Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В этой главе будут рассмотрены различные виды позиционных задач и указаны алгоритмы их решения. Г!од позиционными подразумеваютсн задачи, решение которь>х позволяет получить ответ о принадлежности элемента (точки) или подмножества (линии) множесгву (поверхности) . К позиционным относятся также задачи на определение общих элементов, принадлежащих различным геометрическим фигурам. Первая группа задач может быть объединена под общим названием задачи н а п р и н а д л е ж н о с т ь (инцидентность>. К ним, в частности, относятся задачи на определение: 1) принадлежности точки линии (Л е' !); 2) принадлежности точки поверхности (А с»); 3) принадлежности линии поверхности (! с») .
Ко второй группе относятся задач и на пересечение. Эта группа содержит также три типа задач: 1) на пересечение линии с линией (! г> я>); 2) на пересечение поверхности с поверхностью (» г> 3); 3) на пересечение линии с поверхностью (! г> о) . С точки зрения единства принципа, положенного в основу решения позиционных задач, их можно не делить на две группы. Подходя к позиционным задачам с таких позиций, можно считать, что все многообразие позиционных задач может быть сведено к решения> задач первой группы — задач на принадлежность: 1) А е ), 2) А с.
о и 3) ! с о. В справедли- Прчкедлекнасть точкиликач (А ЕЦ (19 Проследим на примерах, как решаются позиционные задачи. 8 39. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ ЛИНИИ (А Е 1) При выяснении вопроса о принадлежности точки линии или при решении аналогичной задачи на построение точки, принадлежащей линии, достаточно использовать только свойство (2) из 8 38. Следует иметь в виду, что если линия занимает произвольное положение по отношению к плоскостям проекций, то решение может быть получено в системе двух заданных плоскостей проекций. В случае, когда линия принадлежит плоскости, перпендикулярной оси проекции, для решения следует пользоваться вспомогательной плоскостью проекции.
ПРИМЕ1' 1. На данной кривой ! указать произвольную точку Л, принадлежащую этой кривой (рис. 167) . РЕШЕНИЕ. Зная, что на основании свойства (2) А' Е !1 и Л" Е !", а также, что А' и А принадлежат одной линии связи, перпендикулярной оси проекции х, отмечаем на какай-либо проекции линии ! произвольную точку Л, обозначаем ее тем же индексом, какой имеет проекция линии !. На рис. 167 точка Л' взята на горизонтальной проекции линии 1'. Длн определения Л через точку Л проводим прямую, перпендикулнрную оси проек. ции, и отмечаем точку ее пересечения с фронтальной проекцией линии !л ПРИМЕР 2.
Указать горизонтальную проекцию тачки С по данной ее фронтальной проекции О, если известно, что точка С Е [АВ[ (рис. 168) . РЕШЕНИЕ. Так как отрезок [ЛВ[ принадлежит плоскости, перпендикулярной аси проекции, то решить эту задачу в системе заданных плоскостей проекций не представляется возможным", Для ее ре. шения воспользуемся вспомогательной " Имеется в виду графическое решение. Ответ на поставленную задачу может быть получен из условия деления отрезка в паннам отношении (см.
ч 6, инвариант 2 к) . вости такого утверждения легко убедиться, перефразировав условия задач, входящих во вторук! группу. Действительно: 1) задачу на определение точки пересечения линии с линией (1(э пт) можно заменить задачей ! (А е 1) первой группы: "'определить точку, принадлежащую как линии 1, так и линии пт"; 2) условие "построить лининэ пересечения поверхностей а и !)" (а г1 ()— задача 2 второй группы) можно заменить задачей, относящейся к первой группе: "определить (построить) линию 1, принадлежащую как поверхностиа,таки()" ((с а — задача 3 первой группы); 3) задачу 3 второй группы "построить точку А пересечения линии (с поверхностью а (1 О а)" можно рассматривать как две задачи первой группы: А Е 1 (задача 1) и А Е а (задача 2) . Если учесть, что линию можно рассматривать как множество принадлежащих ей точек, то задача третьего типа (1 Е а) сводится к многократному решению задачи определения А е а.
Тогда окончательно получим следующее определение: к позиционным относятся зидичи, решение которых, в конечном счете, сводится: 1! к построению гочки, принадлежащей линии (А Е 1), и 2) к построению точки, принидлежви(ей поверхности (А Е а), Решение таких задач базируется на инвариантном свойстве 2 (см. 8 б) ортогонального проецирования, из которого вытекает: А Е 1 (А' Е 1) г((А" Е 1"); (2) А Е а — (А' Е !' Е а )г"ч(А Е 1 Е а") .
(3) ! 20 Позиционные задачи А ~ Ам Си А' в' Рис. 167 Рис. 168 вспомогательную проекцию Г точки О. Зная Г'", находим Е'. Все необходимые геометрические па. строения ясны из чертежа и не нуждают. ся в пояснении. плоскостьх> проекции. В качестне вспомагательнои плоскости возьмем плоскость иэ, перпендикулярную оси проек. ции. На плоскости я, находим проекцию Л "'Л"' отрезка )Лл) и на ней отмечаем ч 40. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ ПОВЕРХНОСТИ (А б а) При составлении алгоритма решения этой группы задач следует базироваться на свойстве (3) из Ь' 38, т. е. для того чтобы на черте.
же поверхности указать проекции принадлежащей ей точки, необходимо вначале построить проекции какой-либо линии, принадлежащей поверхности, а затем на этой линии отметить точку. В качестве линии, как правило, выбирается образующая поверхности. Если поверхность может быть получена образующей различной формы, то предпочтение следует отдавать наиболее простым и удобным для построения линиям: окружностям для поверхностей вращения, прямым для линейчатых поверхностей (в частности, для плоскости целесообразно использовать линии уровня" ) . * Особенно целесообразно пользонатьсн линиями у1ювня н случае, когда шкнкость задана следами.
