Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (С.А. Фролов - Начертательная геометрия), страница 6

12 и 13): ( у'1) Л (1Ъ, |т ~ ): 1 1'. Действительно, возьмем на прямой 1 (рис. 12) ряд точек 1, 2, 3, ... , и и проведем через них проецирующие прямые а,, а,, а„..., а„, перпендикулярные плоскости е,. Каждая из этих прямых пересечет плоскость и, в точках 1', 2', 3',, и'. Множество всех прямых ~а,, а,, а,, ...

~, проходящих через нетождественные точки прямой 1 перпендикулярно к плоскости в,, образуют проецирующую плоскость о, которая пересекается с плоскостью с, по прямой, поэтому точки 1', 2', 3',, и' (ортогональные проекции точек 1, 2, 3, ..., и прямой 1) принадлежат одной прямой 1' — ортогонапьной проекции прямой 1. На рис. 13 показан случай, когда прямая 1 1 е, . Из чертежа видно, что все прямые ~а,, а,, а,, ..., ап ~. проецирующие точки 1, 2.

3, ..., и прямой 1, совпадают с этой прямои и пересекают плоскость с, в одной точке 1' з 2 = 3' —.=,.:= и' — горизонтальной проекции прямой 1'**. Из свойства 2 следует: 2 а. Если точка А принадлежит линии 1, то ортогоншгьная проекция точки А' принадлежит ортогональной проекции линии 1' (рис. 14): А Гг ! - А' Е !'. 2 б. Если линия 1 принадлежит поверхности о, то ортогональная проекция линии 1' принидлезкит ортогональной проекции поверхности п (рис. 1о). 1Са- 1 Со. * С позиции теории множеств зто свойство можно сфорМулИравать Иначе: "ее. ли множество М прииаплежит (является поцмиожеством) множеству тт', то ортагоиельиая проекция множества Ы' ие плоскость принадлежит ортогоиеяьиой проек.

ции 1«' иа зту же плоскость, ««Не рис. 13 горизонтальная проекция прямой 1 оГюзиечеиа Н1, так кек в этом случае! == Н! Рис. 12 Рис. 1З Инвариантныг свойства 23 ортогонального нрогнирования 1'ис. 15 Рис. 14 Рнс 16 Р с.11 2 в. Если точки А принадлежит поверхности а, то ортогональная проекция то ~ки А' находится на ортогональной проекции линии 1', принидлежи1цей ортогональной проекции поверхности а' (рис. 16): А е а А' ~ 1' С а'. В том случае, когда удовлетворяется условие принадлежности А" е 1" и А" е 1" с а" на другой плоскости проекции и, (и, Ъи, ), справедливы следующие у гверждения: А с= 1 (А' Е 1') Л(А" С 1" ); А ~ 1С а (А' Е 1' гг а') Л(А" е 1" С а"). Поставленные здесь знаки эквивалентности между левой и правой частями показывают, что справедливы и обратные утверждения: — если ортогональные проекции точки А(А' и А") принадлежат соответственно ортогональным проекциям линии 1(1' и 1"), то точка А принадлежиз линии 1; — если ортогональные проекции точки А (А' и А") принадлежат соответствующим ортогональным проекциям линии 1(! и ! ), которые, в свою очередь, принадлежат одноименным ортогональным проекциям поверхности а (а' и а"), то точка А принадлежит поверхности а (рис.

17) . 2 г. Ясли фигура Ф принадлежит плоскости а, перпендикулярной плоскости проекции и,, то ортогональная проекция зтой фигуры принадлежат линии пересечения плоскости а с плоскостью л, — горизонталь- 24 Метод проекций .-'«»;т а) Рис. 18 Ф номУ следУ Пьа плоскости а: (Ф С а)Л(а 1л,) Ф'С )»ьа. В справедливости этого утверждения легко убедиться, рассматривая рис. 18,а. Пусть а— плоскость, перпендикулярная плоскости проекции л, . Плоскость а можно рассматривать Рис.

19 как состоящую нз множества прямых )! а,, а,, а,, ..., ат«), перпендикулярных л,, каждая из которых пересекает плоскость л, в точке, принадлежащей прямой )»ьа. Допустим, что в плоскости а задана точка А (А н а). Очевидно, горизонтальная проекция может быть найдена как результат пересечения прямой а с плоскостью л, (а зА и а с а и а 1 л, ), но из свойства 1а (см. рис. 13) следует, что а. г» л, = А' ~ )теа.

Если в плоскости а будет задана какая-либо фигура Ф, то, проецируя точки В, С, 1), ... этой фигуры на плоскость л,, мы каждый раз будем получать горизонтальные проекции этих точек, принадлежащие следу )тьа плоскостна. Совокупность горизонтапьных проекций точек В, С, Р', ... укажет горизонтальную проекцию фигуры <!>, т. е. Ф С йьа. Из рис. 18,б видно, что отмеченное свойство сохраняется н в том случае, когда вместо плоскости будет взята произвольная горизонтально проецирующая поверхность. 2 д. Если фигура Ф принадлежит плоскости )), параллельной плоскости проекции л,, то ортогональная проекция этой фигуры ни плоскость л, конгруентна самой фигуре (рис.

19): (Ф с ))) Л(() )! л, ) Ф' = Ф. В справедливости этого свойства ортогонального проецирования легко убедиться путем следующих рассуждений: представим, что плоскость )) совпадает с плоскостью проекций л, (частный случай параллельности) . 1(е вызывает сомнений, что ортогональная проекция фигуры Ф' на плоскость л, ничем не будет отличаться от самой фигуры Ф. Коли плоскость )) будет перемещаться вдоль проецирующего луча л, оставаясь при этом параллельной своему первоначальному положению (плоскости л, ), то это не повлечет за собой изменения формы и размеров проецируемой фигуры.

