Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (С.А. Фролов - Начертательная геометрия), страница 4

6.,'(вс плоскости могут принадлежать однои и гой же прямой, но этого можа г и не быть. 7. Плоскость и не принадле;кшцан еи прямая могут принадлежать аднои точке. на этого можс т и нс йы ! ь. Послецние три предложения па существу псрефразируют аксиому а параллельности. В самом деле. предложение 5 утверждает, что в евклидовои плоскости две прямые либо пересекаются (принадлежат оцной гочкс). либо не имензг абщеп точки в зсом случае они назьсваюгсн параллельными.

Лналогичио, предложенис 6 говорит о том, по в енклидовам прострашпве две плоскости либо пересекакстся (принадлежат ацной прямой), лпоо они параллельны, а предложение 7 — о том, что прямая. не принадлежащая плоскости, либо пересекает ее (прямая и пласкосггь принадлежа! однои точке), либо аии параллельны. сЕ!'ЕКО11СТРУК1(ПЯ ЕВКЛИДОВЛ ПРОС1'РЛ!1СТВЛ Принятие аксиомы Евклида о параллельности при последующем изложении приводит к определенным трудностям, вызванным тем, что, рассматривая метод проекций, составляющий основу цля изображения на плоскости геометрических фигур, расположенных в пространстве, мы обнаруживаем "неоднородность" евклидова пространства и погруженных в него геометрических фигур.

Действительно, пусть даны две прямые а и Ь, определяющие плоскость а (рис. 1). Возьмем в плоскости о произвольную точку Я (Я с, а з) Ь! . Через точку Я проведем произвольную прямую 1, которая пересечет прямую а в точке Л', а прямунз Ь в точке АЬ. Проведем через точку Я прямую 1,, пересекающую прямую а в точке Ви, а прямую Ь в точке ВЬ.

Лналогично, прямые 1с, 1,, проведенные через точку Я, пересекают прямые а и Ь соответственно в точках С' и Си, 0' и 0". Выполненные построения показывают, что мы каждый раз получаем две точки — одну на прямой и и одну, однозначно соответствующую ей точку, на прямой Ь. Так будет продолжаться до тех пор, пока в пучке л к! !1. !3 Ь !2 реконструкция евклидова пространства (5 ня . в а С~ В ! Рис. 2 1, прямых с центром в точке Ь' не появится прямая 1и параллельная прямой Ь.

Эта прямая пересекает прямую а в точке Ма. Ввиду параллельности прямых 1; и Ь они не будут пересекаться, следовательно, не будет и точки МЬ на прямой Ь, однозначно соответствующей точке Ма, т. е. выявленная ранее закономерность, состоящая в том, что каждой точке прямой а соответствует точка прямой Ь и наоборот, нарушастся с появлением паралт:.ельной прямой. Кроме точки М' появится еще одна точка Лть (йуь с- Ь), которая также будет отличаться от всех остальных точек прямой Ь (так как 1ь ~~а) . Рис. 1 показывает, что мы оказываемся перед фактом, что прямые а и Ь (из-за аксиомы о параллельности) не являются однородными: каждая из них содержит точку (Ма и Ь(Ь соответственно), отличную от всех других точек, объединенных в прямые а и Ь. Свойства евклидовой плоскости обнаруживают еще одно несоответствие, которое влечет за собой нарушение принципа взаимной непрерывности.

Действительно, если расстояние ос( между точками Аа и Вв прямой а — величина бесконечно малая (см. рис. 1), то и расстояние д, е( между соответствующими этим точкам точками АЬ и ВЬ прямой Ь будет также бесконечно малым. Приведенные рассуждения будут справедливы и для другой пары соответственных точек (например, С'Р' и СЬР ) . Но если мы возьмем на прямой а две бесконечно близкие точки Ко и Ьо, разделенные точкой Ма, то, как видно из чертежа, им будут соответствовать две бесконечно удаленные точки Кь и Ь прямой Ь. Если мы обратимся к трехмерному евклидову пространству, то в нем появится множество точек, принадлежащих прямым тл и л, по которым пересекаются плоскости о и (1 с плоскостями Ь и т, определяемыми пучками прямых, параллельных плоскостям о и р и принадлежащих точке 3 (рис.

2) . Становится очевидным, что евклидово пространство, свойства которого определяются, в частности, и аксиомой о параллельности, не может быть использовано для разработки метода центрального проецирования. Более того, мы оказываемся перед альтернативой: или принять на веру существование аксиомы о параллельности и, как следствие, признать неоднородность окружающего нас пространства, или считать, что пространство однородно, подвергнув сомнению существование аксиомы о параллельности.

