Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 33
Текст из файла (страница 33)
4. Отмечаем точки М~ и Мэ, принадлежащие искомой линии пересечения На рис. 220 показано также определение точек Кы Кт и Мы Мт с помошью вспомогательной секушеи плоскости 7. Соединив в определенной последовательности плавными линиями одноименные проекции точек, получим проекции искомой кривой пересечения данных поверхностей. 2. Определение линии пересечения поверхностей с помощью пучка плоскостей, ось которого — несобственная прямая. Этот способ является частным случаем предыдущего, Отличие состоит лишь в том, что прямая а — несобственная, она проходит через несобственные точки 8, и Я, Рис.
221 иллюстрирует наглядную геометрическую модель рассматриваемого способа. Чтобы выбрать наиболее рациональное положение вспомогательной секущей плоскости для определения линии пересечения двух произвольно расположенных цилиндрических поверхностей, достаточно представить заданные цилиндрические поверхности как образованные из конических поверхностей с вершинами в несобственных точках Построениелинии пересечении поверхностей с помощью т5т вспомогательньж секущих плоскостеи Я,, и Я, . Поэтому семейство секущих плоскостей будет составлять пучок параллельных плоскостей, проходящих через несобственную прямук~ а (Я, Я, ) .
Для определения направления горизонтальных следов плоскостеи этого пучка достаточно из произвольной точки пространства Т провести две прямые: в,, параллельную образующей илиндрической поверхности а, и в,, параллельную образующей цилиндрической поверхности 5. Эти пересекающиеся прямые определят направление вспомогательных секущих плоскостей т, которые пересекают поверхности а и)) по прямым линиям. Проведя плоскость 7, параллельную у, мы получим две прямые, по которым плоскость у 1тересекает поверхность а, и две прямые при ее пересечении с поверхностью 0.
Взаимное пересечение этих прямых укажет четыре точки А, В и С, тт, принадлежащие линии пересечения. Ллн нахождения опорных точек, как и в предыдущем примере, проводим плоскости т, и т, соответственно касательные к поверхностям а и )). С помощью этих плоскостей находим точки М,, М, и тч,, тт', . Положение горизонтальных слей )т яют рой ель- пре- дле- Н'" х— 3" 10 7" 4" а пот, )ьстг Рис. 220 132 Позиаиояяые задачн 73 71 и 'э, — -'Г ' Рис. 221 Использование семейства вспомогательных секущих плоскостей, взятых из пучка плоскостей с несобственной осью, для определения на эпюре Монжа линии пересечения двух поверхностей проследим на следующем примере. Способ параллельных секущих плоскостей можно использовать для определения линии пересечения и в том случае, когда зти плоскости пересекают заданные поверхности не только по прямым, но и по окружностям или комбинации из этих линий (одну поверхность плоскость пересекает по прямой„другую — по окружности):".
Примером может служить пересечение сферической и цилиндрической поверхностей. ПРИМЕР. Определить линию пересечения поверхности эллиптического цилиндра и с поверхностью сферы () (рис. 223) . РЕШЕНИЕ. 1. Проводим в ингервале между точкамн 1' и 2' вспомогательные секущие еплоскость можно использовать и н том случае, когда она пересекает поверхности по произвольным кривым пиниям. ПРИМЕР. Определить линию пересечения двух произвольно расположенных эллиптических цилиндрических поверхностей аи() (рис. 222) . РЕШЕНИЕ. 1. Определяем направление вспомогательных секущих плоскостей. Для этого через произвольную точку пространства Т проводим прямые а, и аз, параллельные образующим данных цилиндрических поверхностей а и ().
Горизонтальные следы этих примых Нд~ и Паз определяют слеп вспомогательной секущей плоскости 7. 2. Проводим секущую плоскость 7~, параллельную плоскости 7 и касательную к поверхности (). Эта плоскость пересе. чет цилиндрическую поверхность ппо прямым (Я| 1), (Я, 2) и будет касать- ся поверхности () по примой (Яы 3). Взаимное пересечение этих прямых укажет точки М, и Мз, принадлежащие ис. комой линии пересечения. 3. Проводим плоскость 7з,параллельную плоскости 7 и касательную к поверхности и. Мы вновь получим две прямые (Яз 5) и (Ят 6), по которым плоскость 7з пересекает поверхность(). Плоскость 7з пеРесечет (коснетсЯ) повеРх.
ность и по прямой (Я~ 4). Получен. ные прямые пересекаются в точках я~ и "т На рис. 222 показано также построение точек К,, Кз и Ьн Вз с помощью вспомогательной секущей плоскости 71 и точек А н Аз, В,, Вз и Сн Ст, Пн Пз, найденных при помощи плоскостей 7э и 74. !Ьзггрогнис нинин нсрссснонин нзюсрхносгги сзкзмоиЗьн> 'з 53 нснимосигсньных гткущих шшгкосгьй .,тн зз" за НО.
5,, 5. и '' Т' "ат, атз "ат ! ать яат . Рис. 222 плоскости 71, 75, 7з 7», 75, параллельные фронтальной плоскости проекции лз. Каждая из этих плоскостей пересечет цилиндрическую поверхность по прямолинейным образующим, а поверхность сферы по окружностям. 2. Плоскости 7з и 75, параллельные лт и касательные к цилиндрической поверхности, укажут прямые а и Ь, которые будут содержать опорные точки А, А, и В, В,— дальние А, А~ и ближние В, Вз по отношению к плоскости лз точки кривой пересечения. 3.
