Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Для того чтобы вспомогательная сфера пересекала по окружности и поверхность вращения (), необходимо, чтобы ее центр принадлежал оси этой поверхности. Поэтому за центр вспомогательной сферы следует брать точку О> пересечения упомянутого перпендикуляра с осью поверхности (). В этом случае сфера, радиус которой равен расстоянию от точки О> до точки 1, пересекает обе поверхности по окружностям. Окружность е, по ко. торой сфера пересекает поверхность р, является параллелью поверхности )); эта параллель проецируетсн на плоскость и> в отрезок [3"4"].
Окружности 1", 2" и 3", 4н пересекаются в точках Ь'>' и Ь> (Ь'>' — = Ьт ) . Аналогично строятся и другие произвольные точки, принадлежащие искомой линии пересечения поверхностей и и р'. Фронтальные проекции опорных точек А" и В" определяются пересечением фронтальных проекций главных меридианов поверхностей п и(). Горизонтальные проекции (иа рис. 231 не показаны) могут быть построены с помощью параллелей поверхности >3 так же, как это было сделано в примере 2. / / Рис. 232 162 Поэычионньм заг)аче РЕШЕНИЕ. 1.
Выделим на конической поверхности )) кругоное сечение. Для этого пересечем поверхность [) фронтально проецирующей плоскостью, параллельной основанию конуса. Эта плоскость пересечет коническую поверхность по окружности, котпрая проецируется на фронтальную плоскость проекции в ниде отрезка [ 1"2"[. 2. Перпендикуляр, восставленный из центра этой окружности к ее плоскости, пересечет ось поверхности вращения в точке Оы которую принимаем за центр вспомогательной секущей сферы 7 .
Центр другой эксцентрической сферы [ можно определить аналогично рассмотренному случаю. Построения начинаем с проведения прямой (3" 4а), параллельной прямой (1ч2е); иэ точки 6е (середины отрезка [3"4ч[) восставляем перпенди- куляр к отрезку [ 3 4 ) и определяем точку От пересечении его с осью поверхности вращения а. 3. Сферы, проведенные из центров О~ и От радиусами, соответственно равными [ О'~'1" ( и [ ОзЗ" [, пересекают по окружностям ие только поверхность р, ио и поверхность вращения и. Отрезки [6", 7"» и [6", 9"[ являются фронталь.
ными проекциями этих окружностей. Пеесечения отрезков [ 1", 2" [ и [ 6", 7" ], М", и Ю ', М',, принадлежащие линии пе. ресечеиия поверхностей и и и. Фронтальные проекции опорных точек А ч и В" определяются пересечением фронтальных проекций главных мерили. апов поверхностей аи(). Горизонтальные проекции точек, принадлежащих линии пересечении, определяются известным способом (см.пример 1, рис.
226). построение линии иересечения поверхностей ! бЗ второго порядка (частные случаи) 52. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ) Рассмотрим некоторые частные случаи пересечения поверхностей второго порядка. Известно, что порндок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей, поэтому две поверхности второго порядка всегда пересекаются по кривой четвертого порядка. При определенных условиях эта кривая распадается на несколько линий более низкого порядка. При этом сумма порядков линий, на которые распадается алгебраическая кривая, равна порядку самой линии.
В частности, кривая четвертого порядка может распадаться на четыре прямые или две кривые второго порядка. Следует иметь в виду, что некоторые линии, на которые распадается кривая, могут быть мнимыми. Случаи, когда кривая четвертого порядка распадается на четыре прямые (четыре линии первого порядка), можно проследить на примерах пересечения поверхностей двух цилиндров второго порядка с параллельнымн осями (рис. 233,а), а также двух конических поверхностей второго порядка, имеющих общую вершину (рис.
233,б) . Условия, прн которых кривая четвертого порядка распадаетсн на две кривые второго порядка, могут быть сформулированы следую- шими теоремами: Т е о р е м а 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и.еи(е по одной плоской кривой. В качестве иллюстрации этой теоремы на.рис. 234 показаны фронтальные проекции (, и !" ,кривых второго порядка (в частности, окружностей), полученных при пересечении поверхностей сферы а и эллиптического цилиндра ().
