Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пересекаюшиеся прямые 1~, (АЯ) и (ВЯ) определяют искомые касательные плоскости п~ и пз ПРИМЕР 3. Построить плоскость и, касательную к поверхности )) с гиперболическими точками. Точка К (рис. 214) находится на поверхности глобоида (внутренняя поверхность кольца). Рис. 214 12 32 Рис. 213 146 )7озиниоллые эадачи Для определения положения касательной плоскости анеобходимо: 1) провести через точку К параллель поверхности(Э 6(6, Л ); 2) через точку К' провести касательнУю () ( 17 = К'); 3) для определения направлений про. екций касательной к меридиональному сечению необходимо провести через точку К и ось поверхности плоскость 7, го- РизонтальнаЯ пРоекциЯ (э' совпалет с л ат', для построения фронтальной проекций касательной (т' предварительно переведем плоскость '7 путем вращения ее вокруг оси поверхности вращения в положение 7, (~ хы В этом случае меридио.
нальное сечение плоскостью 7 совместится с левой очерковой дугой фронтальной проекции — полуокружностью К". Точка К (К', К"), принадлежащая кривой мерндиональиого сечения, переместится в положение К, (К,', К",). Через К', пролог(нм фронтальную проекцию касательной („в совмещенном с плос! костью 7~ (( хэ положении и отмечаем точку ее пересечения с фронтальной проекцией оси вращения Я'~'. Возвращаем плоскость 7, в исходное положение, точ.
ка К~' -~ К" (точка Я1 — -Я") . Фронтальная проекция касательной (э определится точками К" и Я". Касательные (, и (. определяют иско. мую касательную плоскость и, которая пересекает поверхность () по кривой !. ПРИМЕР 4. Построить плоскость о, ка. сательную к поверхности () в точке К. Точка К находится иа поверхности одиополостного гиперболоида вращения (рис, 215). Эту задачу можно решить, придержи. наяеь алгоритма,использованного в прелыдущем примере, но учитывая, что по.
верхность однополостного гиперболоида вращения является линейчатой поверх. пастью, которая имеет два семейства прямолинейных образующих, причем каждан из образующих одного семейства пересекает все образующие другого семейства (см. 8' 32, рнс. 138) . Через каждую тачку атон поверхности можно провести лве пересекаюшиесн прямые— образующие, которые будут одновременно касательными к поверхности одно- полостного гиперболоида вращения. Построена<' дании пер<сечение аоаерхлосгеа ) 47 /о<илий случай) 3>н кагагельпые опредечн>о< касательпу>о пло< кость, <.
с. <пюскос>ь, касатель нан к >юн< рацос гн одпонолостного гн>п рВолонда прап><*ннн, перес< кает ну <юп< рх ° но< >ь по доум прнмым Х, н Х>. 1(ля >л><'>р<и цнн проею<нн пна црнмыа дос>азочп<> нз горн юнзальнон проекцнн гочки х пр<нцч гн касазельньц б н г. к >орнзон- зальнон проекции окружности 4> — горла <юнерхпоетн однополосзного гиперболоида крашении; определн>ь точки Р н > 2, и которых >> н (> пересекал~ одну нз напранлнкццнх цонеркностн Н<. По Р н '>' днм Р' н а", т<>р* « .
о с я определлкп фронтальцьп" проекции н< комых прнмых. () 47. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) Й алгоритме длп решении задач па построение линии пересечения днУх повеРхностсй 1 (1., О В, Ы В, Ы... <Э Ел); ( (У)О ) О (тт О())1 н качестве нспомо>агельнои поверх>шоти (посредника) 'ут следует выбирап, поверхности, которые пересекали бы заданные поверхности а и () по наиболее простым для построения линиям — прямым илн окружностям. В качестве вспомогательных поверхностей — посредников наиболее часто используются плоскости и сферы; при решении некоторых задач бывает целесообразно обращаться за помощью к цилиндрическим и коническим поверхностнм. Ниже б>удет показано решение задач на определение линии пересечении понерхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей (й 48), цилинс)рических (~( 49), конических (~ 50), а также сферических ((( 51) поверхностей. Прежде чем решить вопрос, какую вспомогательнуи> секущуи> поверхность выбрать для построения линии пересечения поверхностей, следует выясннтап не занимает ли одна из пересекающихся поверхностей проецирующее положение, так как в данном случае решение поставленной задачи значительно упрощается.
Это происходит из-за того, что одна из проекций линии пересечения будет совпадать со следом проецирующей поверхности, которая входит в условия поставленной задачи (см. инвариантное свойство 2г, з 6) . Поэтому решение сводится к определению недостающей проекции линии, принадлежащей поверхности, если известна одна ее проекции и указаны проекции поверхности (см. 5 41, пример 1, рис, 178) . Рис. 216 иллюстрирует решение задачи по определению линии 1 о О р, при этом () 1 л, . Зелеными лининми показано построение фронтальной проекции 1' — линии пересечения сферической поверхности а с поверхностью горизонтально проецирующего прямого кругового цилиндра б. Точка А, принадлежащан линии пересечения поверхностей и являющаяся ближайшей к вертикальной осн >' поверхности сферы, одновременно будет выс>пей точкой А на фронтальной проекции кривой 1 .
