Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 40
Текст из файла (страница 40)
3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекции, то на зту плоскость он проеццруется без искажения. Справедливость этого утверждения не вызывает сомнения — оно вытекает непосредственно из инвариантного свойства ортогонального проецирования (! С ())Л (() )~ и, ) = Ф =- Ф. 4. Если стороны угла параллельны плоскости проекции цли одинаково наклонены к ней, то деление пополам проекции угла соответствует его делению пополам в пространстве (рис. 278) .
Стороны /. АВС (рис. 278) наклонены под одинаковым углом к плоскости проекции и,: А7теаА' = Вйеьг)', / А'В'С' — ортогональ- 189 Определение величины нлоскиго угле но его орюгонельныы нроекцилм ная проекция С АВС на плоскость н,, [В'.0'! — биссектриса С А'В'С'. На основании свойства биссектрисы внутреннего угла в треугольни- [А'Р'[ !!ВВ'А'! )А Р! ~~А'Р'! ке,, = —... но по свойству 2и (см. гл. 1, 9 6) — =, следо- !Р'с'! !в'с'!' )РС! ! 1УС'!' /~У~ Р! вательно, ' —; —, = ' —. Но [В'А'! = !ВА! соа р' и )В'С"! = !ВС! соа ч', ~В'С'! !РС ! откуда !В'А '! ВА соа ' )ВА ! !АР! )ВА ! !В'С'! !ВС! сон ~р' )ВС! Следовательно, — = — -, т. е.
!РС! )ВС! ' [В0) — биссектриса С АВС. В заключение следует еще раэ заострить внимание читателя на частном случае проецирования прямого угла. Сформулируем его не в виде свойства, как это было сделано в гл. 1, 9 6, а в виде вытекающего иэ него следствия: если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекции, равна прямому углу, то ц лроеццруемый угол также прямой. Это следствие имеет весьма важное значение. Базируясь на нем, мы можем просто, с минимальным числом геометрических построений решать на эпюре Монжа задачи по построению: а) прямых, перпендикулярных друг к другу; 6) прямой, перпендикулярной плоскости; в) взаимно перпендикулярных плоскостей (см.
гл. Ч1, 9 54). 9 59. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ПЛОСКОГО УГЛА ПО ЕГО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПРОЕКЦИЯМ горизонтали Ь до нового положения, параллельного плоскости л1. Точки А и В принадлежат оси вращения Ь, поэтому при вращении плоскости а вокруг оси Ь они не меняют своего положения. Следо- ПРИМЕР и Определить угол менсау пересекающимися прямыми а и Ь (рис. 279). РЕШЕНИЕ. Вращаем плоскость а, определяемуо прямыми е и Ь, вокруг ее В предыдущем параграфе было отмечено, что плоский угол проецируется на плоскость проекции без искажения в том случае, когда его стороны параллельны этой плоскости. Это свойство может быть принято за основу при составлении апгоритма решения задачи на определение величины угла по его искаженным ортогональным проекциям.
Решение задачи будет сводиться к перемещению плоскости общего положения, которой принадлежит угол, в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции. Такое перемещение можно осуществить с помощью способов преобразования ортогональных проекций. Наиболее рациональное решение задачи по переводу плоскости угла в положение, параллельное плоскости проекции, достигается путем вращения плоскости угла вокруг линии уровня.
В этом случае для получения ответа на поставленную задачу достаточно произвести поворот только одной точки вокруг горизонтали или фронтали плоскости угла — построить только одну вспомогательную проекцию. При использовании других способов преобразования нам пришлось бы дважды менять плоскости проекции, либо дважды осуществлять перемещение (или вращение), параллельное плоскости проекции, т. е. в обоих случаях потребовалось бы построение двух вспомогатель. ных проекций.
Приведенные ниже примеры иллюстрируют использование способа вращения вокруг линии уровня для решения задачи по определению 'величины плоского угла. ! 90 )г(етричесиие задачи В )!и но Рис. 280 Рис. 270 ПРИМЕР 2. Определить величину углов А АВС (рис. 280) . РЕШЕНИЕ. Вращаем плоскость А АВС вокруг фронтали ~ этого треугольника до положения, параллельного плоскости 60. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Определение угла между прямой и плоскостью, двумя плоскостями, скрещивающимися прямыми, сводится к нахождению угла между двумя прямыми. Чертежи на рис. 281 подтверждают это высказывание.