16 Метой плот кчий Для того чтобы освободиться от указанных недостатков, необходимо трехмерное евклидово пространство подвергнуть реконструкции. Из рис. 1 видно, что для того чтобы точка Мо не отличалась от остальных точек (А', Во, С', По) прямой а, достаточно потребовать, чтобы параллельные прямые!, и Ь пересекались; при этом точку их пересечения М1т будем считать бесконечно удаленной — несобственной точкой (в отличие от точек евклидова пространства, которые считаются собственными) .

Таким образом, дополнение прямой несобственной точкой, в которой прямая пересекается с параллельной прямой, позволяет устранить недостаток, являющийся следствием аксиомы о параллельности. Теперь мы можем утверждать, что любая точка прямой а будет иметь соответствующую ей точку на прямой Ь. Эта точка может быть как собственной, так и несобственной, Наличие на прямой несобственной точки позволяет установить не только взаимно-однозначное соответствие между точками прямых а и Ь, но н ликвидирует и второе несоответствие, связанное с нарушением непрерывности в расположении точек, принадлежащих прямой. Точки КЬ и 1,Ь прямой Ь, соответствующие бесконечно близким точкам К' и Во прямой а, удалены в бесконечность, и расстояние между ними бесконечно большое.

В то же время расстояние между точками К'Мо и ВоМо прямой а бесконешю мало. Для того чтобы избежать разрыва прямой Ь, достаточно предположить, что расстояние между точками КЬМь и ВЬМЬ так же бесконечно мало, как и между двумя другими бесконечно близкими точками К~А". Это может произойти лишь в том случае, если прямая Ь будет замкнутой. Условная модель такой прямой показана на рис, 3. На плоскости можно провести бесчисленное множество прямых, каждая из которых имеет несобственную точку.

Что же представляет из себя множество этих точек плоскости? Так как каждая прямая плоскости имеет только одну несобственную точку, то она может пересекать множество этих несобственных точек только в одной точке, поэтому естественно считать множество несобственных точек плоскости несобственной прямой, Выясним также. что представляет собой множество несобственных точек пространства. Представим две параллельные плоскости ть и () (рис. 4). Проведем в каждой иэ них по одной прямой а и Ь так, чтобы а ~~ Ь. Эти прямые пересекутся в несобственной точке А . Проведем в плоскости ет прямую с, а в ~иоскости )) прямую е(, причем с 1 е(. Эти прямые пересекутся также в несобственной точке В-.

Несобственные точки А и В определяют несобс- твенную прямую! . Так как точки А - и М ь В принадлежат как плоскости ет, так и ь чз плоскости )), то несобственная прямая К также принадлежит этим плоскостям, Следовательно, в евклидовом пространстве, дополненном несобственными точками, две параллельные плоскости пере- Х ь секаются по бесконечно удаленной несобственной прямой. Ранее было установлено, что множество несобственных ~с' точек пространства пересекаются прямой ь в одной несобственной точке.

Теперь мы Г показали, что это же множество имеет с плоскостью одну общую несобственную прямую. гие ц ьтпельпсе проецароеепае (7 Рис. 4 Естественно считать множество несобственных точек пространства несобственной (бесконечио удаленной ) плоскостью*. Итак, для реконструкции евклидова пространства достаточно: дополнить множество точек прямой несобственной точкой, что приводит к дополнению евклидовой плоскости несобственной прямой, а трехмерное пространство — несобственной плоскостью. Дополненные несобственными элементами евклидовы плоскость и пространство называют соответственно проекгивной плоскостью и проективньил пространством. Отмеченные ранее в пп.

5, 6, 7 (см. ~ 1, с. 14) свойства евклидова пространства для проективиого пространства могут быть сформулированы иначе: и. 5 — две прямые, принадлежащие одной плоскости, всегда принадлежат одной и той же и только одной точке; п. 6 — две различные плоскости всегда принадлежат одной и той же и только одной прямой; п. 7 — плоскость и ие принадлежащая ей прямая всегда принадлежат одной и той же и только одной точке.

Во всех рассмотренных случаях точка и прямая могут быть как собственными, так и несобственными. б 3. ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ Сущность центрального проецирования заключается в следующем: пусть даны плоскость и, и точка Я (Я к и, рис. 5). Возьмем произвольную точку А (А о, и,, А ч Я). Через заданную точку Я и точку А проводим прямую (ЯА) и отмечаем точку А', в которой эта прямая пересекает плоскость и,.

Плоскость и, называют плоскостью проекции, точку Я вЂ” центром проекции**, полученную точку А' — центральной проекцией ~очки А иа плоскость л~, прямую (ЯА) — проецирующей прямой. Положения плоскости и, и центра Я определя1от аппарат центрального проецирования. Если ои задан, то всегда имеется возможность определить положение центральной проекции любой точки пространства иа плоскости проекции. Действительно, пусть дана произвольная точка В (см. рис.