Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Точки А, В, С, 17, Е, Г принадлежат искомой линии пересечения. На рис. 225 показано также определение высшей Ь и низшей К точек, принадлежащих линии пересечения. Положение этих точек найдено с помощью горизонтально проецирующей плоскости 1, проходящей через вершину конической поверхности Я и ось 1 поверхности вращения о. Плоскость 1 пересечет коническую поверхность по образующей БТ, а поверхность вращения по меридиану К.
Для определения точек пересечения меридиана я с образующей $Т вращаем плоскость ~, которой принадлежат эти точки, вокруг оси, перпендикулярной к н, и проходящей через вершину конуса 3, до положения, параллельного плоскости и, . Находим фронтальные проекции точек К, и Ь„а затем К и Ь . Зная положение К и Ь", определяем их горизонтальные проекции К и Ь .
Соединив одноименные проекции полученных точек плавной кривой, получим проекции линии пересечения заданных поверхностей. Рис. 225 !58 Позиционные задачи 2 61. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ СЕМЕЙСТВА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Для определения линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения целесообразно воспользоваться одним свойством, присущим поверхностям вращения, которое состоит в том, что две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей (рис.
226) . В частном случае, если одна из поверхностей вращения — сфера, приведенное выше предложение может быть сформулировано иначе: если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сЯера пересечет данную поверхность по окружностям, часов которых равно числу точек пересечения главных меридианов поверхностей (рис. 227). Если ось поверхности вращения перпендикулярна плоскости проекции е, (или тз ), то окружности проецируются на плоскость х, (или аз ) без искажения, а на плоскость ез (или т, ) в отрезки прямых, перпендикулярных фронтальной (горизонтальной) проекции оси вращения (см. рис.
226) . Поверхность сферы может пересекаться по окружности не только с соосной поверхностью вращения, но и г любой другой поверхностью, имеющей семейство окружностеи, например, с циклической поверхностью, конической поверхностью второго порядка, имеющей в основании окружность, и др. !ч' 1 Рис 227 Рис. 226 1)лсгроеиие лилии пересечении пгмерхиосгеи с ломои<ью [$9 семеисгиа и<ломогаге«ьг<ьгх сферических лоиерхи<югей 1!РИМЕР 1, Построить линию пересе.
чения двух конических понерхностей вращения с пересекаи<щнмнсн осямн (рис. 228). !'ЕШЕНИЕ. <,'фера, пронеденнан нэ точки О пересечении фронтальных проекций осен понерхностсй вращения, пересечет поверхность й по окружности, которая прэецнруетсн на плоскость и< в отрезок [ !" 2"), а поверхность 8 — по окружности, проецнрующейсл на хэ и отрезок [ 3' 4" [.
На горизонтальную плоскость проекции эта окружность спроецнруетсн без искажения н окружность радиуса [О",, 3" [, проведенную нз центра в точке <у. Пересечение отреэкон [ ! "2" ] н [3"4") укажет фронтальные проекции двух точек ь'< н 1,з(1,,' : =Вз), принадлежащих пинии пересечении поверхностей а н [). Величина радиуса вспомогательных сфер для определения линии 1< нэменнетсн в пределах от Кт!и = )О')))и[до Вшах )ОчВи[ (точка Мч <и<ределяется как точка касания окружности, проведенной к главному меридиану поверхности () из центра О"). 1(ля определения точек лн1< Визах )О С [, Вщ<п . [О М [.
На рис. 228 показано определение точек )<<< и я<э< принадлежащих линии 1э. ! оризонтальнан проекцнв линии пересечения может быть найдена из условия ее принадлежности поверхности [). Цля ее по. строения необходимо через фронтальные проекции точек кривых 1< и 1э провести горизонтальные прямые — фронтальные проекции параллелей поверхности р, а нз точки О' — окружности — горизонтальные проекпнн параллелен, на которых с помощью линий свдзи можно определить горнзонтальныеп[<оекции точек.
принадлежащих кривым 1, и 1э Особые точки Л, В„С, В определяя>тся пересе<еннем главных меридианов поверхностей й н )). Они же являкюсн высшими (точкн А н С) н ннз<пнмн (гочкн В н О) точками линии пересечения поверхностей, Границы видимости линии на горизонтальной плоскости проекции определяются тачками, принадлежащими го- рнзонтальном) очерку поверхности а (точкн Е'< и Е< длл линии 1< н Е< н Р<~длл линии 1< ) . 1!РИМЕР 2. Построить линии> пересечения понсрхностн вращения а произ.
вольного инда с поверхностью прямо!о кругового цилиндра [). Оси понерхностей пересекаи<тся (рнс. 229). РЕШЕНИЕ. !. Определяем центр вспомогательных сфер — точку пересечения асей поверхностен вращении Π—. 1, Г«э. 2. Находим проекции опорных точек, прниацлежащие линии пересечения 1 (А', В", С ', Ои) . Так как этн точки принадлежат плоское<и главных меридианов поверхностей, которая параллельна плоскости яэ, то этн точки определяются пересечением фронтальных проекций <лавных меридианов поверхностей. Ф 1г Рнс. 228 !)остроить линии пересечении понерхностеи с помощьи< вспомогательных гекущих сфер можно днумн <.цособами: 1) способом концентрических сфер; 2) способом эксцентрических сфер.
