Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 29
Текст из файла (страница 29)
*Имеется в виду, что ось поверхности вращения перпендикулярна плоскости проекции ПРИМЕР. Определить сечения поверхиос>и сферы а плоскостью общего положения () (рис. ) 92) . РЕШЕНИЕ При сечении поверхности сферы плоскостью п»лучается окружное>ь. Если секущая плоскость общего пОложенин, то эта окружное~ь проеци. руется на плоскости проекций в виде эллипсов. Построения начнем с определения опорных точек. Для нахождения низшей А и высшей В точки кривой сечения проводим через центр сферы О вспомогатель.
ную секущую плоскость 7, 1 )> ер. Точки Л и В принадлежат линии пересечения плоскостей 7, и () Эти точки находят в результате пересечения прямой (1, 2) — О и с поверхностью а. А н  — (1, 2) О о. Для их определения воспользуемся способом замены плоскостей л> проекций. Перейдем ат системы х — к й> л> х> — Ось х, проводим перпендикуляр. > ИО Йе>). ПО ОтнОшению к тт> плОскОсть)) занимает проецирующее положение, поэтому точки А" ,и В",, в которых след Уер, пересекает новую Фронтальную проекцию очерка сферы и",, будут вспомогательными проекциями искомых то. чек. Обратными построениями определя. ем положение горизонтальных А', В', а затем и фронтальных А", В" проекций искомых точек.
[А'В'] является малой осью [диаметром) горизонтальной проекции эллипса Для определения большого диаметра этого эллипса [ Р' Е' ] достаточно иэ испо. могательной проекции центра сферы О>' провести прямую, перпендикулярную к отрезку [А'>В>']. Точка С> (С', С"), в которой перпендикуляр пересекает [А'>', В>'], является центром эллипса, че. рез который пройдет сопряженный (большой) диаметр эллипса РЕ, РЕ принадлежит горизонтали плоскости ().
Для определения точек Р и Е вводим вспомогательную секущую плоскость 7>, проходящую через точку С и параллельную плоскости проекций л>. Эта плоскость пересекает понерхность сферы по окружности с, которая проецируется на плоскость х, беэ искажения в окружность радиуса В = [ б" 7 "], проведенную иэ центра О'. Пересечение этой окружности с горизонтальной проекцией горизонтали Л > определяет положение горизонтальных проекций точек Р' и Е'. Для нахождения точек Р и О, являющихся граничными точками видимости для фронтальной проекции эллипса, воспользуемся плоскостью 7> () х>. Эта плоскость пересечет поверхность сферы по главному меридиану, который проецируется на х> но фронтальную проекцию очерка сферы, а плоскость () по фрон- тали т э (тэ т> ) .
Пересечение /э с фронтальнои проекции очерка сферы укажет положение точек Е" и 6". Для нахождения точек й> и Д>, указы. иающих границы видимости на горизонтальной проекции сечения, проводим плоскость 7> )) >т> (7> Э О). Плоскость 7ч О р = Й 4, а поверхность сферы — по окружности, которая проецируется на плоскость х, в горизонтальную проекцию очерка сферы.
! 34 //озвдионные задача Рис 192 Если 'илана произвольная ионе)зхносгь нращсншц ~о ход решения задачи и последовьгттельиость ныполненин геометрических поп!роении ничем не отлнчаегся от случаи, рагсмотренного на р)п . 1112. !!а рис. 1113 ~юказано иостроещи сечегигп ироизиольной ионерхно< ~и иранц нии а плоскогтью оои/его полоукен/иг р'. !хйгк и ц ирсдыдупн м примере, ьначщи' определены оиорныг точки: 1зизи)ая Л и высщан Л; точки С, /) - грщшцы пидимосги иа фрон гцльнон и гочки Е, /с — иа 1.оризонтальнон проекц/1ых. 1!а рис.
193 пока/ано также пот !роение ПРО/ЬЗВОЛЬИЫХ ГОЧЕК 1., И /.г Пересечение Ь4 с горизонтальным очер. ком сферы а определяет положение искомых горизонтальных проекции точек кр иа Лдн определении произвольных точек /,, и /., принадлежащих линии сечении, как пранило, целесообразно в качестве нспомогатспьнои секущей плоскости игпопьзовать цпоскосгг! уровни На рис 1В2 показано построение нг чек /., и /, з с помощью ~оризонгадьнои плоскости у; Проведя плоское~ и у !! а ы мы каждый раз йуцем получать ойружпосгь в результате пересечении т с о и прямую ~ ори зонталь прн переть чс.
нии т с /). 1/ерс<ччюнин окружносгей и иримых укажу~ ич>лох сине горизонталь. ных проекций точек, принадлежащих го. ризонгальнои проекшш линии сечении !(ерео.чеиие поеерхиости о>«оскость«о 135 (построение сечеиин) Рш«и««и«заЛичи ««о о>цилелсиии> сечения поверхности вращения о ««ло«ког«ьш .ишчи««льио у««рощи «си, «или секущая плоскость занимас> «ц>огцируи>иич «и>ложш>и«>.
