Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (507837), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Чтобы конкретизировать ответ, необходимо указать дополнительные условия. ПРИМЕР 1. Через данную прямую о провести плоскость )), перпендикулярную к плоскости а (рис. 258) . для этого находим горизонтальную проекцкю горизонтали (6') и фронтальную проекцию фронталн (т-'); из проекций произвольной точки А Е а проводим проекции перпендикуляра !' 1 й' и !о 1 ! ". Плоскость ))1 а, так как 1):з ! 1 а. РЕШЕНИЕ. Определяем направление проекций перпендикуляра к плоскости а, тали, тзк как их функции выполняют следы плоскости 6 оа и 1оа.
Как видно из чертежа, решение сводится к проведению через точки А' и Ао проекций !' 16оа и !" !.Гоа. ПРИМЕР 3. Построить плоскость 7, перпендикулярную к данной прямой ! и проходнщую через заданную точку А (рис. 256). РЕШЕНИЕ, Через точку А проводим горизонталь )з и фронталь Г. Эти дне пересекающиеся прямые определяют плоскость; чтобы она была перпендикулярна к прямой (, необходимо, чтобы прямые 6 и !' составляли с прямой ! угол 90~. Для этого проводим 6'1!' и тч).!".
фронтальная проекция Йои горизонтальная проекция р проводятся параллельно оси х. Рассмотренный случай позволяет по иному решать задачу, приведенную в примере 3 (с. 175 рис. 251). Сторона ]ВС] Точка СЕ (ВС), принадлежащей плоскости 7, поэтому для нахождения ее горизонтальной проекции проводим через С" произвольную прямую 1 "2", принадлежащую плоскости 5Ч определяем гори. зонтальную проекцию этой примой 1'2' и на ней отмечаем точку С' (С определяется пересечением линии связи — перпендикуляра, опушенного из С, с гориэон.
тельной проекцией прямой 1'2 ). С' совместно с В' определяют горизонтальную проекцию (ВС) 1 (АВ). ак н 4" еле ~2' Л' Рис. 258 На рис, 259,б показана фронтально проецирующая плоскость 7, проходящая через точку В и перпендикулярная к плоскости э,. Из чертежа видно, что отличительной особенностью зпюра, на котором заданы две взаимно перпендикулярные плоскости, из которых одна — фронтально проецирующая, является перпендикулярность их фронтальных следов «, » 1 «,о; горизонтальный след фронтально проецирую. щей плоскости перйендикулярен оси х. Хн Х а) б) Рис.
259 ПРИМЕР 2. Через данную точку А провести горизонтально проецирующую плоскость 7, перпендикулярную к плоскости П, заданной следами (рис. 259, а) . Искомая плоскость 7 должна содержать прямую, перпендикулярную плоскости и, или быль перпендикулярной к прямой, принадлежащей плоскостип.
Так как плоскость 7 должна быть гори- Построение взаимно неряенднкулярных нрямкх, $79 нрямой н нлоскоснь нлоскостей зонтально проецирующей, то прямая, перпендикулярная к ней, должна быть параллельнаплоскости н,, т. е.являться горизонталью плоскости а или (что то же самое) горизонтальным следом этой плоскости-Леа. Поэтому через горизонтальную проекцию точки А проводим горизонтальный слеп Ле»). Леп, фронтальный след «е» з оси к 180 Метричасииа задачи 2 55.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ В 2 8 гл. 1 (см. рис. ЬО) было показано графическое определение длины отрезка [АВ], являющегося мерой расстояния между точками А и В, путем построения прямоугольного треугольника. Рассмотрим другие варианты решения этой задачи. Мы знаем, что ортогональная проекция геометрической фигуры будет конгруентна оригиналу в том случае, когда фигура занимает положение, параллельное плоскости проекции. Поэтому отрезок ] АВ] проецируется на плоскость и, (или и,) без искажения лишь в том случае, когда он параллелен плоскости и, (нли и,). Поэтому решение рассматриваемой задачи сводится к переводу отрезка в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции.
Перевод отрезка из общего положения в частное (параллельное плоскости проекции) момсно осуществить, применив один из способов преобразования ортогональных проекций: или замену плоскости проекции, илн плоскопараллельное перемещение (в частном случае — вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции) . ПРИМЕР 1.
Определить расстояние мвиду точками А и В (рнс. 260) . Решение задачи сводится к нахождению длины отрезка, концами которого являются точки А и В. Переводим отрезок (АВ] из общего положения в частное— параллельное плоскости иэ, используя для этого замену плоскосги пт плоское.
тью иэ, Новую плоскость иэ выбираем так, чтобы отрезок (АВ] оказался параллелен этой плоскости. Для этого новую ось х1 проводим параллельно ] А'В'] . Длина отрезка (А",В",] — новой проекции отрезка (АВ] — укюиет искомое расстояние. ПРИМЕР 2. На рнс. 261 приведено решение этой же задачи путем перемещения отрезка АВ параллельно плоскости и~ в положение А1В,, параллельное горизонмльной плоскОстн проекции. В этом слу. чае отрезок будет проелироваться ив и~ без искаженна. ПРИМЕР 3. На рис.
262 для определения длины отрезка АВ его перевели в положение, параллельное плоскости иы путем вращения вокруг осн!1иэ. Рис. 260 В", В] Рис. 262 Рис. 261 Определенное расстояния между точной и прямой, 181 между параллельными прямыми 56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПРЯМОЙ, МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ Расстояние от точки до прямой определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Это определение может быть положено в основу составления алгоритма графического решения задачи определения расстояния от точки до прямой. Рис. 263 дает наглядное представление о графическом решении задачи по определению расстояния от точкь1 А до прямой а .