Ллн определения высшей М, и низшей Уточек линии пересечения проводим 7н, проходязцую ч~р~~ ц~~~р поверхности сферы. Эта плоскость пересечет сферу по главному меридиану. 4. С помощью плоскости 7з, пРоиеденной через ось цилиндрической поверхнос. ти, определяем точки Е, Е, и Е, Еы указывающие границы лицимости линии пересечения на фронтальной проекции. На рис.
223 показано построение про извольных точек, принадлежащих линии пересечении, с помощью плоскости проведенной в полосе, ограниченной плоскостнми 7, и 7с 154 пазннионные задачи Рне. 222 ф 49. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПОМОййЬЮ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В тех случаях, когда требуется построить линию пересечения двух поверхностей, из которых одна — линейчатая цилиндрическая, а другая — произвольная поверхность вращения, целесообразно в качестве поверхностей-посредников использовать цилиндрические поверхности.
На рис. 224 показано решение задачи по определению линии пере- сечения поверхности эллиптического цилиндра еч и поверхности коль- 77остроение линии пересечении поверхностей с помощью 155 вспомогательных цилиндрических поверхностей ца р. В данном примере в качестве вспомогательных секущих поверхностей целесообразно использовать поверхности эллиптических цилиндров, оси которых параллельны оси заданной цилиндрической поверхности о.
За направлнющие цилиндрических поверхностей следует принять окружности — параллели кольцевой поверхности 77. Определение точек, принадлежащих линии пересечении поверхностей а и 77, осугцествляется следующим путем: 1. Пересекаем поверхность кольца плоскостнми с,, с,, е,, ..., параллельными плоскости л, . Полученные в сечении окружности с,, с,, сэ, ... пРинимаем за напРавлающие ЦилиндРических повеРхностей 7,, 7;, 7э 2. Определяем горизонтальные следы этих понерхностей й вт„ 77 ч.„, ... и отмечаем точки пересечении этих следов с горизонтальным следом заданной цилиндрической поверхности 7т»хт.
3. Через полученные точки проводим прямолинейные образующие Яы Ят, Ят, Ю4, 77», К„, ПО КОТОРЫМ ПОВЕРХНОСТИ 7,, 7;, 7,, ... ПЕРЕСЕКаЮт данную поверхность о. 4. Точку 7т' принимаем за центр окружностей — горизонтальных проекций линий пересечения поверхности кольца плоскостями е,, с,, ее б. Отмечаем точки 7', 2', 3', 4', К о' пересечения этих окружностей с соответствующими прямолинейными образуктщими цилиндрической 7» 70» 7»» Рис. 224 (56 >!и>илиолаые задачи поверхности а. ."Зная гюложенне точек 1', 2 3, ..., определяем их фронтальные проекции 1", 2", 3", ...
Отмечениь>м путем можно пронести лн>бое количество вспомогательных цилинлрических поверхностей и с их иомощьн> определить достаточное число точек, необходимых для построении линии пересечения поверхностей ц и 8. З) ВО, Г)ОСТРОЕГ!ИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ КОНИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Использование вспомогательных конических поверхностей для упрощения построения линии пересечения двух поверхностей дает положительный эффект лишь н том случае, если мы для получения вспомогательной проекции воспользуемся центры>ьным проецированием, приняв за центр проекции вершину конической поверхности Я.
В этом случае лк>бая коническая поверхность, принадлежащая связке конических поверхностей, вершннь> которых принадлежат точке Я вЂ” центру связки, займет ироецирун>шее положение относительно плоскости проекции, что даст возможность так же, как это было сделано ири использовании плоскостей и цилиндрических поверхностей (з 48 и 49), базироватьсн на инвариантном свойстве 2г*ФС те>, (у1 1 л, ) о Ф с'й о т и благодаря этому упростить решение задачи. Построение линии пересечения поверхностей с помощьк> конических поверхностей целесообразно н тех случаях, когда одна из пересекал>шихся понерхностей коническая, а другая поверхность вращения.
Например, если заданы поверхность врашения и произвольная коническая поверхность, то для определения линии их пересечения следует воспользоваться вспомогательными коническими поверхностями, вершины которых совпадают с вершиной заданной конической поверхности, а за направляюшие этих поверхностей принять окружности, проведенные на поверхности вращения. На рис. 225 показано решение задачи на построение линии пересечения поверхности вращения с конической поверхностью.
Геометрические построения, которые необходимо осуществить для определения линии пересечения, выполняем в следуюшем порядке: 1) на поверхности вращения а проводим ряд окружностей с,, с,, с,, ..., которые можно рассматривать как результат пересечения поверхности а пучком плоскостей Ге ...1, параллельных плоскости л,; 2) принимаем эти окружности за направляюшие конических поверхностей т» тз, т,, ... с вершиной в точке Я.
Горизонтальными следами этих поверхностей будут окружности )>от 8 от Лот > " про> > веденные из центров 2, 7, 12 ..., радиусами, соответственно равными фронтальным проекциям отрезков ) 2", 3" й ( 7", 8" ), ~ 12", 13о); 3) определяем прямые (Я'4'), (Я'8'), (Я'Я'), (Я'10'), (Я'14 ), (Я 18 ), по которым вспомогательные секу>цие поверхности т>, т,, тз пересекают заданную коническую поверхность ГЗ; *Инвариантное свойство 2г, сформулированное относительно плоскости лрн ортогональном проецировании, цудет справедливым н длл конической ловерхности, если нелользовать цонтрьлылзелроецнрованне. Построение линии пересечении поверхностей с номощью 157 всномогателъных конических новерхностеа 4) отмечаем точки пересечения этих прямых с соответствующими окружностями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
