Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если теперь спроецировать координатные оси Охух и горизонтальную проекцию А' точки А совместно с самой точкой А на плоскость и, то мы получим в плоскости и чертеж, который называют аксонометрическим, при этом проекцию точки А — Ао называют аксонометрической (иногда главной) проекцией точки А, а точку А'" — вторичной проекцией точки А (рис. 306) . Таким образом, в аксонометрии имеются два поля проекций: поле главных и поле вторичных проекций. В этом отношении аксонометрические проекции не имеют принципиального отличия от ортогональных проекций.
Для того чтобы на аксонометрических проекциях можно было решать метрические задачи относительно изображенных геометрических фигур, на аксонометрическом чертеже указывают проекции координатных осей с изображенными на них отрезками е о, е о, еаа — проекциями нитурильяого мисштиби е. Проекции е'о, е о, е а натурального х масштаба ея, е, ее называют аксонометрическим мисштибом по осям хо уа хо Положение точки А в пространстве относительно натуральной системы координат Охух определяется пространственной координатной ломаной ОА А'А (рис. 306) . Аксонометрическая проекция Аа точки А определяется плоской координатной ломаной О' А '„о А " А, у которой звено О А о совпадает по направлению с осью ха, а А аА'о и А' А параллельны соответственно осям уа и ха .
В общем случае отрезки О А о, А'аА'", А' А" не равны между собой и ни один из них не равен натуральному масштабу е. ОтношеО А о Х Аоел'о А А ~о о ния й а =, й о =,; й а = — т — называют показателями (коэффициентами) искажений по аксонометрическим осям. Очевидно, принимал различное взаимное расположение натуральной системы координат и картинной плоскости и задавая разные направления проецирования, можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга как направлением аксонометри- Вь Рис. З05 Рис. З06 2)2 Аксонометрические проекции ческих осей, так и величиной коэффициентов искажения вдоль этих осей. Справедливость этого утверждения была доказана немецким геометром Карлом Польке.
Теорема Польке утверждает, что три отрезна произвольной длины, лежищих и одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углими друг к другу, предсгиаллют параллельную проекцик1 трех ривных отрезков, отложенных ни прямоугольных осях координиг от ничила. На основании этой теоремы аксонометрические оси и коэффициенты искажения по ним могут выбираться произвольно. При этом коэффициенты искажения по аксонометрическим осям можно принять: различными для всех аксонометрических осей (Й и Ф Й и Ф Й и); оди- Х У ' Х наковыми для каких-либо двух осей (например, Й и =- Й,и ); равными Х для всех аксонометрических осей (Й о = Й и = Й о ) . В первом случае х у е аксонометрическую проекцию называют гримегрической, во втором— димегрической и в третьем — изометрической, В зависимости от угла между направлением проецировании и картинной плоскостью аксонометрия может быть прямоугольной (ортогональной), если этот угол прямои; в противном случае ее считают косоугольной.
й 67. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ В инженерной практике, я частности в машиностроении, наиболь- шее распространение получили прямоугольные диметрические и изо- метрические проекции. Отметим некоторые свойства этих проекций. 1. Зависимость коэффициентов искажения по аксонометрическим осям от направления проецирования. Установление зависимости между коэффициентами искажения и направлением проецирования представляет определенный практичес- кий интерес.
Картинная плоскость пересекает координатные оси в точках Ха == — Хи„, Уа в У", 7а х Яоа, а плоскости проекций по прямым ХОУа, ХОЯО, УОЯ, . Точки Х, У,„, Я определяют треугольник, называемый треугольником следов (рис. 307). Очевидно, Ь Ха У Яа э Ь ХхУОЯ". Опустим из начала координат О перпендикуляр на плоскость а. Точ- ка О", в которой этот перпендикуляр пересекает плоскость а, является прямоугольной проекцией точки О. Отрезки ОБХ", О' У",„и О" гби прямоугольные аксонометрические проекции отрезков координатных осей ОХО, ОУ,, ОЯ, .
Треугольники ОО" Х,"„, ООБ У „", ОО'Яа — пря- моугольные, отрезки О" Х", О' У", О'Яи" — их катеты, а отрезки ОХ,„", ОУи, ОЯΠ— гипотенузы этих треугольников. Отсюда О*Х' ОУ О7 Ох" = СОБО, „= СОБР, „= сОБ7 О У,"„ О/" где о, (), 7 — углы наклона осей х, у, г к картинной плоскости. О" Х" О Уч 06 7" Так как .„= Й, — —,„— = Й и, „—.- Й и, тоЙ и = соиа о Ю Й О = СОБР, Й и = СОБ7 у В прямоугольной аксонометрии коэффициенты искажения связаны зависимостьн1 Й'и + Й'и + Й'~ - 2, Х у е Изометрическая проекции. В прямоугольной изометрической проек- ции коэффициенты искажения по всем осям одинаковы: <'тюыо/пяыг аксвшлкт/яг гсскяс 1) 1 я/яьжчяи Рис.
