Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ПРИМЕР 3. Определить расстояние от точки К до плоскости и, заданной следами (рис. 272) . чНаиболее рациональным путем перевода плоскости треугольника в проеци. руюшее положение являетсн способ замены плоскостей проекций, так как в этом случае достаточно построить только одну вспомогательную проекцию. ПРИМЕР 2. Определить расстояние от ~очки К до плоскости, заданной Л АВС (рис.
271) . РЕШЕНИЕ. 1. Переводим плоскость й АВС в проецирующее полажение*. 71ля этого перелг ггг ходим от системы х — к х, —, направи| л! ление новой оси хг выбирается перпендикулярным к горизонтальной проекции горизонтали плоскости треугольника. 2. Проецируем г'.г АВС на новую плоскость лз (плоскость ЛАВГ епроецируется на гег в [ С",В'г'] ) . 3. Проецируем на ту же плоскость точку К (К' "' К1) 4. Через точку К" ,проводим (К",М",) 1 отрезку [ С",В",]. Искомое расстояние д = (К",М',(. Решение задачи упрошается, если плоскость задана следами, так как отпадает необходимость в проведении проекций линий уровня. Определение расстояния мюкду ючкой и плоскостью, )85 прямой и гтттоскостчю, между плоскостями и скрещивающимися прямыми = И„о, т т х, ) н 1', проводнм И вп, . Определяем новую горнзонгальную проекцию точки К -' К,'. Из точки К, 'опускаем перпендикуляр на Ива, н отмечаем точку его пересечения с И пц, — М',. Длина отрезка К,'М,' укажет искомое расстоютне.
РЕШЕНИЕ. Заменяем плоскость плоскостью и,, для этого проводим новую ось х, ! Уро. На И ец отмечаем произвольную точку 1' н определяем ее новую горизонтальную проекцию на плос. кости и, (!]). Через точки Ха, (Хц, 2. Определение расстояния между прямой и плоскостью. Расстояние между прямой и плоскостью определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой на плоскость (см.
рис. 248) . Поэтому решение задачи по определению расстояния между прямой гп и плоскостью о ничем не отличается от рассмотренных в и. 1 примеров на определение расстояния между точкой и плоскостью (см. рис. 270 ... 272) В качестве точки можно брать любую точку, принадлежащую примой пт. 3. Определение расстояния между плоскостями. Расстояние между плоскостями определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной плоскости, на другую плоскость. Из этого определения вытекает, что алгоритм решения задачи по нахожденинт расстояния между плоскостями а и () отличается от аналогичного алгоритма решения задачи по определению расстояния между прямой гп и плоскостью о лишь тем, что прямая гп должна принадлежать плоскостисс, т.
е., чтобы определить расстояние между плоскостями о и й, следует: 1) взять в плоскости а прямую пц 2) выделить на прямой т произвольную точку А; 3) иэ точки А опустить перпендикуляр ( на плоскость р'; 4) определить точку М вЂ” точку встречи перпендикуляра ( с плоскостью л; 5) определить величину отрезка ] А)Ц]. На практике целесообразно пользоваться другим алгоритмом решения, который будет отличаться от приведенного лишь тем, что, прежде чем приступить к выполнению первого пункта, следует перенести плоскости в проецирующее положение.
Включение в алгоритм этой дополнительной операции упрощает выполнение всех без исключения остальных пунктов, что, в конечном счете, приводит к более простому решению. ПРИМЕР 1. Опрелелнгь расстояние плоскости пз плоскости ц н () занимают между плоскостями о н () (рнс. 272) проецирующее положение, поэтому рас.
РЕШЕНИЕ. Перехоцнм от системы стояние между новыми фронтальными тт2 и следамн /ппт и (ттр, является искомым. х — к х, —. По отношению к новой ттт 2. Из точки 1 восставляем перпенлнкуляр ( к плоскости а ((' ! И', !" ! т") 3. На перпенднкуляре ( отмечаем пронзвольную точку А. !. Определяем длину отрезка ]1А] ] 1'Аи] (положенне ] 1'Ав] указывает на эпюре мегрнческн неискаженное направление прямой ( ) ПРИМЕР 2. Требуется построить проекции плоскости (), параллельной данной плоскости и (гп )) и), если известно, что расстояние между ннмн равно д (рпс, 27 4) . РЕШЕНИЕ. 1.
П плоскости а проводим пронзволь. ные горизонталь И (1, Э) н фронгаль т' (1, 2). В инженерной практике часто приходится решать задачу на пастроение плоскости, параллельной данной и удаленной от нее на заданное расстояние. Приведенный ниже пример 2 иллюстрирует решение такой задачи. 186 Метрические эадачи х 4; Пу ое, ,л' с 1": '(о о' 1 1о„, 1, г' ч, л' Рис. 273 рис. 274 5. Откладываем на прямой (1'Ло) от 7.