2 е. Следует иметь н виду, что н том случае, когда проецируемой фигурой является прямой угол, для получения неискаженной ортогональной проекции этого угла достаточно, чтобы только одна из его Инвариантные твоа<ство 25 орюгонального нроечированив сторон была параллельна плоскости проекции (при условии, что другая сторона угла не перпендикулярна плоскости проекции) . Это свойство может быть записано: а (АВС=- 90')Л([ВС) 11 л,,(ВА)Ън, ) А'В'С' — 90', Если ВАВС прямой а сторона ВС зтг>го угла параллельна плен>кости проекции л,, а сторона ВА не перпендикулярни плоскости л,, то ортогональная проекция угла на плоскость н, — А В'С' =-.

90 В большинстве учебников по начертательной геометрии зто инвариантное свзйство ортогонального проецирования предлагается в виде теоремы о частном случае проецирования прямого угла. Ниже приводится одно из возможных доказательств этой теоремы, взятое нами из учебника В. О. Гордона и М. А. Семенцова-Огиевского. Положим, что сторона ВС прямого угла АВС (рис. 20) параллельна плоскости проекции н > . В этом случае прямая ВС параллельна В'С'. Пусть вторая сторона прямого угла, наклонная АВ, пересекает свою проекцию А'В' в точке К.

Проведем в плоскости проекции через точку К прямую КЕ параллельно В С . Прямая КЕ также параллельна ВС и! В КЕ получается прямым. Согласно теореме о трех перпендикулярах !.КВС также прямой. Следовательно, и й А'В'С' будет прямым. Отмеченные инвариантные свойства имеют чрезвычайно важное значение при рен>енин позиционных (свойства 2 а ... 2 г) и метрических (свойства 2 д и 2 с) задач. 2 ж.

Если точка К есть результат пересечения прямых а и Ь, то ортогональная проекция этой точки К определяется пересечением ортогональных проекций прямых а' и Ь' (рис. 21) . К этому свойству можно прийти путем следующих рассуждений. !(опустим нам даны две фигуры Ф, и фа. Обозначим фигуру, получающуюся в результате их пересечения, 4,. Тогда ф, = ф, О <!,, но ф, С Ф, и Ф> с Ф,, на основании аксиомы 2 можно записать: В ф', с ф', иф', с Ф>, т. е. Ф == ф, О Ф, ~ Ф', — ф', т> <1>'а.

Рис. зо и>к 26 Метод лроекьни А дс Рнс. 22 Рис. 24 Если н качестве фигуры Ф, будет задана прямая а, а вместо фигуры Ф, — трямая Ь (пересечение прямых а и Ь вЂ” точка К), то мы придем к заключению, которое требовалось доказать: К=ай Ь К' — -а'сз Ь'. В том случае, когда а ««Ь, точкой пересечения прямых а и Ь будет бесконечно удаленная (несобственная) точка К, которая при ортогональном проецировании на плоскость я, спроецируется также в несобственную точку К.; следовательно„а ~«Ь . Это свойство можно записать: (а ~~ Ь)Л(аЗ,л, ) а' Н Ь'. 2 з. Если прямые а и Ь параллельны между собой и не перпендикулярны плоскости проекции я,, то париллельны и их ортогональные проекции ни зту плоскость (рис, 22) .

Приведенный инвариант позволяет сформулировать еше два свойства, инвариантные относительно ортогонального проециро~зания. 2 и. Если отрезок «АВ[ паратлелен отрезку [СЩ, то отношение длин отрезков равно отношению длин их ортогональных проекций (рис. 23) ": «ЛВ««А В « «АВ) ~~ «СО[ ~сп« = «с.« 2 к. Если точка С принадлежит отрезку [АВ«, то отношение [АС«к [СВ«равно отношению их проекций. Или иначе, если точка С делит отрезок в данном отношении, то и проекция С' (или С") делит проекции отрезки в том же отношении (рис.

24): С Е [АВ«- «АС««Л С « «СВ««СВ « Справедливость двух последних утверждений ясна из рис. 23 и 24 и ие нуждается в доказательстве. ф 7. ЭПЮР МОНЖА В машиностроении для того чтобы иметь возможность по чертежу судить о форме и размерах изображаемых предметов (деталей, узлов, машин, агрегатов), при составлении чертежей, как правило, пользуются не двумя, а несколькими плоскостями проекций. Наиболее часто используются три плоскости проекции. В связи с тем, что начертательная геометрия призвана передавать результаты своих * Имеется в виду, что отрезки не перпендикулярны плоскости проекции.

ЭяюрМояии 27 теоретических исследований для практического использоваяия, ортогональное проецирование целесообразно рассматривать также в системе трех плоскостей проекций. Положение в пространстве точки, а следовательно, и любой геометрической фигуры может быть определено, если будет задана какая-либо координатная система отнесения. Наиболее удобной для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве и выявления ее формы по ортогональным проекциям является декартова система координата, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Рис.

25 дает наглядное представление о макете, состоящем из трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Условимся называть: плоскость л, — горизонтальной плоскостью проекции; плоскость т 2 -- фронтальной плоскостью проекции; плоскость л, — профильной плоскостью проекции. Линии пересечения плоскостей проекции образуют оси координат. Ось х называют осью ибсцисс, ось у — осью ординит и ось я — осью иппликит. Точка пересечения осей принимается за начало координат и обозначается буквой О (первая буква латинского слова Ог(яо — начало) . В Советском Союзе, как и в большинстве европейских стран (в отличие от США и некоторых стран Латинской Америки), принята правая система расположения плоскостей проекций. При этом положительными несзравленнями осей считают: для осн х — влево от начала координат, для оси у — в сторону зрителя от плоскости л,, для оси х †.