()собснности каждого из з«<х способ<з и услонин его применении проследим на конкретных примерах. 1. Способ концентрических сфер. ',)то< способ применив!си для построении линии пересечении двух поверхностей вращения, оси которых пере<екаи<тся. Для упрощения графического решении необходимо, чтобы плоскост<ч определяемая осими поверхностей вращении, была параллельнои какой-либо плоскости проекции.
1б() Позициочлые задачи 3. для определения произвольных (промежуточных) точек линии пересечения из точки О" проводим семейство концентрических окружностей, являющихся фронтальными проекциями вспо. магательных сфер. Радиус максимальной сферы равен расстоянию от фронтальной проекции центра сферы О" до наиболее удаленной проекции точки, принадлежащей линии пересечения — точки О". Величина мини.
~лального радиуса вспомогательной се. кущей сферы равна радиусу окружности, касающейся цилиндра ))ь. На рис. 229 показано построение точек К, К~ и Ь, 1.1 с помощью вспомогательной сферы 7 . Горизонтальные проекции точек линии пересечения строятся при помощи параллелей поверхности вращения о, которые проецируютсн на плоскость л, без ~~~~~~~~~. П1'ИМЕР 3. Построить линию пересечения поверхности гора а и сферы )), оси которых определяют плоскость, параллельную фронтальной плоскости лроек. ции (рис. 230) . РЕШЕНИЕ.
Так как осью сферической поверхнос ти может быть любая прямая, проходящая через центр этой поверхности, то за центр вспомогательных сферических поверхностей можно принять произвольную точку на оси поверхности вращения и. Поэтому графическое решение задачи по определению линии пересечения заданных поверхностей сводится к выполнению следующих геометрических построений: !. Принимаем точку О" эа центр окружностей — фронтальных проекций вспомогательных секущих сфер. Рис.
229 2. Проводим фронтальную проекцию вспомогательной сферической поверхности тл 3. Определяем отрезки [ 1" 2" ] и [ 3" 4" ] — фронтальные проекции окружностей, по которым у) Г>п и Т.Г>)), 4. Точки пересечения окружностей (отрезков [ 1" 2" ] и [ 3" 4" ] ) 3(~1 и Мз принадлежат искомой линии пересечения.
б. Фронтальные проекции опорных точек А" и В" оцределяютсв пересечением фронтальных проекций меридианов поверхностей и и )). 6. Горизонтальные проекции линии пересечения определяются с помощью па. раллелей поверхности р, тем, что обе поверхности несут на себе семейства окружностей, по которым они могут пересекаться эксцентрическими сферами, причем на кольцевой поверхности имеется несколько семейств окружностей, в том числе и окружностей, принадлежащих пучку плоскостей, ось которого совпадает с осью кольца. Решение задачи сводится к следующим графическим построениям: 1. Рассечем кольцевую поверхность фронтально проецирующей плоскостью с, проходящей через ось кольца; эта плос- ПРИМЕР 1. Г!остроить пинию пересечения поверхности кольца (открытого тора] а с поверхностью вращения имеиш>их >бщую плоскость симметрии (рис.
231>. РЕШЕНИЕ. Хотя мы и имеем дело с поверхностями вращения, но применить здесь способ концентрических сфер не представляется возможным, так как оси поверхностей ие пересекаются. Возможность использования способа эксцен грических сфер обусловливается 2. Способ эксцентрических сфер. Способ эксцентрических сфер может быть использован для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность должна иметь семейство окружностей.
Как и в способе концентрических сфер, плоскость симметрии должна быть параллельна одной из плоскостей проекции. Сущность способа легко уяснить из следующих примеров. Поетроениелинии пересечении новерхноетей еломощью 1б1 семействе еслпиоевтельнь>х сферическим неверхностей Способ эксцентрических сфер можно применять и в тех случаях, когда одна из пересекающихся поверхностей ие является поверхностью вращения. Необходимым условием является наличие иа этой поверхности семейства окружностей, которые можно рассматривать как результат пересечения поверхности со сферой.
В число условий входит также условие, чтобы перпеидикуляры, восставленные из центров круговых сечений, пересекали ось поверхности вращения. Задача, помещенная в следующем примере, иллюстрирует возможность использования эксцентрических сфер для построения линии пересечения двух поверхностей, когда одна из иих ие являя я поверхностью вращения.
ПРИМЕР 2. Построить линию пересе. ченин поверхности вращения и с конической поверхностью второго порядка(), имен>щей в основании окружность (рис. 232). Рис. 230 Рис. 231 кость пересечет кольцевую поверхность по окружности, фронтальная проекция которой — отрезок [ 1ь2"]. Эта же окружность может быть получена, если кольцевую поверхность пересекать семейством эксцентрических сфер, центры которых расположены на перпендикуляре, проведенном через центр окружности К ПЛОСКОСТИ Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