Т е о р е м а 2. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяюи)ую точки касания. На рис. 23б показано.пересечение двух поверхностей второго порядка: конической а и цилиндрической ().
Поверхности а и () имеют две общие касательные плоскости е и Ь и соответственно две общие б) а) Рнс. 233 (64 Позиционные задача точки касания А и В. Поэтому по теореме 2 они пересекаются по двум кривым второго порядка, расположенным в плоскостях(' и и. Плоскости ~ и л прохо1цчт через прямую (АВ). Так как (АВ) перпендикулярна плоскости проекции л,, то плоскости 4 и и фронтально проецирующие, следовательно, принадлежащие им кривые проецируются на плоскость х, в отрезки ( С" В" ] и (Е" Г"'), при этом (Счй ) С (ат, а «Е"Е") С ('с ~.
Рис. 234 Теорема 2 может быть использована и для решения задачи на определение положения плоскостей, пересекающих поверхности второго порядка по окружностям. РЕШЕНИЕ. Проведем сферу ф, имеющую две обшие касательные плоскости с цилиндрической поверхностью (сфера р и цилиндр а имеют двойное соприкаса. ПРИМЕР. Определить положение плоскостей ь" и Л, которые пересекают поверхность эллиптического цилиндра и по ок. ружностнм (рис. 2361. Рис.
235 Рис. 236 Определение точек пересечения линии [б5 с лоаеркностью яие) Для этого центр сферы должен находяться яа оси ~ цилиндрической поверхности о, а ее радиус Н = [рЛ~,. Поперхностп цялиядра я сферы сопрякасаи1тся и точках Л и В. На основании теоремы 2 поаерхяости сферы я цилиндра пересе. каются по двум кривым пторого порядка, пряпадлежащям фронтально проецирующим плоскостям 1 и в,3ти кривые, проецярующиеся па плоскость лэ л от.
резки [С"О" ] я [В" Р" ], ялляютсн окружностями, так как сопряженные диаметры замкнутой кривой второго порядка рая. яы между собой [ЛВ] =- [ОО~ я ~АВ[ = =- ]ВР] . Ркс. 237 Т е о р е м а 3. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касанця:". Эта теорема по существу является частным случаем теоремы 2.
Практическое использование теоремы возможно в том случае, когда две поверхности вращения второго порядка могут быть описаны около сферы или вписаны в нее. Рис. 237 дает представление о том, как можно определить линии пересечения двух конических поверхностей а и ]), описанных около сферы у. Поверхность а соприкасается со сферой у по окружности, фронтальная проекция которой [1 "2" ], а с поверхностью )) — по окружности, проецирующейсн в [ 3'4ч] . Точки пересечения этих окружностей А и В являются точками соприкасания поверхностей и и [3. По теореме 3 плоскости кривых 1, и 1, должны проходить через прямую (АВ).
Так как (АВ) ). л,, то плоскости [:э 1, и ч э!, фронтально проецирующие, а проекции кривых 1, и 1, проецируются в отрезки [СчВ"! и [Е"Р" ]. Показанные на рис. 237 конические поверхности а и )) пересекаются по двум кривым, одна из которых 1, — эллипс, другая 1, — парабола (см. й 48, рис. 199, 200) . э 53. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ В общем случае для графического решения задачи по определению положения точек пересечения (встречи) линйи с поверхностью необходимо выполнить ряд геометрических построений в приведенной ниже последовательности: заключить данную линию во вспомогательную поверхность; определить линию пересечения этой вспомогательной поверхности с заданной поверхностью; отметить точки, в которых пересекаются полученная линия с заданной (рис.
238) . * Эта теорема известна также как "теорема Мояжа", по имени основоположника начертательной геометрии Гаспара Мояжа, доказавшего зту теорему. 166 Позиииоияые задачи Запишем указанную последовательность решения в виде табл. 9 (как это сделано в 5 43 при составлении алгоритма для решения задачи по определению линии пересечения двух поверхностей). В праной части таблицы приведена символическая запись, соответствующая смысловому содержанию отмеченных этапов решения. Таблица 9 Символ на геомет Словесное описание на традиционном измке начертательной геометрии Заключаем а Определяем ~ Отмечаем 1я П Заключаем данную линию во вспомогательную поверхность 2 Определяем линию пересечения вспомогатель- ной поверхности с заданной поверхностью 3.
