Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 28
Текст из файла (страница 28)
А в качестве вспомогательной секущей поверхности т мы можем выбрать поверхность удобной формы и так ориентировать ее относительно плоскостей проекций, чтобы получить простое решение для определения линии ее пересечения с каждой из заданных поверхностей. Среди инвариантных свойств ортогонального проецирования находим (Ф с т)Л(у ( и, ) Ф' с )точ, т.
е., если фигура Ф принадлежит поверхности т ( плоскости нт, то ортогональная проекция Ф' на эту плоскость принадлежит следу поверхности йоо (см. э' 6, свойство 2 г). Поэтому, если принять за вспомогательную секущую поверхность т ) от (или л, ), то линии т. и п пересечения этой поверхности с поверхностями а и )) будут иметь горизонтальные (или фронтальные) проекции лт/ С йо,, и и; С )т„т, (лт" .С ~о, и л" С )от ), т.
е, РешениепоДчас сложной задачи на построение линии пересечения поверхностей а и () мы заменяем решением двух простейших задач: 1) определить линию пере. сечения проецирующей поверхности т с поверхностью сц 2) определить линию пересечения той же поверхности т с поверхностью (). Очевидно, что каждая из этих задач сводится к построению второй проекции линии, принадлежащей поверхности, если известна одна из ее проекций.
Решение последней задачи состоит из многократного определения недостающей проекции точки, принадлежащей поверхности, т. е. сводится к решению позиционной задачи второго вида А Е о (см. э 40) . Рис. 18 > за такие тачки приняты 8 и 6. Пересече- т>е >л> О л> " 1.>. Точки 1.> и ! > анре. делнют искомую примул> !. ПРИМЕР 2. Определить линию пересечения плоскостей и и (), заданных следами (рис. 184). РЕШЕНИЕ.
В данном случае решение значительно упрощаетсн п связи с тем, что отпадает необходимость в выполнении построений, предусмотренных перва>м и вторым пунктами алгоритма (см. ,,' 43, табл. 8) . Эта происходит потому, что роль вспомогательных секущих плас. костей 7> н 7> при задании шюскости следами могут выполнять плоскости проекций и, и х>, а соответствующие следы Л>,, Лор и !о„, /о,> несут функции проекций прямых т, и и >л, л . Следовательно, точки пересечения одноименных следов плоскостей и и () определяют положение проекций точек 1,, и!.>: 1> =Лоо>>йорн)> 1оо'>!ор.
Через одноименные проекции точек !., и Л> проводим проекции искомой прямой!' и 1 . Если одноименные следы плоскостей не пересекаются в пределах чертежа, то не представляется возможным использа. вать плоскости проекций в качестве вспомогательных секущих плоскостей В этих случаях приходится вводить секущие плоскости, которые целесообразно проводить параллельно плоскостям проекций. Поясним сказанное на примере решения задачи по определенна> линии пересечения плоскостей аи )). Перестоял>с ллогкостго ! 29 ПРИМЕР 3. Определить линии> пересечении шюскосгей и и() (рис.!86). РЕШЕНИЕ. Впацим вспомогательные секущие плоскости 'Г, (~ х> и 7> )) >>>.
Эти плоскости пересекают заданные и и () по горизонталям Л, и Л> (плоскость '1> ) и фронтонам !> и !> (шюскость 7> ) . Находим тачки 1. > н 1, > . !. > — Л>> Г> Л>т ., 1,'. = ! ! О / >. Знал 1. > и 1,",, ш>рецеляем 1.>' и 1,>. Через одноименные проекции точек !.'> ! > и !.",!.'> проводим проекции ! и 1 искомой прямой пересечения плоскостей и и (). Эту же зацачу можно решить иначе. Вместо двух вспомогательных секущих плоскостей урания взять одну плоскость 7 общего положения, параллельную одной нз заданных плоскостей п (или ()) . Такой вариант решения основан на том', чта пинии пересечения плоскости и двуми параллельными плоскостями () н 7 параллельны между собой. ПРИМЕР 4.
Определить линии> пересечении плоскостей и и !) (рнс. 186) . РЕШЕНИЕ. Проводим вспомогательную секущую плоскость 7 )) () (Ло.> () Лайн !о> (( !ор) . Точку Хт выбираем так, чтобы одноименные следы плоскостей а и 'у пересекались в пределах чертежа. Находим 1> — линию пересечении плоскостей и и 'у. Проекции !> и Р> указывал>т направлении проекций линии 1 пересечения плоскостей а и !). Для апрецелеиин >очек, через ко>орые пройдут зги п)юекции, рассмотрим ьх Лох, с»)Х„Л>"Хр. В,бх„!.'4х, (Л, 1,1) )) (1.з1. ) >з Л 1,уХр, поэтому 138 (!оэицаонные задачи рн .
!Ва рис. 187 Решение задачи по определению линии пересечения плоскостей значительно упрощается, если одна из плоскостей занимает проецирующее положение. Из рис. 187 и 188 видно, насколько прогце решается задача, когда одна из пересекающихся плоскостей — проецирующая, по сравнению с задачей (см. пример 1, рис. 183), в которой обе плоскости занимают общее положение. В этих случаях появляется возможность воспользоваться инвариантом (Ф С !) ) Л(Д 1 л, )» Ф' г (ьаз, поэтому одна из проекций линии пересечения (!' на рис. 187 и !" на рис. 188) входит н состав исходных данных задачи (!' в)ьеа на рис.