Известно, что углом между прямой ц плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на данную плоскость'". "Естественно, речь идет о случае, когда прнмая не перпендикулярна плоскости. вательно, для определения нового положения плоскости и, достаточно осушест.
вить поворот только одной точки К. Для этого проводим через К' прямую, перпендикулярную И' (с этой примой будет совпадать горизонтальная проекция окружности, ло ко~арой перемещает. ся точка при ее вращении вокруг Ь ). Далее определяем положение центра вращения О и величину радиуса вращения В для точки К (построения выполнены аналогично тому, .как это было сделано на рис. 71, 8 11) .
Положение точки К! совместно с А и В определяет новые проекции прямых и', и Ь'„задающих плоскость а!ь.Поэтому А'К',В' равен искомому углу Ю Через вершину А Гэ ЛВС проводим фронталь !' (!", )'") Точки А и Р как при. надлежащие оси вращении не изменят своего положении в процессе преобразо. вания. Поэтому, как и в предыдущем примере, достаточно повернуть только одну точку.
На рис. 280 в качестве такой точки взята вершина В А АВС.. Вершина треугольника С при вращении вокруг фроитали будет перемещаться по дуге окружности, плоскость которой перпендикулярна оси вращения ~, поэтому фронтальная проекция этой окружное~и перпендикулярна т"" и ионов положение С' ,определится в точке пересечении этого перпендикуляра с новым положением прямой В! Р . После такого поворота плоскость треугольника переводится в положение, параллельное плоскости л!. Следовательно, на основании инвариантного свойства 2д (см. 2 8) углы при вершинах А", В," и С," проели руются без искажении.
Определение угла между примой и плоскостью И9! ,/ е 1-Й Е='Р' В) )гэАЭ! ИтИе 6) >и )И=тйп=ау и>= ИП(а н-уПЯ а) Рис. 281 2 Из произвольиои точки К прямой а проводим прямую ! 1 о; для этого через К' проводим !' 1 и' и через К" — !" ! Г". 3. ()пределием величину угла ф вра>цеиием его вокруг горизоитали Ло положеиия, параллельного плоскости Л>. 4 Вычисляем значение искомого угла ю' — 80' ПРИМЕР прямой а (рис.
282) . РЕШЕНИЕ. 1. Опрелеляем иапраилеиие гориэои. галькой проекции горизоитали И и фронтальиои проекции фроитали )" плоскос >и о 1. Определить угол между и плоскостью и (гп )) п) Решение аналогичной задачи упрощаетсн, если плоскость задана следами, так как в этом случае отпадает необходимость в определении проекций линий уровня, Геометрическая интерпретация приведенного определения показана на рис. 281,д.
План решения задачи может быть записан в следующем виде: 1. Из произвольной точки К о т опускаем перпендикуляр на плоскость о. 2. Определяем точку встречи этого перпенднкулнра с плоскостьи>— К(" (точка Ко — ортогональная проекция К на плоскость о ) . 3. Находим >очкау А — пересечения примой тп с плоскостью о. 4. Проводим (К А) — проекции> прямой >и на плоскость о. 5. Угол ! КА К о — ис ком ын. Решение этой задачи может быть значительно упрощено, если определять не угол между примой и плоскостьк> ((. ч>" ), а дополнительный до 90' ! И>'. В этом случае отпадает необходимость в определении точки Ко и проекции >>>о.
Знан величину >)>', вычисляем р" .- 90' — Ф'. 192 йггрические магии Рис. 283 Рис. 282 «(Р1йс«,г 1Й«). ПРИМЕР 2. Определить угол между прямой и и плоскостью «, заданной следами (рис. 283) . РЕШЕНИЕ. 1. Из произвольной точки К прямой и опускаем перпендикуляр ! на плоскость 2. Определяем величину угла ф'. 3. Вычисляем значение искомого угла фо айе гчв ф 61. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ Мерой угла между двумя плоскостями слузкит линейный угол, образованный двумя прямыми — сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к ик ребру. Для построения линейного угла, являющегося мерой двугранного угла, необходимо выполнить следующие геометрические построения: 1. Определить прямую а — линию пересечения данных плоскостей а и(3, а = «г1 (3 (рис.