Точка  — крайнян правая на линии пересечения является также границей видимости кривой 1 . На рис. 217 показано определение горизонтальной проекции 1'— линии пересечения произвольной конической поверхности а с фронтально проецируя>щей цилиндрической поверхностью (). В этом случае, как и в предыдущем примере, задача на построение линии пересечения поверхностей сводится к определению недостающей проекции линии 1, принадлежащей поверхности о. Все построения, необходимые для нахождения точек А', В', С, ...
кривой 1' по заданным точкам А", В", С", ..., выполнены зелеными линиями и не нуждаются в дополнительных пояснениях. 148 Паиинионныееадани 1 )2' х нет, те 5 Рис. 21б з 48. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ При определении линии пересечения поверхностей пользуются не отдельными плоскостями, а пучками плоскостей, причем ось пучка может быть как собственной, так несобственной прямой.
Рассмотрим каждый из этих вариантов в отдельности. 1. Определение линии пересечения поверхностей с помощью пучка плоскостей, ось которого — собственная прямая. Этот способ применяется для построения линии пересечения: а) двух конических поверхностей; б) конической и цилиндрической поверхностей; в) конической поверхности с поверхностью пирамиды нли призмы; г) двух цилиндрических поверхностей; д) цилиндрической поверхности с поверхностью пирамиды или призмы, Сущность способа легко проследить на примере решения задачи по определению линии пересечения двух произвольных конических поверхностей а н (( (рис.
218) . Раньше (см. 5 45, рис. 198,в) было установлено, что коническая поверхность пересекается плоскостью по двум пересекающимся прямым образующим в том случае, если секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности. Поэтому, если через вершины Я, н Я~ конических поверхностей в н (( провести прямую а н заключить ее в плоскость т, то эта плоскость пересечет поверхность в по прямым (Я, 1), (Я1 2) й поверхность () по прямым (Я, 3), (Я, 4). Эти прямые пересекаются в точках А, В, С, В, принадлежащих искомой линии пересечения. Построение линии нересеиенил новерннистей с шмощью 149 вспомогательных секущих нлосностей Повернув вокруг прямой и плоскость ту на 1 рь, получим новое положение секущей плоскости т,.
Плоскость т, также пересечет поверхности и н б по прямым, которые, в свою очередь, пересекаются в точках, также принадлежащих линии пересечения. Поворачивая плоскость т1. вокруг прямой а, мы будем получать различные положения секущих плоскостей и соответствующие им прямые линии их пересечения с заданными поверхностями:". При построении проекций линий пересечения поверхностей на эпюре в первую очередь необходимо определить опорные точки, которые получаются при сечении поверхностей а и р плоскостями, касательными к одной, в частном случае к двум, пересекающимся поверхностям. На рис. 218 показаны плоскость тт, проходящая через прямую а и касательная к поверхности а, и плоскость т,, также проходящая через прямую а н касательная к поверхности и.
Горизонтальные следы этих плоскостей И и т, и И с т, определяют 1- Ивт, Нв Ивтэ, в пределах которого следует проводйть горизонтальные следы всйомогательных секущих плоскостей. С помощью плоскостей у и у, можно определить четыре точки, принадлежащие линии пересечения. На рис. 218 показаны две точки Е и с, полученные с помОщью плОскОсти 71 . На рис.
219 прйведен пример определения положения прямой а, через которую должны проходить вспомогательные секущие плоскости, с помощью которых можно найти точки, принадлежащие линии пересечения конической и цилиндрической поверхностей. Решение этой задачи по существу не отличается от только что рассмотренного примера. Действительно, цилиндрическая поверхность отличается от конической тем, что точка Я (вершина конической поверхности) у цилиндрической поверхности оказывается .
несобственной точкой Я,. В этом случае прямая а, проходящая через точки Я и Я *Поэтому описываемый способ иаэывают также способом вращающейся ппос. кости. рис. 218 150 )ьюиииаииыс млачи )1ат, ат, Рис. 219 будет параллельна образующей цилиндрической поверхности. Все остальные построения ничем не отличаются от рассмотренных в предыдущем примере (см. рис. 218).
В качестве примера использования пучка плоскостей для определения линии пересечения двух поверхностей по заданным их ортогональным проекциям рассмотрим следующую задачу. и, = (Я,ЦО(Я,2) и М, = (Я,ЦП Г1 (Ят 3). Ь. Через прямую а проводим плоскость тэ, касательную к конической поверхности и". Находим прямые (Я~ 4), (Я ~ 3) и (Ят 6) и отмечаем точки Д ~ и ( т их взаимного пересечения. ПРИМЕР. Построить линию пересечения двух конических поверхностей и и () (рис.
220) . РЕШЕНИЕ. 1. Через вершины конических поверхностен Я~ и Ят проводим прямую а . 2. Определяем горизонтальный след прямой а — На. 3. Заключаем примую а во вспомогательную секушую плоскость ты касательную к конической поверхности и. Отмечаем прямые (Ят 2), (Яэ 3) и (Я~ 1), по которым эта плоскость пересекает поверхность (), и касается поверхности п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
