Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 36
Текст из файла (страница 36)
По гориэоитальиым проекциям определяем их фроитальиые проекции К" ,и Кт' )68 ))оэиииоилые задачи Сложность решения рассматринаемои группы задач зависит от трудоемкости нахождения линии пересечении т Г! и, которая определяется нилом поверхно ти о и расположением примой а как относительно поверхности о, так и по отношению к плоскостям проекций. Чтобы получить рациональное решение, следует пользоваться наиболее простым способом определения линии ! (! .— т Г1 о).
Этого можно достигнуть двумя путями: 1) соответстиунлпим выбором положения испомога!ельной секущей плоскости у или 2) переводом секущей прямой а в частное положение. Рассмотрим каждый из зтих вариантов решения. Вариант 1. а) Вспомогательная секущая плоскость — проецирующая. ! !РИМЕР. Определить точку пересече. ння прямой и с поверхностью торса (рнс, 241!. б) Вспомогательная секущая плоскость — общего положения, Использование вспомогательной проецирующей плоскости не всегда упрощает решение, возможны случаи, когда целесообразно применять плоскость общего положения.
В качестве иллюстрации, подтверждающей зту мысль, может служить задача по определению точек пересечения прямой общего положения с конической поверхностью. Плоскость пересекает коническую поверхность по кривой. Исключение составляет только плоскость, проходящая через вершину кони- Рис. 240 Рис. 211 РЕШЕНИЕ. Заключаем прямую а во фронтально проецнрующую плоскость т. фронтальная проекцня линии пересечения !" совпадает с Гет —— и . Отмечаем точку 1", в которой проекция !" пересекает проекцию о" ребра возврата о. Знан положение 1", определяем горизонтальную проекцию 1'.
Проводим ряд пряма- линейных образующнх торговок поверх. ности (касательных к кривой г() н фнкснруем точки 2", 3", в которых !" пересекает фронтальные проекции зтнх образую шнх. На горизонтальных проекциях соответствующнх образующих определяем горизонтальные проекцнн 2', 3'. Соединив зтн точки плавной кривой, получим горизонтальную проекцию (~. !' Йа~ =- К'— горизонтальная проекция искомой точки встречи. По К' определяем К . Онреаеление точек пересечения линии ) б9 с навврхнастью ческой поверхности. В этом случае кривая второго порядка распадается на две прямые — образующие конической поверхности (см.
2 45) *. Рис. 242 Вариант 2. Перевод секущей прямой в частное положение. При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении получается окружность, которая проецируется на плоскости проекции.в общем случае в виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость проецирующая) . В частном случае, когда секущая плоскость параллельна плоскости проекции, окружность проецируется на эту плоскость проекции без искажения. Поэтому, чтобы упростить решение задачи, следует произвольно расположенную прямую перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции. Тогда представляется возможность заключить прямую в плоскость, параллельную плоскости проекции.
~Если секущая плоскость проходит через першину конической поверхности и составляет с ее осью угол больший, чем угол наклона к этой оси образующей конической поверхности, то сечение распадается на две мнимые прямые. ПРИМЕР. Определить точки пересече. ния прямой а с поверхностью прямого кругового конуса и (рис. 242) . РЕШЕНИЕ, Заключаем прямую а в плоскость 7, проходящую через верши- х ну конической поверхности Я. На рис. 242 плоскость 7 задана пересекающимися прямыми а и Ь, при этом Ь— горизонталь. Определяем горизонтальный след плос. кости 7; для этого находим горизонталь.
ный след примой На и зерен него проводим )з ат параллельно горизонтальной проекции горизонтали й'. Отмечаем точ. ки 2' и 3', в которых Л а, ОЬ ая. (Я'2') и (Я'3') — образующие поверхности и, по которым оиа пересекаетсн плоскоетью 7. Точки К[ н Кз (К', = а'Г) (Я'2') и К~з = — а' О (Я'3') ) — горизонтальные проекции искомых точек пересечения. Зная положение К[ и Кз, определяем Кз и Кз. ПРИМЕР 1. Определить точки встречи прямой а, заданной отрезком [АВ] с поверхностью сферы а (рис. 243) . РЕШЕНИЕ. Переводим прямую, произвольно расположенную в прострайстве, в положение, параллельное плоскости проекции.
Для этого переходим от системы ит нз х — к системе хз —, в которой нз ~~ а . лз и1 В этом случае горизонтально пров. пирующая плоскость 7 з а пересечет поверхность сферы по окружности с радиуса В (см. рис. 243), которая спроецнруется на плоскость л~ в [1'2'], а на и:кзскость н, в окружность ст' того же радиуса В. Точки К(, и Кз, пересечении с" ,с [А",В1'] — вспомогательные проекции искомых точек, по ним определяем вначале К[ и Кз, а затем и К( и Кз. Если прямая а, пересекающая поверхность вращения, проходит через ось ( этой поверхности, то перевод прямой а в частное положение целесообразно осуществить путем вращения прямой вокруг оси т.