ПРИМЕР 1. В плоскости а(и((Ь ) указать произвольнун> точку Л (рис. 169) . РЕБ!ЕНИЕ. В плоскости а и!юнодим произвольнуи> горизонталь И. При построении ее проекций следует иметь в виду, что прнмая принадлежит плоскости н том случае, если она содержит две различные точки, принадлежащие плоскости. В качестве таких точек принимаем точки 1 и 2, принаэщежащие соотнетст. пенно прямым а и Ь, определяхицим плоск<>сть а На риг. 169 построение проекций го. ризонтали Ь яьшалигно и следу<ошей последовательности: а) на прямой а взяли произвольную точку 1, через фронтальную проекцию этой точки пронели фронтальнух> про. «квин> горизонтали Ь"; б) отметили точку 2" = Ь" Г) Ь"; в) определили горизонтальные про.
екции 1' и 2' гочек 1 и 2; г) через точки 1' и 2' провели гориюнтальнуя> проекции> горизонтали Ь' Горизонталь Ь г а, так как Ь прахолит чере> точки 1 и 2, принадлежащие плогкости а / а -ж г' Рис 109 !'иг. 170 Рис. 17! Рис. 172 На ироекпиях г< ризонгэли й и й о<меча< м проекции точки .1 (.1 С. Ь и .1 <> й ). !очка.1 <- о, >ак как .(Е (< о. ПРИМЕР 2. В плоскости () указать точи) В, улаленную от горизонталь>юй шюскости проекции на расстояние 15 мм и от ф!юнтальной плоскости проекции на расстояние 10 мм (рис.
170) . РЕШЕНИЕ. Проводим в <л>оскосги () фронталь ! н горизонталь )>, удаленные от плоскостей проекций <оотнетстненно на расстоянии 10 и 15> мм. Пересечение одноименных проекций ~н )> укажет проекции искомой точки В ( — < <> 6, В" = >'" <) 5"). ПРИМЕР 3. Определить фронтальнуи> проекцию точки А, принадлежащей плоскости о, если известна ее горизонтальная проекция А (рис. 171) .
Мы знаем, что Аца' (А'Е!'< ц') Л Л (А" Е !" С и" ), поэтому, чп>бы получить ответ на поставленную задачу, достаточно через .1 пронес>и горнзонтальнун> проекция> прямой, принадлежащей плоскости а, найти ее фроитальнух> про< кцин> и на ней отметить точку ! '".
Так как плоскость О задана следами, то целесообразно в качсстне вспомогательной прямои использонать одну и > главных линий плоскости. На рис 171 проведена фронталь /плоскости а. ПРИМЕР 4, На цилиндрической поверхности а, заданной направлнющей <( и образующей у, указать произвольную точку.! (рнс, 172) . РЕШЕНИЕ. Проводим произвольную прямолинейную образующую д цилиндрической поверхности а. Для зтого на кривой <( отмечаем произвольную точку 1 (1' Е <(' и 1ч е <(") .
Через проекции точки 1 проводим проекции прямой е) па- )l<чпал»плахи г<чна тлчрпа <>и (1 < и) (21 Рис. 1?3 Рис. 174 Рис. 175 122 Поэиииоииые задачи раллельио соответствующим проекциям а' и у". На прямой ау отмечаем произвольную точку А: А С а ь (Л' Еа' С ц')1((А" Еду С а ) . ! 1 ПРИМЕР б. На конической поверхности и указать точку А, удаленную от го.
пизонтальной плоскости проекции на расстояние 20 мм (рис. 173). РЕШЕНИЕ. Проводим плоскость 7 3 а, н удаленную от оси х нв заданное рвс. стояние 20 мм. На конической поверхности а отмечаем произвольную прямо. линейную образующую а1 (аи у7).
Точка пеРесечениЯ а Г) /от Укажет ФРонтвльР 1 ную проекциИ А" искомой точки А. По А" находим А'. Следует иметь в виду, что данная зада. ча имеет бесчисленное множество решений: любая точка отрезка 3", 4" может быть принята за фронтальную проекцию точки, удовлетворяющей условию поставленной задачи. ПРИМЕР 6, Нв поверхности наклонного геликоида ц указать фронтальную проекцию точки Л, если известна ее горизонтальная проекция Л (рис. 174) . РЕШЕНИЕ. Через горизонтальную проекцию точки Л проводим горизонталь ную проекцию прямолинейной образую. щей и'.Фронтальная проекция аи определяется из условия равенства углов наклона всех прямолинейных образующих к напранляюшей плоскости (в нашем случае за направляющую плоскость приннта а, ).
«'< е5 т а~ Рис. 177 Рис. 176 Л проводим прямую а )( Ьс„и отмечаем точки О< и Н, в которых прямая З( пе. ресекает направляющие <(, и <(>. По точкам Р, и ()> строим нх фронтальные проекции 11>' и Вт', которые определяют фронтальную проекцию образующей д". На д" находим точку А '. Для ее построения через А проводим линии> связи перпендикулярно оси х и отмечаем точку ее пересечения с а В рассмотренных примерах были заданы поверхности линейчатые или вращения. Это позволило для решения задачи на принадлежность точки поверхности использовать простые линии — прямые или окружности. Для нелинейчатых поверхностей,на которых невозможно провес- Множество прямых, пересеканлцих ось винтовой поверхности < н точке Х, образуют поверхность прямого кругового конуса (), прямолинейные образующие которого составляют задвинь<й угол с плоскостью л< .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
