Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (С.А. Фролов - Начертательная геометрия), страница 5

5); проведя проецирующую прямую (ЯВ) и найдя точку ее встречи (пересечения) с плоскостью и,, определяем центральную проекцию В' точки ь По аналогии с плоскостью евклидова пространства, в котором плоскость можно рассматривать как множество точек (собственных), которые пересекаются пря. мой в одной (сэбственной) точке и плоскостью по одной (собственной) прямой. ** в некоторых учебниках встречается определение точки Я как полюса проекции или как вершины конической поверхности.

В этих случаях проекции называют соответственно полярными или коническими. (3 Метой проекций .,А» '. Аг с по о А к ~гС'„ г Во оА Рис. 5 В при данном аппарате проецирования (фиксированном положении л, иЯ). В том случае, когда точка С принадлежит плоскости, проходящей через центр проекции и параллельной плоскости л,, проецирующая прямая (ЯС) пересечет плоскость проекции в несобственной точке С' .

Таким образом, можно сделать вывод, что при зидинном иппирите проецирования каждая точки простринстви имеет только одну центральную проекцию. Это утверждение вьпекает из того, что через две различные точки можно провести только одну прямую. К сожалению, обратное утверждение — каждой центральной проекции точки однозначно соответствует точка, не имеет места. Иэ рис. б видно, что точка А' может быть центральной проекцией любой точки А,, А,, А,, ..., А„, принадлежащей прямой (А'Я). Поэтому одни центрильная проекция точки не диет возможности судить о положении силгой точки в простринстве. Для определения положения точки необходимо иметь две ее центральные проекции, полученные из двух различных центров.

Имея две центральные проекции точки А', и А',, полученные из центров Я, и Я, (рис. 6), можно определить положение точки А в пространстве. Для этого достаточно провести прямые (А', Я, ) и (А',Я, ) и отметить точку их пересечения. На рис. 6 показано также определение положения точки В по заданным проекциям В', и В', . з 4. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ ) Рассмотрим частный случай центрального проецирования, когда цейтр проекции помещен в несобственной точке Я ". В этом случае проекцией точки А на плоскость л, будет точка А', в которой проецирующая прямая (Я„А) пересекает плоскость проекции л, (рис.

7) . Для нахождения проекции точки В следует провести прямую (Я В))) (Я„А) и определить точку ее пересечения с плоскостью л,. Очевидно, что при таком положении центра проекции и все остальные проецирующие прямые будут также параллельны (Я А) Множество всех прямых пространства, имеющих несобственную точку, образуют связ- е На чертеже несобственная точка указывается направлением е. Ортогональное проецирование Р9 е 'Аг ег.оВ ОА 5~ Ао ге ) р .а Рис 7 ку, центр которой — несобственная точка, совпадающая с центром проекции. В связи с параллельностью проецирующих прямых рассматриваемый способ проецирования называется пираллельным, а полученные с его помошью проекции — параллельными проекциями. Аппарат параллельного проецирования полностью определяется положением плоскости проекции р, и направлением проецирования а, Отмеченное раньше свойство центрального проецирования сохраняется и в данном случае.

Применительно к параллельному проецированию оно может быль сформулировано: киждия точка пространстви, при эидинном иппарите проецировиния, будет иметь только одну параллельную проекцию. Обратное утверждение, как и в случае центрального проецирования. не имеет места. Действительно, точка А' (см. рис.

7) может быть параллельной проекцией любой точки А,, А„А„..., А„, принадлежащей прямой (А'3 ),поэтому одна параллельная проекция точки не позволяет судить о положении самой точки в пространстве. Для определения положения тонки в пространстве необходимо иметь две ее параллельные проекции, полученные при двух ризличных напривлениях проецирования.

В этом случае положение точки А определяется пересечением прямых, проведенных через А', и А', параллельно соответствующим направлениям е, ил, (рис. 8). На рис. 8 показано также нахождение положения в пространстве точки В по известным ее параллельным проекциям В; и В', . ч 5. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования е перпендикулярно плоскости проекции, называется прямоугольным или ортогональным (от слова отйовоп(ов— прямоугольный) проецированием, Ортогональное проецирование находит широкое применение в инженерной практике для изображения геометрических фигур на плоскости.