187 и !": (ее на рис. 188) . Решение сводится к определению недостающей проекции прямои, принадлежащей плоскости (см. ч 41, пример 2, рис. 179) . (х х,! !х т.;! . Из этой пропор(х ха! )х т.;! ции определяем !Х Е,~| и через точку !. !' проводим !" |! !,". Для нахождения горизонтааьнои проекции ! достаточно составить пропорцию: !х,х,! !хе!.; ! !х.х ! !Х,тб! ' Трн отрезка нз четырех ьаданы на чер. теже, зто дает возможность определить четвертый (Хе!.т). Через точку !.з проводим !' 1~ !',. Перессчеляе ловерхесгге ллосяос~ью (построение сечелва) ПП 9 4б.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ (ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЯ) ПРИМЕР 1. Определить сечение четы. рехграииой призмьз АВСПЕУСН (рис. 189) плоскостью а(с )) Ь) . РЕШЕНИЕ, Решаем эту задачу способом ребер. Для этого заключаем ребра в горизонтально проецирузощие плоскости 7з', 7з. 7з, 7э '7з ~ (АЕ)' 7з ~ (ВУ); 7з ~ (СО); 74 ~ (ПН). Находим проекции линий пересечения этих плоскостей с плоскостью а (прямые 1, 2; 3, 4; 6„6; 7, 8).
Отмечаеьч точки пересечения полученных прямых с соответствующими ребрами призмы К = (1, 2) ГЗ (АЕ); Е = (3, 4) О (ВР); М:= (5, 6) О (СО); Ж = (7,8) Й (ПН). Четырехугольник КЕММ вЂ” искомое сечение. Решение задачи зиачительио упрощается, если секущая плоскость или плоскости граней (если многогранник относится к призмам) занимает проецирующее положение. ПРИМЕР 2.
Определить сечение трехграииой пирамиды ВАВС гориэоитальио проецирующей плоскостью а (рис. 190). Для получения ответа иа посталвеииую задачу ие требуется никаких дополнительных построений. На основании инвариантного свойства 2г (3 6) горизонтальная проекция сечения пирамиды плоскостью а должна прииадлюкать следу плоскости Лар. Поэтому достаточно отметить точки М, Лз', Е', в которых гориэоитальиый след Л еа секущей плоское. *В частном случае миогоугольник сечения может проецироваться в отрезок прямой (см.
иивариаитиое свойство 2г, 8 6) . При пересечении поверхности или какой-либо геометрической фигуры плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением. Сечение поверхности плоскостью в общем случае представляет собой кривую (или прямую, если пересекаются плоскости), принадлежащую секущей плоскости. Определение проекций линий сечения следует начинать с построения опорных точек — точек, расположенных на очерковых образующих поверхности (точки, определяюшие границы видимости проекций кривой); точек, удаленных на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций.
После этого определяют произвольные точки линии сечения. Если произвольные точки определяются с помощью одного и того же приема, то для нахождения опорных точек, как правило, приходится пользоваться различными способами. В дальнейшем при построении сечения поверхности и линии пересечения поверхностей будет показано нахождение как опорных так и произвольных точек сечения. А. Построение сечения многогранников. Многогранником называют пространственную фигуру, ограниченную замкнутой поверхностью, состоящей из отсеков плоскостей, имею- и)их форму многоугольников (в частном случае треугольников) . Стороны многоугольников образуют ребра, а плоскости многоугольников — грани многогранника. Проекциями сечения многогранников, в общем случае, являются многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны — граням многогранникае Поэтому задачу по определению сечения многогранника можно свести .к многократному решению задачи по определению точки встречи прямой (ребер многогранника) с плоскостью или к задаче по нахождению линии пересечения двух плоскостей (грани многогранника и секущей плоскости) .
Первый путь решения называют способом ребер, второй — способом граней. Какому из способов следует отдать предпочтенение, надо решать в каждом конкретном случае. пет, . 139 В" А Рис 190 Рис. 191 ! 32 l рпшчиачные залечи ти о пересекает горизоитальные проекции ребер пирамиды. Фронтальные проекции вершин треугольника сечения определяются по их горизонтальным проекциям. Для этого до. статочно из точек М, )Ч, Ь провести лилии связи — вертикальные прямые и отметить точки их пересечении с Фронтальными проекциями ребер пирамиды. А Е" В" В" С" ПРИМЕР 3, Определить сечение пятигранной призмы АВС(1Е, ребра которой перепендикуляриы горизонтальной плоскости проекции, секущая плоскость а— общего положения (рис.
191) . Так как ребра призмы перпендикулярны плоскости л,, то горизонтальные проекции точек пересечения этих ребер с плоскостью а (1', 2', 3', 4', 5') совпала- Пересечепие поверхности плоскостью (33 (построение сечения) ют с горизонтальными проекциями ребер, т. е. >очками А', В, С, Р, Е . Фронтальные проекции точек встречи определяем из условия прина>п>ежности этих точек плоскости а Решение сводится к нахождении> недостающей проек. ции точки, принадлежащеи плоскости, если известна хотя бы одна из ее проекций (см.
9 40, пример 3, рис. 171). На рис. 191 фронтальные проекции точек 1", 2", 3"„4", 5" найдены с помощью фронтальнои плоскости а. Б. Построение сечения поверхности вращения. Так как для рассматриваемого круга задач в алгоритме ( =- (Ь> и 4.> (1 ь, и ... () х.л); [Ц = (7. г) а) г) (7 >) р) ] а — поверхность враще ния, а () — плоскость, то для нахождения облтих точек Ь], ..., принадлежащих как поверхности о, так и плоскости (), целесообразно в качестве вспомогательных секущих поверхностей 7 принять плоскости, перпендикулярные к оси вращения; в этом случае плоскости 7 будут пересекать поверхность ц по окружностям, а плоскость () по линиям уровня*. Определение точек Ь сводится к нахождению точек пересечения прямой с окружностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