Через точку В проводим плоскость точки 1' отрезок (1'Во] = о. (3 (Л~ О У1 ) . Чтобы (3 )) а, необходимо соб. Отмечаем на проекциях 1' и 1" точки блюдать условие Л~ )) Л н 11 )) Р'. В' и В", соответствующие точке Во. 4. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.
Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется длиной перпендикуляра, заключенного мехсду параллельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся прямые. Для того чтобы через скрещивающиеся прямые тп и 1 провести взаимно параллельные плоскости и и )), достаточно через точку А (А е тп) провести прямую р, параллельную прямой 1, а через точку В (В Е 1)— прямую )е, параллельную прямой тп. Пересекающиеся прямые тп н р, 1 и й определяют взаимно параллельные плоскости и и () (см. рис. 248,е). Расстояние между плоскостями и и (1 равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми пт и 1. Можно предложить и другой путь для определения расстояния между скрещивающимися прямыми, который состоит в том, что с помощью какого-либо способа преобразования ортогональных проекций одна из скрещивающихся прямых переводится в проецирующее положение.
В этом случае одна проекция прямой вырождается в точку. Расстояние между новыми проекциями скрещивающихся прямых (точкой А,' и ~трезком Сз0з) является иском~м. На рис. 276 приведено рещение задачи чга определение расстояния между скрещивающимися прямыми а и Ь, заданными отрезками ( АВ] и 1 СВ] . Решение выполняют в следующей последовательности: 1. Переводят одну из скрещивающихся прямых (а ) в положение, параллельное плоскости л,; для этого переходят от системы плоскостей ло л, проекции х — к новой х, †, ось х, проводят параллельно горизонтальл, лз ной проекции прямой а . Определяют а" ,[А1В1'] и Ь", ]С1Ц']. 2.
Путем замены плоскости л, плоскостью л, переводят прямую и проекциях плоских углов )87 и фи Ст Мт /' Ь,' Ь," А,'-В,'-а,' р рв Рис. 275 а в положение а„перпендикулярное плоскости л, (новую ось х, проводят перпендикулярно а, ) . 3. Строят новую горизонтальнуи~ проекцию прямой Ь, — ( С,0,1 . 4. Расстояние от точки А,' до прямой С',Р,' ( отрезок ( АтМ2) ) является искомым. Следует иметь в виду, что перевод одной из скрешиваюшихся прямых в проецирунпцее положение является ничем иным, как переводом плоскостей параллелизма, в которые можно заключить прямые а и Ь, также в проецирующее положение.
В самом деле, переведя прямую а в положение, перпендикулярное плоскости л,, мы обеспечиваем перпендикулярность ли>бой плоскости, содержащей прямуив а „плоскости л,, в том числе и плоскости а, определнемой прямыми а и гп (а й гп, тп )) Ь). Если мы теперь проведем прямук~ и, параллельную а и пересекающую прямую Ь, то мы получим плоскость (), являюшуюся второй плоскостью параллелизма, в которую заключены скрегцивающиеся прямые и и Ь. Так как () )) а, то и () 1 л4. ~~ 58. О ПРОЕКЦИЯХ ПЛОСКИХ УГЛОВ Отметим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов. знание которых поможет в дальнейшем правильно читать зпюр и решать задачи по определению величины угла, если известны его ортогональные проекции.
1. Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то угол проецируетсл на згу плоскость с искажением. Следует иметь в виду, что проекции острого или тупого углов могут, при определенных условиях, проецироваться иа плоскость проекции без искажения, будучи и ие параллельными плоскости проекции. ! 88 Метрические эаоачи Рнс. 276 Рнс. 277 Рис. 278 Из рнс.
276 видно, что все углы с вершиной на прямой (ММ), стороны которых расположены в проецирующих плоскостях а и (), проецируются в АКУЛ; прн этом проецируемые углы ВА)Э н ВАС могут изменяться в пределех от 0 до 180 . Естественно, что среди ннх будет угол, ренный 1 Ктчь. 2. Если хотя бы одна сторона тупого, прямого цли острого угла параллельна плоскости проекции, то проекцией угла на зту плоскость будет угол с тем же названием, что и сам угол (тупой, прямой, острый). Убедиться в этом легко на примере, показанном на рис. 277. Пусть дан отрезок ( АВ) (~ л,, строим тупой ~ АВС и острый ~ АВР. Сторону ВР угла АВР проводим так, чтобы ( ВР) принадлежал плоскости, определяемой точками А, В, С. Проводим в плоскости А, В, С отрезок ( ВЕ) 1 ( АВ) . Так как с АВЕ прямой, а сторона угла АВ (( л,, то проекция этого угла на плоскость л, также будет равна 90 . Из чертежа видно, что 7 АВ'Р<90',аСАВ'С>90 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