В >«ом случае ол««а из проекции сечения —- о ции> к «ц>и мои, «ц ниши>п >ки г «леду нлоскои«и. )влачи «ю о«цндсло««ии> и«орой «цюекции линии сечении снодитсн к м«ю«окрагиому рсиич>ии> ршич рассмот речи«ои идачи по нахождении> н«орои «ции кции гочки, «ц>ш«адлккащеи ««лоскосчи, если известна хо«и бы ш(иа «е пр«и кции [см. )> 4(), «ц>имер,'), рис.
171) . Рис. 1!)! лас«««рсл««шиич«ие о >аком час««и>м случае решения залачи. И«ч(рт(жа нилно, что оно «цющс решении, рассмотренных на рис. 192 и 11):!. !!о>«ому целесообразно цри ршиении задач на о««реЛе>п ни«сечении понерхности плоскостьи> предварительно перевести секущуи> «ннн кос>в и «цюецируи>щее положение. В. 1!ос«роение сечении иоверхности прямого кругового конуса. )!оверхность «ци«мшо кругового конуса относитсн к поверхностям иращения, но мы рассма«риваем ее отдельно, так как она занимает особо«место срели других ««о«>ерхнос>сй вращения, Эта поверхность и «чин м роде уникальна, оиа служит носителем замечательных криных второго порилки: окружно«ти, >ллипса, «гараболы и гиперболы. Роль и облас«и ис«юльзониния з«их криных н науке и, особенно, технике «и нозмож>ю «и".рсоцеииты !Йе перечислен««ые кривые нвлнются плоскими и, следовательно, могу«быть получены в результате сечения конической поверхности плоскостью.
В слизи с этим перечисленные кривые называют также коническими сечениями. В частных случаях 'при определенном положе««ии секущих плоскостей а>, ))>, т«(см. рис. 195, 196, 197) кривые и .(ЧЗ Рис. 194 136 Логияионнь>с га>хн>и второго порядка распада>отея на две прямые (дейсгвительные или мнимые *) . Прежде чем говорить о построении ортогональных проекций сечения поверхности прямого кругового конуса, отметим существование теоремы, которой будем пользоваться при построении кривых в>орого порядка. Т е о р е м а: ортогональная проекция плоского сечения поверхности прямого конуса на плоскостгь перпендикулярную и его оси, представляет собой кривую второго порядка и имеет одним иэ своих фокусов ортогональную проекцию на эту пгщскость вершины конической поверхносги. Условии, которые должны быть ныполнены, чтобы получить ту или ину>о кривун> нгорого поридка, при сечении конической поверхности плоскостью могут б>ыть установлены из снойств кривых второго порядка.
Известно, что эллипс представляет кривую второго порядка, не имеющую бесконечно уда>генных (несобственных) точек. Поэтому, чтобы получить в сечении конической поверхности эллипс, надо выбрать такук> плоскость, которая пересекает все прямолинеи~ые образующие этой поверхности. В частном случае, когда диаметры эллипса равны (секущая плоскость перпендикулярна к оси конической поверхности), в сечении получается окружность. Иэ аффинной геометрии извес~но, что параболой называется кривая второго порядка, касающаяся несобственной прямой, или, что то же самое, кривая, имеющая одну несобственную точку.
В связи с этим длн получения >ьзраболы необходимо, чтобы секущая плоскость была параллельно одной образукнцей конической поверхности. В пределе, когда секущая плоскость переходит в касательную к понерхности, две симметричные дуги параболы преобразуются в две полупрямые, принадлежащие одной прямой.
апноскость о, (рис. 199>1 пересекает коническую поверхность по двум мнимым прямым, пересекан>щимси в собственной точке. ) г / Точка 1рямыс сою>аашис нрямьн: Парабола схг !'ипербола Окрувиоо)9> Рис. 199 Рис. 197 Рис. 196 Пересечение панерхное>н нлс>сне>етнн> 137 (нае траенне сеченая/ ояа Гине в) а) Рис. Г98 И, наконец, гипербола с аффпннои точки зрения п)нс>ставляет собой кривую второго порядка, пересекающую несобственную прямую, или, иначе, гипербола — кривая второго порядка, имеюп(ая дне несобственные точки, т.
е, чтобы получить гиперболу, нужно секущуи> плоскость взять параллельнои двум прямолинейным образуияпим. В частном случае, когда секущая плоскость проходит через першину коническои с>оперхноспи, гипербола распадается на дне пересекаияциеся прямые. 1!а рис. 19б показаны положение секущей плоскости для >юлучения зппипса (плоскость а, ) и окружности (плоскость а, ) и щцш из плоскостей, принадлежащих связке, проходящей через вершину коническои поверхности, и пересекан>щих зту понерхнос>ь по двум мнимым прямым, пересекая>щимся я действительной точке (плоскость а, ) . На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