Отмечаем точки пересечения полученной ли- нии пересечения с заданной Алгоритм для решения задачи определения точек пересечения линии с поверхностью в символической форме можно записать; (К, .„~ = (т л о) и а. Здесь, как и у алгоритма определения линии пересечения двух поверхностей, в зависимости от порядка и взаимного расположения заданных кривой и поверхности множество искомых точек 1К, ...) может состоять иэ одной, двух и более точек.
Полученный алгоритм является универсальным, пригодным для решения задачи с любым вариантом задания исходных данных. Рассмотрим различные варианты решения задачи: 1. Пересечение кривой с поверхностью. 2. Пересечение кривой с плоскостью. 3, Пересечение прямой с поверхностью. 4. Пересечение прямой с плоскостью. При решении всех этих задач, как правило, целесообразно для уменьшения графических построений и их упрощения пользоваться в качестве вспомогательной секущей поверхности т — проецирующей цилиндричес- р .2за Олределеиие точек лересечеяил линии 1б7 слааеркиостью (ат Рис. 239 1. Пересечение кривой с поверхностью. При определении содержания и последовательности выполнения геометрических операций, входящих в состав алгоритма для решения задачи по определению точек пересечения кривой с поверхностью, мы пользовались наглядным чертежом, изображенным на рис. 238.
Теперь проследим, как решается эть задача на эпюре Монжа. 2. Пересечение кривой с плоскостью. Решение этой задачи аналогично только что рассмотренной, если и есть какое-либо отличие, то оно состоит лишь в том, что приходится определять вторую проекцию линии, принадлежащую не цилиндрической поверхности, как это было в приведенном выше примере, а плоскости.
ПРИМЕР. Определить точку встречи линии а с плоскостью и (рис. 240) . 2. Обоэиачим линию пересечеиия 7йп= (, тогда)чС тат. 3. Определяем горизоитальиую проекцию !'. Для этого отмечаем иа !' ряд точек 1", 2", 3", ..., с помощью горизонталей (ьн ьт, йр ..) плоскости ц иахо. дим точки 1', 2, 3', ..., принадлежащие !', 4. Отмечаем точку К' = !' С)а', по К' иахолим К". РЕШЕНИЕ. 1. Заключаем линию а в проецирующую цилиндрическую поверхность 7, беэРазлично какук1 71 л~ или 7) хт (иа рис.
240 7 ( 3. ((< )и сечение примой с поверхностью. В л нори!м4 )и нн нин ~а)(ачи длп определения точек встречи прямой с понертнюс4ью н начес!не нап4могательной секущей поверхности следует брать плоское ! ь. кой поверхностью, в частности, если определяется точка пересечения прямой с поверхностью, плоскостью. Упрощение решения достигается благодаря тому, что одна из проекций линии пересечения ! автоматически определяется положением и формой следа проецирующей поверхности 7. Поэтому задача по определению точек встречи линии с поверхностью сводится к построению второй проекции линии, принадлежащей поверхности, если известна одна ее проекция, т.
е. к задаче, которую мы неоднократно решали. ПРИМЕР. Определить точки пересечеиия кривой' а с проиэвольиой цилиидрической поверхиостью о (рис. 239) РЕШЕНИЕ. 1. Заключаем кривую а во фроитальио проецирующую цилиндрическую поверхиость 7. 2. Определяем линию пересечения по. верхиостей 7 и п. Для этого отмечаем иа а =-= (е4( — = !" произвольиые точки 1", 2", 3", 4', Б"; зная фроитальиые проек- ции точек, находим их горизоитальиые проекции 1', 2', 3', 4', 3'. Соединив эти точки плавной кривой, получим горизоитальиую проекцию !' кривой (, по которой вспомогательная цилиндрическая поверхиость 7 пересекает данную поверхность ц. 3. Отмечаем точки К) и К~т пересечеиия кривых Р и а'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
