Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 37
Текст из файла (страница 37)
12. В чем состоит содержание алгоритма решении задачи для определения то. чек пересечения линии с поверхностью? 13. Чем следует руководствоваться при выборе вспомогательной секущей поверхности при определении точек пересечения линии с поверхностью? 14. В каком случае можно для упрощения решения задачи по определению точек встречи прямой с поверхностью применять способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции? ГЛАВА Ч1 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ В з 6 гл.
1 отмечалось, что при параллельном, в частности ортогональном, проецировании геометрические фигуры, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, проецируются на эти плоскости с искажением их метрических характеристик (характеристик, которые могут быть получены путем измерения линейных и угловых величин). Для того чтобы иметь возможность по метрически искаженным проекциям судить о размерах и форме оригинала, необходимо знать способы решения задач по определению неискаженных линейных и угловых величин. Метрическими называются задачи, решение которых связано с нахождением характеристик геометрических фигур, определяем ых ~измеряемых) линейными и угловыми величинами.
Все многообразие метрических задач, в конечном счете, сводится к двум видам: А — задачам на определение расстояния между двумя точками; Б — задачам на нахождение величины угла между двумя пересекающимися прямыми. К метрическим относятся также задачи на построение отрезка и угла с наперед заданным значением соответственно линейной и градусной (радианной) величины. Несмотря на то, что чисто метрические задачи встречаются редко, целесообразно выделить их в самостоятельную группу, включив в нее и те задачи, н которых на промежуточных этапах решения приходится выяснять позиционные отношения между геометрическими фигурами.
В основе алгоритма решения любой метрической задачи лежит инвариантное свойство ортогонального проецирования, заключающееся в том, что любая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекции, проецируется на эту плоскость в конгруентную фигуру, т. е. (Ф С()) А (() ~! л, ) Ф'= Ф. Рассмотрим возможные пути решения задач на определение метрических характеристик геометрических фигур. А. Определение расстояний. Решение задач на определение расстояния между точкой и прямой, двумя параллельными прямыми, точкой и плоскостью, прямой и плоскостью, двумя плоскостями, скрещивающимися прямыми, в конечном счете, сводится к нахождению расстояния между двуьля точками.
Чертежи на рис. 248 подтверждают это утверждение. Из этих чертежей видно также, что, прежде чем приступить к решению задачи на определение расстояния между точкой и прямой или двумя параллельными прямыми (рис. 248,а и б), необходимо провести плоскость т, перпендикулярную к прямой (, или опустить перпендикуляр из точки А (А е т или А е () ) на плоскость а (рис. 248 в, г, д е).
Поэтому, прежде чем решать задачи на определение расстояний, выясним характер и последо- !74 Метрические задачи „г 1 г ( а) (л,Ц-б б) (тЛ(-(( ~1 )т.а(-(( )Л,а!=б г) (8(тПр! а( Пзе) )т,г(=б; т-'1 е) )а.9)=е( А) (зис. 248 вательность графических построений, которые должны быть выполнены для построения на эпюре взаимно перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, плоскостей. 5 54. ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ Не будет преувеличением утверждать, что построение взаимно перпендикулярных прямых н плоскостей наряду с определением расстояния между двумя точками являются основными графическими операциями при решении метрических задач. Теоретической предпосылкой для построения на эпюре Монжа проекций прямых и плоскостей, перпендикулярных по отношению друг к другу в пространстве, служит отмеченное раньше (см. 5 6) свойство проекции прямого угла, одна из сторон которого параллельна какой-ли- бо плоскости проекции: (АВС =- 90' )/~ ([ВС) )) и,, [ВАЦх, ) АВС' = 90'.
1. Взаимно перпендикулярные прямые. Чтобы можно было воспользоваться отмеченным свойством для построения на зпюре Монжа двух пересекающихся под углом 90' прямых, необходимо, чтобы одна из них была параллельна какой-либо плоскости проекции. Поясним сказанное на примерах. ПРИМЕР 2. Через точку А провести прямую 1, пересекающую прямую а, зггданную отрезком [ВС], под углом 90 (рис.
250). Так как данный отрезок занимает произвольное положение по отношению к плоскостям проекций, мы ие можем, как в предыдущем примере, воспользоваться свойством о частном опучае проецирования прямого угла, поэтому вначале необходимо [ВС] перевести в положение, Рис. 249 ПРИМЕР 1. Через точку А провести прямую 1, пересекающую горизонталь Л под прямым углом (рис. 249) . Так как одна иэ сторон Л прямого угла параллельна плоскости яг, то на эту плоскость прямой угол спроецируется без искажения.
Поэтому через А' проводим горизонтальную проекцию !' 1Л'. Отмечаем точку М' = !'(1Л'. Находим М" (М" ЕЛ"). Точки Ан и М" определяют!" (см. рис. 249,а) . Если вместо горизонтали будет задана фронталь т", то геометрические построения по проведению прямой ! 1 т аналогичны только что рассмотренным с той лишь разницей, что построения неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции (см. рис. 249,б). Лсстраение аэаимна перпендикулярных нрямнх, 115 нрямай и плоскости, нлосксстей параллельное какой-либо плоскости проекции. На рис. 250 [ ВС] переведен в положение, параллельное плоскости хз.
