэ й - 1,, т, г> () = 1, .. т гэ () .= !; б т гэа= />, т гэа — (,, тн гэа=.
6 [МА> [ = ь/В(>, [МЛ,) = ъ/И>>, .,[МАн[.—,,//(!', где Я вЂ” рациус кривизны. (Л, О Л> >З >З Л„) — индикатриса Дн>пена. ) 42 Лозичионныс задачи Рис 207 Рис. 208 Рис. 209 Если индикатриса Дюпена поверхности — эллипс, то точка М наэываетсл эллиптической, а поверхность — поверхностью с эллиптическими точками (рис.
206) . В этом случае касательная плоскость имеет с поверхностью только одну обшук~ точку, а все линии, принадлежащие поверхности и пересекающиеся в рассматриваемои точке, расположены по одну сторону от касательнои плоскости. Примером поверхностей с эллиптическими точками могут служить: параболоид нращения, эллипсоид вращения, сфера (в этом случае индикатриса Дюпена — окружность и др.). Прн проведении касательной плоскости к торсовой поверхности плоскость будет касаться этой поверхности по прямой образующей. Точки этой прямой называются параболическими, а поверхность поверхностью с параболическими точками.
Индикатриса Дюпена в этом случае — две параллельные прямые (рис. 207*) . На рис. 208 показана поверхность, состоящая из точек, н кото- *Крнная второго порядка — парабола . при определенным услониям может распадаться на две деиствительные параллельные прнмые, две мнимые параллельные прямые, две совпадающие прямые. На рис. 207 мы имеем дело с днумя дейстнитель. ными параллельными прямыми. 143 Ляаскаггь, касательная к яааерхяосга рых касательная плогкосз ь пересекав~ поверхность. Такая поверхность называется гиперболической, а принадлежащие еи точки — гиперболическими точками. Индикатриса Дюпена в данном случае — гипербола. Поверхность, все точки которой явлин,гся гиперболическими, имеет форму седла (косая плоскость, одиополостный гиперболоид, вогнутые поверхности вращения и др.) .
Одна поверхность может иметь точки разных видов, например, у торговой поверхности (рис, 209) точка М эллиптическая; точка )ч'— параболическая; точка К вЂ” гиперболическан. В курсе дифференциальной гецметрнн ценазьмастгн, что нормальные сечения, в которых величины кривизны К) =- 1/Лт (где Я) - радиус кривизны рассматриваемого сечения) имеют экстремальные значения, расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Такие кривизны К, '— 1)йшах, Кз '— ' 1/ Вш,л нззынаются главными, а значения Н = (К, + Кз ) )2 н К =- К, Кз — соответственно средней кривизной поверхности н полной (гауссовой) кривизной поверхности в рассматриваемой точке.
Лля эллиптических точек К > О, гиперболических К ( О, параболических К = О. Задание плоскости касательной к поверхности на эпюре Монжа Ниже иа конкретных примерах покажем построение плоскости, ка сательиой к поверхности с эллиптическими (пример 1), параболическими (пример 2) и гиперболическими (пример 3) точками, ПРИМЕР 1. Построить плоскость а, касательную к поверхности вращении )3, с эллиптическими точками. Рассмотрим два варианта решения этой задачи: а) точ. ка М б () и б) точка М ч)) В а р н а н т а (рис. 210) .
Касательная плоскость определяется двумя касательными 1, н 14, проведен. ными в точке М к параллели н меридиану поверхности (). Проекции касательной 1, к параллели Л поверхности () будут б 1 (Я М ] н 11 )) оси х. Горизонтальная проекция на. сательной 14 к меридиану а'поверхности )з, проходнщему через точку М, совпадет с горизонтальной проекцией меридиана. Чтобы найти фронтальнузе проекцию касательной 14, мернднональную плоскость 7(7 ~ М) путем вращения нокруг осн поверхности )) переводим в положе. нне 7',, пвпаллельнос плоскости Яз.
В этом случае точка М ч М, (М,, М",). Проекция касательной 14' - 1з, олрадгля. етсн (М~Я' ). Если мы теперь возвратим плоскость 71 в первоначальное положение, те точка Я ' огтанетсн на месте (как принадлежащая осн вращения), а М) -> -ь М н фронтальная проекция кагатель. ной 14 определнтгя (М"Яа) . Лве пересекающиеся в точке М б )) касательные О н 1т определяют плвс«ость ц, кзсатгльнунз к поверхности р. Вариант б (рнс. 211) Лля построения ллогкости, касательной к поверхности проходящей через точку, не принадлежащую поверхности, нужно исходить нз следующих соображений.
через точку вне поверхности, состоящей из эллиптических точек, можно провести множество плоскостей, касательных к поверхности. Огибающей этих поверхностей будет некоторая коннческан поверхность. Поэтому, если нет дополнительных указаний, то задача имеет множество решений н в таком случае гноднтся к проведению конической поверхности 7, касательной к данной поверхности)).
На рнс. 211 показано построение ко. ннчггкой поверхности 7, касательной к сфере )). Любая плоскость а„касательная к конической поверхности 7, будет касательной к поверхности р. Лля построения проекций понархнос. тн '7 нз точек М н Л! проводим касательные к окружностям Л' н ~" — проекциям сферы. Отмечаем точки касания 1 (1'н 1а),2 (2'н2а),3 (3'нэ") и 4 (4' н 4' ) . Горизонтальная проекция окружности .
- линия касания коНической поверхности и сферы спроецнруется в ( 1 2') Для нахождения точек эллипса, в которыи эта окружность глроецируетсн на фронтальную плоскость проекций, воспользуемся параллелямн сферы. На рнс. 211 таким способом определены фронтальные проекции точек К н Р (К н г' ). Имея коничегкую поверхность 7, строим к нгй касательную плоскость а. Характер н последовательность графнчес- ! 44 ((оэицапллыс эаоачи Ри .
2(О !'нс. 211 ких построений, которые необходимо для этого выполнить, приведены и следующем примере, ПРИМЕР 2. Построить плоскость а, касательную к поверхности () с параболическими точками. Как в примере 1, рассмотрим два варианта решения: а) точка М б (3; б) точка М%,(3. Вариант а (рнс. 212).
Коническая поверхность относится к понерхностнм с параболическими точка. мн (см. рис, 207). Плоскость, касательная к конической поверхности, касается ее но прямолинейной образующей. Лля ее построения необходимо: 1) через данную точку М провести образующую ЯМ(Я'М' и Я"М"); 2) отметить точку пересечения образующей (ЯМ) с направляющей Я: (ЯМ) (1Ф = А; 3) провести касательную ( к 4 в точке А. Образующая (ЯА) и пересекающая ее касательная 1 определяют плоскость П, касательную к конической поверхности р в данной точке М*.
Вариант б (рис, 213) . Лля проведения плоскости а, касательной к конической поверхности !) и проходящей через точку М, не принадлеРис. 212 *Так как поверхность () состоит из параболических точек (кроме вершины Я), то касательная к ней плоскость и будет иметь общую с ней не одну точку М, а прямую (ЯМ). Ллосхоспь касательная к поверхности 445 жашую заданной поверхности, необходимо: 1) через даннчю точку Н и вершину Я конической поверхности () провести прямую а(а' и а"); 2) определить горизонтальный след этой прямой Н е, 3) через Не провести касательные 1) и )~т к кривой И ар — горизонтальному следу конической поверхности; 4) точки касания А (А' и А") и В (В' и Вч) соединить с вершиной конической поверхности Я (У и Я" ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
