Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (С.А. Фролов - Начертательная геометрия), страница 3

том с точкой внутри ~3 . 7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками — : 'Ь Например: ~АВ~ — расстояние между точками А иВ (длинаотрезкаАВ); |Аа, '— расстояние от точки А до линии а; ~Аа~ — расстояние от точки А до поверхности а; 1аЫ -- расстояние между линия- ми а и Ь„. ~аД расстояние между поверхностями а и (). 8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: и, и и,, где и, — горизонтальная плоскость проекций; и, —. фронтальная плоскость проекций. При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают и,, ив и т.

д. 9. Оси проекций обозначаются.' х. у, и, где х — ось абсцисс; у— ось ординат; х -- ось аппликат. Постоянную прямую зпюра Монжа обозначают Ь. 10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены: А', В', С', П', ..., Л', М', М', ...— горизонтальные проекции точек; А", В", С", .0", ..., В", М", Х", ...— фронтальные проекции точек; горизонтальные проекции линий; фронтальные проекции линий; а,К7,6,...,Р,Л,и,...— горизонтапьные проекции поверх- ностей; а )) 7,Ь " Р л ° и фронтальные проекции поверхнос- тей. 11.

Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фрон- таль, с добавлением подстрочного индекса „„, подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) а. Так: Ьва — горизонтальный след плоскости (поверхности) а; 1и а фронтальный след плоскости (поверхности) а. 12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии. Например: Ои — горизонтальный след прямой (линии) а; тси ф)зонтальный след прямой (линии) а.

Я Обоэиачсиия и символика А,, Аэ, Аз. "., Ал', а,,а„а,, ...,а„; а1, а! аз, ал Фэ, Фэ, Фз, ..., Ф„ит.д. Б. Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами Пример символической записи Обозна. челне Содержание ю по пор. Совпадают Конгруентны Подобны Параллельны Перпендикулярны Скрещнвюотся Касательные Отображаютси 13.

Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами... Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом,: Ао.

Во Со йо А к со но м е т р и ч е с к не проекции 14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса ': Ао Во Со 1)0 10 аоо Зо 4о ао, Ьо, со, сзо, ... с„ ' )30 то бо' ' ' 15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса': ~!О В10 С!о 1)!о 1!О Я!0 310 410 10 Ь10 ,10 (10 !о ил!о 1о Ь !о Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические злементы, на которые следует обратить особое внимание.

(АВ) =- (СР) — прямая, проходим!як через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей череэ точки С и Р (.АВС = ~ МХК вЂ” угол АВС конгруен. тен углу МЫК 1з АВС сы 6 МЫК вЂ” треугольники АВС и МЫК подобны а ~~)) — плоскость а параллельна плос- кости() а 1 Ь вЂ” прямые а и Ь перпендикулярн ы с — с( — прямые си Й скрещиваюгси ! ("! ! — прямая ! является касательной клинив Ь р 1'! а — плоскость )3 касательная к по. верхности а Ф! + Фэ — фигура Ф, отображается на фигуру Ф, Обозначения и символика ! 1 Продолжение табл. Пример символической записи ержанне цировамия.

проецмроваственная точло жение ся стрелкой, ем напранле- ровання проециро. рзо — параллельное проецирование на плоскость и в направлении з е проециро- В. Обозначении теор ет н ко-множественные Пример символической записи в геометрии ример символической записи Ф [А, В, С, ... ~- фигура Ф состоит мз точек А, В, С,..

А,В,С,...~ А Е. а — точка А принад- лежит прямой а (точка А лелочт на прямой а ) А Π — множество есть объединение мно- ств А м В; (1, 2 3, 6) = ~1,2,3) О ]а,б~ а Г1 Ь = 5) — прямые а и Ь не пересекаются (ие имеют общих тачек) — ® — множество Ъ етое (не содержит зле. нтов) Е М (где М вЂ” множестнатуральных чисел)— ело 2 принадлежит мно. ству Н С М вЂ” множество М явется частью (подмноеством) множества М ех рациональных чисел = К Я В вЂ” множество есть пересечение мноств К и Ь (содержит себе элементы, принаджащие как множеству так и множеству В) .

П М = Ц вЂ” пересечение множеств М и М есть пусе множество (множест- М и М не имеют общих ементов) а С а — прямая а принадлежит плоскости а (понимается в смысле: множество точек прямой а является подмножеством точек плоскости а) АВСР= [АВ] О [ВС] О [СР] — ломаная линия, АВСР есть объединение отрезков [АВ], [ВС[, [СР] а = а О р — прямая а есть пересечение плоскостей пи () 12 Обозначения и символика Группа // СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮВ(ИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ Пример символической записи Содержание !Ф Обозначение по пор. Конъюнкция предложений; соответстнует союзу "и". Предложение (РЛэ) истин- но тогда н только тогда, когда р и а оба истинны (Рх) Отрицание высказывания (Рх) Отрицание знака Дизъюнкция предложений; соответствует союзу "или". Прелложение (р)/0) истин- но, когда истинно хотя бы одно из предложений р или Е (т.