307 й" а = й'я = йго = 2, г. е. Зй —. 2, й =. ~/ —. /2 следовательно, коэффициенты искажении пооснмх", у", хч раппы 0,82. Изометрическую проекцинц как правило, выполннют без искажения (т. е, коэффициент искажении й:- 1), что соотнетствуст увеличенинг ли. нейных размеров изображении по сравненгло с деиствительными в 1,22 (газа (1/0,82 = 1,22). Диметрическаи проекция.
Длн прнмоугольнои диметрической проекции характерно равенство коэффициентов искажения по двум ослм г й =- й ч', коэффициент искажения по третьей оси й я ... —.Й ч (или й г = — й о). Поэтому 2Й + — = 2, й .— —, /г —. чг —:= 0,()4, т. е, ко- 1 /,, а а у 2 эффициент искажения по оснм х" и х" равен 0,94, а по оси уч -. 0,47. Диметрическую проекцию, как и изометрию, вьшолнлнгт, как правило, без искажении по оснм х' и у" и с искажением й я - О, 5 по оспу". В .у' этом случае увеличение линеиных размеров изображении по сравнению с действительными происходит в 1/0,94 = 1,06 раза.
2. Определение углов между осями стандартных аксонометрических проекций. Изометрическая проекции. Длл прнмоугольной (ортогональной) аксонометрии справедливо следующее утверждение: коэффициенты искажения по аксонометрическим осям равны косинусам углов наклона координатных осей к картинной плоскости (доказательство см. и. 1).
Так как длл изометрии йхч =- й а =- й а =- 1, то отрезки О" Ха =- О" г"па = = О" Ха. Это, в свою очередь, означает, что в прнмоугольной аксонометрии треугольник следов равносторонний. В теории ортогональных аксонометрических проекций доказываетсл, что аксонометрические оси нвлнготся нысотами треугольника следон. Из элементарной геометрии известно, что в равностороннем треугольнике высоты попарно пересекаются между собой под углом в 120". Поэтому совпадающие с ними аксонометрические оси в ортогональной изометрии образуют между собой углы в 120'. Обычно ось хч приниманп вертикальной (рис. 308).
214 Аксонометрические нроекции В 7'10' Х уо хо Рис. 309 Рис. 308 хо уо Диметрическая проекция. Для диметрической проекции характерно равенство двух коэффициентов искажения по осям хо и хо, коэффициент искажения по третьей оси равен их половине: й о = й о = 2й о. х г у Равенство й о = й о обеспечивает конгруентность отрезков О'Х,"„=- х г = ОоУоо т. е.
треугольник следов — равнобедренный (рис. 309). В этом треугольнике высота УоАо, совпадатошая с направлением аксонометрической оси у , делит пополам сторону Х~~2~о; !Х~~А"! = !А Я„"~ = Приняв !О'Хоо~ = ~О'Яоо~ = 1, имеем ХооЯ„' = .„/2 Из /т ОоАо7оо определяем атп6': 2'А',,/2 2ч/2' Ооха = 2 ' 3 — — 0,75, что соответствует равенству угла 6' = 48' 35'. Тогда 6 Хо ОоЯ~ = 2/. 6' = 97'10'.
Примеры иостроеииа аксокаметрических кроекиий геометрических фигур Обычно при построении диметрических проекций ось хо располагают вертикально. Тогда треугольник следов и его высоты (аксонометрические оси) займут положение, показанное на рис. 309. В этом случае ВО Х" = (26' — 90*) = (97'10' — 90" ) = 7'10'; ВОи Ао СОо Уо (Б 7 10') (48' 35' 7' 10 ) 41 25 Приближенно аксонометрические оси стандартной диметрии можно построить, если принять (д 7'10' = 1/8, а (й 41'25' = 718.
Тогда аксонометрические оси х" и уо проводят так, как это показано на рис. 310. Ось у" может быть проведена так же, как продолжение биссектрисы 1. хо Оо х~ . э 68. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР При построении аксонометрических проекций пользоваться коэффициентами искажения неудобно. Поэтому обычно строят рекомендованные ГОСТ 2.317 — 69 (СТ СЭВ 1979 — 79) стандартные прямоугольные изометрию и диметрию, принимая соответствующие масштабы увеличения в 1,22 раза для изометрии и в 1,06 раза для диметрии.
Введение этих масштабов позволяет строить аксонометрические проекции без сокращения размеров, откладываемых по аксонометрическим осям. Для диметрической проекции размеры по оси уо сокращают вдвое. А. Построение аксонометрических проекций геометрических фигур, ограниченных отрезками прямых и отсеками плоскостей. При параллельном проецировании на плоскость прямые проецируются в прямые (см. э" 6, 1а), следовательно, для построения аксонометрического изображения прямой о достаточно определить аксонометрические проекции двух принадлежащих ей точек, которые однозначно определяют прямую а о — аксонометрическую проекцию прямой а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