Через точку А можно провести множество прямых ~1,, 1,, 1„..., 1п~, перпендикулярных к прямой а . Это множество прямых определяет плоскость т. Чтобы выделить нз 11,, !т, 1,, ..., 1„!единственную прямую 1;, пересекающую прямую а, необходимо найти точку встречи прямой а плоскостью т — М = а о т; определить длину отрезка [ АМ] . Реализация этого алгоритма путем геометрических построений значительно упрощается, нойчч если прямая будет параллельна плоскости проекции. В этом случае можно без каких-либо вспомогательных построений провести проек. ции прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку. На рис. 264 показано решение такой задачи.
Как видно из чертежа, решение достигается минимальным числом геометрических построений. Поэтому нет смысла решать эту задачу в общем виде, а следует предварительно с помощью спосо- :Ъ'ч ' бов преобразования ортогональных проекций перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции (см. рис.
260, 261, 262) . Рис. 263 Рис. 266 Рнс. 264 1оо2 Метрические задачи л" Аг г л,' лт', М,' Рис. 2Б6 2п А» Ле 1е елг ге г 2г" Ма Аг лг' Аг 1 Рис. 267 Рис. 268 Решение задачи на определение расстонния между параллельными прямыми ничем не отличается от только что рассмотренного примера. Это утверждение базируетсн на том, что расстонние между параллельными прямыми определяется величиной перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной примой, на другу к! прямунь щ и л вокруг осп г' (г ВЛ, г ) Л, ) до положения щ, (, 'гт, и л, )) и Из гочки Л" оггускаелг перпендикуляр А "и" на прямуго гл",. Определяем леиствнгельнуго ве личину ~ г),)т~.
ПРИМЕ!' ! Определить расстояние между пераллельными прямыми гл и гг (рис. 266) РЕШЕНИЕ, На прямой л отмечаем проиавольнунг точку Л сРл. Вращаем прямые гтз Зг' 1 з, ае Яг аь г Г' л' А' )г' г' ~~. Олреоелеяле рассюяяоя между точкой о плоскостью, ) 83 яремой ь ллоскостъю, между яяоскостямо и скрещивающимися лрямыма На рис. 266 показан второй вариант решенин этой задачи.
С помощью спо. саба параллельного перемещения прямые гл и л переведены в положение, параллельное плоскости лз. Дальнейшее решение сводитсн к определению расстояния от точки А, взятой на одной прямой, до другой прямой гл ~ . Перевод прямых гл и л из общего гю- ложения в частное можно осуществить путем замены плоскости яз новой плоскостью кэ, параллельной прнмым гл и л.
Решение задачи этим способом приведено на рис. 267. На рис. 266 рассматриваемая задача решена путем вращения прямых гл и л вокруг горизонтали Ь до положения, параллельного плоскости л,. 5 57. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ТОЧКОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ, МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ И СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Ао Рис. 266 Ркс. 270 Определение расстояния между: 1 — точкой и плоскостью; 2 — прямой и плоскостью; 3 — плоскостями; 4 — скрещивающимися прямыми рассматривается совместно, так как алгоритм решения для всех этих задач по существу одинаков и состоит из геометрических построений, которые нужно выполнить для определения расстояния между заданными точкой А и плоскостью а. Если и есть какое-то различие, то оно состоит лишь в том, что в случаях 2 и 3 прежде чем приступить к решению задачи, следует на прямой гп (случай 2) или плоскости р' (случай 3) отметить произвольную точку А.
При определении расстояния между скрещивающимися прямыми предварительно заключаем их в параллельные плоскости а и р с последующим определением расстояния между этими плоскостями. Рассмотрим каждый из отмеченных случаев решения задач. 1. Определение расстояния между точкой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Поэтому решение этой задачи состоит из последовательного выполнения следующих графических операций: 1) из точки А опускаем перпендикуляр а на плоскость и (рис.
269); 2) находим точку М пересечения этого перпендикуляра с плоскостью М аг'1а; 3) определяем длину отрезка ( АМ) . Если плоскость о общего положения, то для того чтобы опустить на эту плоскость перпендикуляр, необходимо предварительно определить направление проекций горизонтали и фронтапи этой плоскости. Нахождение точки встречи этого перпендикуляра с плоскостью также требует выполнения дополнительных геометрических построений. !84 Метрические задачи Кг в," Рис 2 (1 Рис 272 Решение задачи упрощается, если плоскость а занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае и проведение проекций перпендикулнра, и нахождение точки его встречи с плоскостью осуществляется без каких-либо дополнительных вспомогательных построений. !' 1 йео, а через А" — его фронтальную проекцию !" 1 йгп. Отмечаем точку М" = = ! О !еп. Так как АМ[(лг,то [А М ]= = [АМ) = д. ПРИМЕР 1.
Определить расстояние от тггчки А до фронтально проецируюшей плоскости а (рис. 270) . РЕШЕНИЕ. Через А' проводим горизонтальную проекцию перпендикуляра Из рассмотренного примера видно, насколько просто решается задача, когда плоскость занимает проецирующее положение. Поэтому, если н исходных данных будет задана плоскость общего положения, то, прежде чем приступить к решению, следует перевести плоскость в положение, перпендикулярное к какой-либо плоскости проекции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