Рис. 9 дает наглядное представление об ортогональном проецировании точки. 20 Ьтетаа щюекч й Раньше отмечалось, что для Рис. 10 решения ооратной задачи — определения положения точки в пространстве по ее параллельным проекциям — необходимо иметь две параллельные проекции, полученные при двух направлениях проецирования. Так как через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную к плоскости, то, очевидно, в отличие от центрального и параллельного (косоугольного) проецирования (см. рис.

б и 7) при ортогональном проецировании для получения двух проекций одной точки необходимо иметь две не параллельные плоскости проекции. Выделим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости е, и е,. Спроецируем ортогонально точки (К, ...~ пространства на плоскость е,, получим множество проекций точек (К', ... ), образующих поле проекций точек (Х, ...), которое условимся называть горизонтальной плоскостью проекции. При ортогональном проецировании множества точек пространства (К, ...) на плоскость л, получим множество проекций точек(К", ...

'), образующих поле проекций точек (К, ...~, которое будем называть фронтальной плоскостью проекций. На рис. 10 показаны точки пространства А и В и их ортогональные проекции А', А" и В', В". Здесь, как и в ранее рассмотренных случаях центрального проецирования (см. рис. 5) и параллельного проецирования (см. рис. 7), одной точке пространства соответствуют две точки— ее проекции.

Кали положение плоскостей е, и е, фиксировано, то каждой точке пространства будет соответствовать упорядоченная пара точек на полях проекций. Справедливым оказывается и обратное утверждение — упорядоченной паре точек попей проекций соответствует единственная точка пространства. Отмеченное свойство является фундаментальным — составляющим основу построения проекционного чертежа. 'Ортогональное проецирование обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным (косоугольным) проецированием.

К ним в первую очередь следует отнести: а) простоту графических построений для определения ортогональных проекций точек; б) возможность при определенных условиях сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. 1 Отмеченные преимушества обеспечили широкое применение ортогонального проецирования в технике, в частности, для составления машиностроительных чертежей. з 6. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ Инвврнвнтные свойства 2! ортогонального нроеннроввннн Геометрические фигуры проецируются на плоскость проекции в общем случае с искажением.

При этом характер искажений зависит от аппарата проецирования и положения проецируемой фигуры по отношению к плоскости проекции. В частности, при ортогональном проецировании, если проецируемая фигура занимает произвольное положение по отношению к плоскости проекции, ее проекция не сохраняет метрических харе.ктеристик оригинала — происходит искажение линейных и угловых величин. Действительно, 'при ортогональном проецировании трапеции АВСВ на плоскость и,, не параллельную плоскости трапеции (рис.

11), длины ее сторон, величины углов при вершинах, плошадь и другие метрические характеристики оригинала на проекции А'В'С'В' не сохраняютсяЛ Наряду с этим между фигурой-оригиналом и ее ортогональной проекцией на плоскость существует определенная связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства проецируемой фигуры Ф сохраняются и на ее проекции Ф'. Из рис. 11 видно, что точки А, В, С,  — вершины проецируемой трапеции (фигура Ф) проецируются в точки А', В', С', 2)' — вершины трапеции-проекции (фигура Ф'); отрезки [АВ], [ВС], [СО], [ПА ) стороны трапеции проецируются в отрезки [А'В'], [В'С'], [СВ'), [В'А ]— стороны трапеции-проекции. Параллельным основаниям [АВ] [~ [РС] проецируемой трапеции соответствуют также параллельные основания.

[А'В') ~! [1т'С'] трапеции- проекции. Свойства геометрических фигур, которые не изменяются в процессе проецирования, называются независимыми или инвариантными относительно выбранного способа проецирования.] Основу любой геометрии составляет сйстема аксиом. Любое геометрическое определение и предложение (теорема), равно как и доказательства теорем, базируются на принятой системе аксиом. ] При ортогональном проецировании — получении проекций геометрической фигуры по ее оригиналу или прн решении обратной задачи— определении формы и размеров оригинала по его ортогональным проекциям базируются на инвариантных свойствах ортогонального проецирования: ] 1.

Ортогональная проекция точки есть точка: А~А' 22 Метод проекций 2. Если фигура Ф, принадлежит фигуре Ф, то ортогональная проекция фигурьп Ф', принадлежит ортогональной проекции фигуры Ф'*: Ф, сф- Ф', сф'. Из свойства 1 получаем: 1 а. Ортогонильная проекция прямои на плоскость есть прямая, в частном случае, когда прямая перпендикулярна плоскости проекции, — точка (рис.