284). 2. Провести плоскость 7 (7 1 «и 7 1 ф) . 3. Построить прямые гп = 7 г1 а ил = 7 г1 (). 4. Найти величину угла г' между прямыми пз и и. Угол $' — искомый. Рассмотренный план решения задачи предусматривает выполнение большого числа геометрических построений, связанных с нахождением линии пересечения данных плоскостей (а = а л 0), проведением плоскости, перпендикулярной к найденной прямой (7 1 а ) . Далее приходится еще дважды решать задачу по определению линии пересечения плоскостей (пз = 7 г1 «и и = 7 л й) и лишь только после этого можно приступить к определению величины искомого угла Р'.
Проследим, как можно упростить решение этой задачи. Дополним чертеж на рис. 284 точкой Ке 7 и опустим из этой точки перпендикуляры )з и ! на плоскости а и (1 (рис. 286). Точки М и А(пересечения Определепое угле меиду плоскостями )93 Рис. 286 Рис. 285 Рис. 284 этих перпендикуляров с плоскостями совместно с точками К и А (А сз а ) являются вершинами плоского четырехугольника КРАМ, у которого углы при вершинах М н Х прямые. Следовательно, между углами при вершинах А и К существует зависимость, которую можно выразить следующим равенством: ф' = 180' — 4~'. Иэ рис. 285 видно, что вместо г' гт' гораздо проще определять дополнительный до 180' т' 4 '.
Все решение сводитсн к построению угла ф путем проведения из произвольной точки пространства К прямых )т и ), перпендикулярных к заданным плоскостям, и определению угла ф между этими прямыми; после чего подсчитывается значение величины р' = 180' — $" (рис. 288) . 8,",Ге 6п О" )п фи 6" К" Рис. 287. 1з4 Метрические задачи ПРИМЕР 1. Определить угол между плоскостями а (и )) Ю и )3 (с пй) (рис. 287). РЕШЕНИЕ. 1. Определяем направление тозоизонтальных проекций горизонталей 61 н Ьз, фронтальных проекций фроиталей )(' и гз' заданных плоскостей а и р.
Если плоскости, угол между которыми требуется определить, задан следами, то решение упрощается еще больше, так как отпадает необходимость в выполнении и. 1 только что рассмотренного решения. 9 62. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Углом между скрещивающимися прямыми называется плоский угол, который образуется между прямыми, проведенными из произвольной точки пространства параллельно данным скрещивающимся прям ым. Поэтому решение задачи по определению величины угла между скрещивающимися прямыми по существу ничем не отличается от решения задачи по определению угла между пересекающимися прямыми (см.
Кз Рис. 289 „/, .'- Рис. 288 ПРИМЕР 2. Определить угол между плоскостямн а н )З, заданными следами (рис. 288). РЕШЕНИЕ. Все геометрические построения сводятся к проведению через точку К прямых, перпендикулярных к следам 2. Из произвольной точки К проводим проекции перпендикуляров Й и ! ()т' 1 й,', 1У( и ! 1 "ь ! 1гз). 3. Определяем величину чзе. лч 4. Вычисляем значение чс~ = 180ч — ф' плоскостей а и )) ()т'1йе,ь й" 1)еа и !' 1аер, !" 1)еи).
Затем известным спо. сабом находим величину $ (на рис. 288 угол (ич определен путем вращения вокруг фРонтали). Знав чз', вычисляем значение Чз' Ояеввлекие угла мвач)у (95 скрещивающимися лраиыми () б9). Единственное отличие состоит в том, что на первой стадии решения необходимо построить плоский угол, являющийся аналогом искомого угла. Для этого через произвольную точку, которую принимаем за вершину угла, проводим две прямые, параллельные заданным скрещивающимся прямым. Чтобы не происходило наложения линий вспомогательных построений на исходные данные задачи, точку, которую принимают за вершину угла, следует брать в свободном месте чертежа, как зто сделано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