е. или р, или а, или оба) . Импликация — логическое следствие. Предложение р ' а означает: "если р, то на" Эквивалентность. Предло- жение (реь а) понимается в смысле: "если р, то и ЕА если а, то и р" Квантор общности, читается: для всякого, для всех, для любого. Выражение '(г(х) Р(х) означает: "для всякого х имеет место свойство Р(.т) " Квантор существования, читается: существует. Выражение 3 (х) Р(х) означает: "существует х, обладаиицее свойством Р(х ) " Квантор единственности существования, читается: сущестнует единственное (-я, -й) ... Выражение (31х) (Рх) означает: "существует единственное (только одно) х, обладающее свойством Рх" й й() = [ К: К ЕйАК Е[) )Пересечение поверхностей й и [) есть множество точек (линия), состоящее иэ всех тех и только тех точек К, которые принадлежат как поверхностной, так и поверхности )3 (а [~ сЛЬ [[ с) ь а [[ Ь Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой АЕйееАЕ)Сй 'Гочка принадлежит плоскости, е спи она принадлежит некоторой линии, принапдежащей этой плоско сти.

Справедливо также и обратное утверждение; если точка принадлежит некоторойлинии, принадлежащей плоскости, то она принадлежит и самой плоскости ЧГ(/)АВС)(А + В+ С = 100 ). Для всякого (для любого) треу- гольника сумма величин его углов при вершинах равна 180 (тзгй)яа)[а ьйЛа [~ й). Для любой плоскости й существу- ет прямая а, не принедлежаижя плоскости й и параллельная пло с- кости й Я'А, В)(А ф В)( л 1а)(а Э А, В) Для любых двух различных точек А и В существует единственн ая прямая а, проходящая через зги точки а — Ь=ь (3а)(й Э а, Ь).

Если прямые а и Ь скрещиваются, то не существует плоскости й, ко- торая содерзоп их [АВ) 1 [СО] — отрезок [АЙ) не ра- вен отрезку [СР) . а )(, Ь вЂ” линии а не параллельна ли- нии Ь ГЛАВА 1 МЕТОД ПРОЕКЦИЙ э 1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА С позиции теории множеств любую геометрическую фигуру следует рассматривать как множество всех принадлежащих ей точек. Говоря иначе, всякая геометрическая фигура есть не пустое множество. Отображение геометрической фигуры на плоскость (нли какую- либо другую поверхность) можно получить путем проецирования ее точек на зту плоскость (поверхность) . Прежде чем говорить о сущности метода проецирования, целесообразно рассмотреть некоторые свойства евклидова пространства*.

Известно, гго зти свойства могут быть выражены при помощи системы аксиом и предложений, которые устанавливают зависимости и отношения между элементами пространства. Точки, прямые и плоскости евклидова пространства находятся в определенном взаимоотношении, которое может быть обозначено словом принидпехгносгь или инцидентносгь Термин инцидентность заменяет такие понятия, как "лежать на", "проходить через". Вместо выражений "точка А лежит на плоскости а", *'прямая а проходит через точку В" можно употреблять выражения "точка А ннцидентна (принадлежит) плоскости а", '*точка В инцидентна (принадлежит) прямой л". В символической форме зти выражения можно записать А е а; В й а. Отношения принадлежности между элементами евклидова пространства могут быть выражены следующими предложениями: 1.

Если точка А принадлежит прямой а, а прямая л принадлежит плоскости и, то точка А принадлежит плоскости а: А Е а С а и А к а. 2. Две различные точки А н В всегда принадлежат одной и той же и только одной прямой а или каждой прямой а принадлежат, по крайней мере, две точки А и В: 1'4А, В)(А Ц В) ( 31а)(а э А, В). 3. Три различные точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, принадлежат одной и той же и только одной плоскости: (теА, В, С)(А ч В~с С)Л (А, В, Сйа)м (В 1а)(а вА, В,С). 4. Если две точки А и В, принадлежащие прямой л, принадлежат плоскости а, то прямая а принадлежит плоскости а: (т~А, В)(А Ц В)(А, В ~ а) Л (А, В Е и) и (а С а). е Основные свойства трехмерного пространства, в котором мы живем, были изучены до нашей зры греческими геометрами.

Наиболее существенный вклад имели труды по геометрии трехмерного пространства великого геометра древиосги Евклида, изложенные нм в "Началах" (Н1 в. до нашей зры) . По имени автора "Начал" геометрическому пространству, изучаемому в злементарной геометрии, присвоено название евклидова пространства. !4 М ма с!Риекиии Кроме приведениссх вып!с, могуг быгь сформулированы и другие предложения пршюдлежности для э!и ментов евклидова пространства. К таким прецложсниям, в ссас!ползи. апнюягся: бз..'(ве прямьн, принадлежащие аднои плоскагси, могут принадлежать однои тачке. но этого может и пе быль.