Это сделано с помощью способа замены плоскостей проекции путем замены плоскости и, -'хз )) [ ВС) . В результате такой замены и новой яг системе х~ — [ВС] определяет гориэон. хз тальную прямую, поэтому все дальнейшие простроеиия выполнены так же, как зто было сделано в предыдущем примере: после того, как была найдена точка Мг, ее перевели на исходные плоскости проекции в положение М" и М', эти точки совместно с Ан и А' определяют проекции прямой! . ПРИМЕР 3.
Провести горизонтальную проекцию стороны [ВС] прямого угла АВС, если известны его фронтальная проекция !.АнВнС и горизонтальная проекция стороны [ А'В'] (рис. 251) . РЕШЕНИЕ: 1. Переводим сторону угла [ВА) в положение )! Кз путем перехода от сис- хз темы плоскостей проекций х — к новой и з гт, хг —. гтг 176 Метрические маячь яг х ВЯ А яг х— я~ В Рис. 2Ь1 Рис.
250 делаем точку С) (С) удалена от оси х~ иа расстояние ) Сх, С( ) = )СхС" ) ) . 4. Горизонтальная проекция С' определяется как точка пересечения прямых (С)Сх,)()(СчСх) = С'. 2. Определяем новую фронтальную проекцию [ В",А",) 3. Иэ В) восставляем перпендикуляр к [В1 А ~]. На этом перпеидикуляре апре. 2. Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость. Из курса стереометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна хотя бы к двум пересекающимся прямым, принадлежыцим этой плоскости. Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а ее горизонталь и фронталь, то открывается возможность воспользоваться свойством проекции прямого угла, как это было сделано в примере 1, рис. 249. Рассмотрим следующий пример; пусть из точки А е а требуется восставить перпендикуляр к плоскости а (рис.
252) . Через точку А проводим горизонталь )г и фронталь Г плоскости а. Тогда, по определению (АВ),перпендикулярная к плоскости а, должна быть перпендикулярна к прямым Ь и г, т. е. КАМ = ВАК = 90'. Но сторона АМ ( ВАМ)) я,, поэтому (. ВАМ проецируется на плоскость л, без искажения, т. е. В'А М' = 90'. Сторона АК С ВАК)) т, и, следовательно, на плоскость я, этот угол проецируется также без искажения, т. е. и В'А" К" = 90'. Приведенные рассуждения можно сформулировать в виде следующей теоремы: для того чтобы прямая в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на эпюре горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция к фронтальной проекции фронтали этой плоскости.
Если плоскость задана следами, то теорема может быть сформулирована иначе; для того чтобы прямая в пространстве бы а перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы проекции атой прямой были перпендикулярны и одноименным следам плоскости. ПостРоение лзаимно переендикуллрнь<х нрлккк, (77 примой и плоскости, плоскоегеи Рис. 252 Р» .
255 Установленные теоремой зависимости между прямой в пространстве, перпендикулярной к плоскости, и проекциями этой прямой к проекциям линий уровня (следам) плоскости лежат в основе графического алгоритма решения задачи по проведению прямой, перпендикулярной к плоскости, а также построения плоскости, перпендикулярной к заданной прямой. ПРИМЕР 1. Восставить в вершине А перпендикуляр А0 к плоскости <эАВС (рис. 253).
Для того чтобы определить направление проекций перпендикуляра, проводим проекции горизонтали 5 и фронтали ! плоскости ЛАВС. После этого нз точки А' восставляем перпендикуляр к )т,а из А" — и т"'. ПРИМЕР 2. Из точки А, принадлежащей плоскости о (тп )) и), восставить перпендикуляр к этой плоскости (рис.
254). РЕШЕНИЕ. Для определения направления проекций перпендикуляра !' н как и в предыдущем примере, проводим через точку А (А', А") горизонталь й (5', 5"), принадлежащую плоскости и. Зная направление 5', строим горизонтальную проекцию перпендикуляра У (!').5'). Для определения направления фронтальной проекции перпендикуляра через точку А (А', Ан) проводим фрон- таль ! (!', !"") плоскости а. В силу параллельности ! фронтальной плоскости про. екции прямой угол между ! и ! проецируется на лт беэ показ<ения, поэтому проводим !" !.
Г'. На рис. 265 эта же задача решена для случая, когда плоскость а задана следами. Для определения направлений проекций перпендикуляра отпадает необходимость в проведении горизонтали и фрон- Рис. 264. 17оо Метрические задача '1' М Рис. 255 258 Рис. 257 1АВС должна принадлежать плоскости 71 ] АВ] и проходить через точку В (рис. 257). Это условие и определяет ход решения задачи, который состоит в следующем: заключаем точку В в плоскость 7 1]АВ], для этого через точку В проводим гори. зонталь и флонталь плоскости т так, чтобы 6'1А'В и !'"1АоВ".
3. Взаимно перпендикулярные плоскости. Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Исходя из определения перпендикулярности плоскостей, задачу на построение плоскости )), перпендикулярной к плоскости а, решаем следующим путем: проводим прямую 1, перпендикулярную к плоскости а; заключаем прямую 1 в плоскость (). Плоскость )) 1 а, так как () .з 1 1 а. Через прямую 1 можно провести множество плоскостей, поэтому задача имеет множество решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