ПРИМЕР 2. Определить точки встречи прямой а с поверхностью вращения п (рис. 244). 170 Позиииоииме задачи РЕШЕНИЕ. Горизонтально проецирующая плоскость у, в которую заключаем прямую а, пересечет поверхность вращения по мерилиану у ~ . Чтобы не строить искаженнок фронтальной проекции меридианального сечения, поворачиваем плоскость у и находяшуюся в ней прямую а вокруг оси ) до положения, параллельного Хэ, тогда а( совпадает с а — горизонтальной проекцией главного меридиана, а Ь ат с 6 атг После поворота прямая а займет поло. жение а, (аь а",) . С помощью точек К7, и Кзы в которых а" ,Г)у",, определяем положение К" ,и Кт, а затем К( и Кт.
секуцэей поверхности следует выбираэь плоскость. Эта плоскость пересечет заданную о по примой ) . Поэтому в рассматриваемом случае предписываемая алго- ПРИМЕР 1. Определить точку встречи прямой а с плоскостью о (рис. 245). РЕШЕНИЕ. Так как а — прямая, то в алгоритме К = (уГ)п) Ла н качестве 2ч 2 1» ). ! Рис. 243 Рис. 244 4. Пересечение прямой с плоскостью.
Определение точки встречи прямой с плоскостью относится к элементарной задаче, но ее значение дли решения самых различных, более сложных задач, трудно переоценить. Задача по нахождению точки встречи прямой с плоскостью входит как составная часть (фрагмент) в алгоритм решения широкого круга как позиционных, так и метрических задач. Решение этой задачи даже в самом общем случае, когда и плоскость и прямая занимают произвольное положение в пространстве, легко сводится к простейшей задаче по определению линии пересечения двух плоскостей, из которых одна — проецирующая (см.
44, рис. 187, 188), с последующим определением второй проекции точки, принадлежащей плоскости, если известна одна из ее проекций (см. 40, примеры 1 ... 3, рис. 169 ...... 171). Для этого достаточно прямую заключить во вспомогательную проецирующую плоскость.
2" Лп 2' Хт Мат Рис. 246 Рис. 246 ..г" д а) Рис. 247 ритмом последовательность выполнения геометрических построений будет иметь следующее содержание: 1) проводим через о' (нли а") горизонтальный (фронтальный) след горизонтально проецирующей (фронтально проецирующей) плоскости 7; 2) определяем фронтальную (горизонтальную) проекцию линии пересечения плоскости 7 с данной плоскостью П Р' = у" т)а" ( и )' = у'Па'); 3) определяем Кп = ич Г1(п (или К' = а' О!'); зная К, находим К' (или зная К', находим К" ) .
Алгоритм решения не меняется, если мы будем иметь дело с другим вариантом задания плоскости — параллельными прямыми или прямыми, по которым плоскость пересекает плоскости проекций (следами плоскости). Г)пределение точек пересечения линии 17$ е понеркноетьв ПРИМЕР 2.
Определить точку пересечения прямой а с плоскостью а (рис. 246). РЕШЕНИЕ. Так же, как и в предыдущем примере, заключаем прямую а в пРоециРУюшУю плоскость 7 За (И от =- = о']. Строим пинию пересечения плоскостей 7Оа = (. Отмечаем К = ("т)а . По К" находим К'. Решение задачи упрощается, если одна из заданных фигур (прямая или плоскость) занимает проецирующее положение.
Рнс. 247,а и б иллюстрирует решение таких задач: а) плоскость а — проецирующая, а прямая о — -общего положения (рис. 247,а); б) плоскость а — общего положения, а прямая а — проецирующая (рис. 247,б) . Решения задач настолько просты, что они нсиы из чертежей и не требуют каких-либо пояснений. ! 72 )?оэицаоиаые эадачл ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1.
Изложите общий принцип построения обобщенного алгоритма для решения задачи по определению линии пересечения поверхностей. 2. Сформулируйте возможные варианты решения задачи по определению линии пересечения многогранника плоскостью. 3. В каких случаях для определения линии пересечения двух поверхностей можно применять способ: а) вращающихся плоскостей; б) пучка плоскостей с несобственной прямой; в) концентрических сфер; г) эксцентрических сфер? 4. Какие точки линии пересечения поверхностей называются опорными? 5. Напишите и дайте пояснение алгоритма решения задачи по определению точки встречи прямой с плоскостью. 6.
В чем заключается решение задач по определению сечения поверхности плоскостью с помощью способа граней и способа ребер? 7. В каких случаях плоскость пересекает поверхность прямого кругового конуса: по двум пересекающимся прнмым, по окружности, эллипсу, параболе, гиперболе? 8. Что представляют собой фронтальные проекции линии пересечения днух поверхностей вращения второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии, параллельную плоскости лз? 9. Какая зависимость существует между порядком пересекающихся поверхностей и порядком пинии, полученной в результате их пересечения? 10. Сформулируйте условия 1теоремы), при которых кривая — линия пересечения поверхностей — распадается на две кривые второго порядка? 11. Приведите примеры, когда кри. вая — линия пересечения двух цилиндрических поверхностей — распадается на одну, две, три, четыре прямых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
