Фролов С.А. Начертательная геометрия 1983 (С.А. Фролов - Начертательная геометрия), страница 8

ПРИМЕР. Ланы координаты точек А (-20, — 20, + 15) н В (+ 15, + 5, 10) . Требуется найти положение проекций этих точек н определять„в каких актантах онн находятся (рнс. 20) . Лля определення положення гори. топтальной проекцнн А точки А откладываем от начала координат на атрида тельном направлении осн х (от точки О вправо) значенне х = -20 мм н опреде.

ляем точку Ах, а на отрнцательном направленнн осн у откладываем значение у = — 20 (для плоскости т> отрицательное направленне осн у совпадает с положнтельным направлением осн «) н оп. ределяем положенне точки Ау. Пересечение перпендикуляров, восставленных нз точек Ах н Ау к соответствующим осям л н у, укажет положенне горнзонтальной проекции А' точки А. Мы знаем, что фронтальная А" н горнзонтальная А' проекцнн точкн прннадлежат одному перпенлнкуляру к осн х (см.

и. 2, с. 22) н то, что фронтальная щюекцня удалена от осн х на величину апплнкаты з (в данном слу. чае з =- > 15). Поэтому для определення положения А' откладываем от точки А„на перпенднкуляре к осн х значенне апш>нкаты с = е 15. Приведенная в 5 7 табл. 1 знаков координат точек, расположенных в разных актантах, позволяет легко определять, какому октанту принадлежит точка, еслн нзвестны хотя бы две ее проекции. Точка А находятся в у1 октанте пространства, так как она располагается за фронтальной плоскостью проекцкн (в зоне отрнцательных значений ордннаты у) выше горнэонтальной (апплнката « — положнтельна) н правее профильной плоскости проекцнн (абсцисса х — отрнцательна), т.

е. в части пространства, ограннченной верхней правой полой плоскости хэ, задней правой полой плоскостн х, н задней верхней попой профильной плоскосгн проекцнн л> Чтобы найти профильную проекцию точки, достаточно нз А" провестн пря- а) от плоскости проекции т, на такую же величину, на какую горизонтальная проекция згой точки А' удалена ог оси у (или же фронтальная проекция А" от оси «); б) ог плоскости проекции л, на такую же величину, на какую горизонтальная проекция згой гочки А' удалена ог оси х (или ее профильная проекция А'" от оси «); в) от плоскости проекции х, на такую же величину, на какую ее фронтальная проекция А" удалена от оси х (или ее профильная проекция А'" удалена от оси у) .

2 Два проекции любой гочки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи): а) горизонтальная и фронтальная — перпендикуляру коси х; б) горизонтальная и профильная — перпендикуляру коси у; в) фронтальная и профильная — перпендикуляру к оси «. 3. Для ортогонального проецирования отмеченное ранее свойство (см. с.

19) может быть сформулировано: положение гочки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогонильных проекций. Как следствие из этого — по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда можно построить недостающую ее третью ортогональнук> проекцию. Действительно, сочетание любых двух ортогональных проекций точки всегда дает нам значения всех трех ее координат. Пользуясь табл. 1, помещенной в 2 7, и зная положительное и отрицательное направление осей, а также принимая во внимание свойства проекций точки (пп.

1, 2, 3), можно указать на эпюре проекции точки, если известны ее координаты, или определить, в каком октанте расположена точка и на какие расстояния она удалена от плоскостей проекций, если заданы хотя бы две ее ортогональные проекции. Неопределленые понятия геометрии; ортогоиельпые проекции 33 точки, прямой, япоскости Р =Р" В„ х в о- —--- ВеО.--- -, В А" У Б" У Рис 31 Рис.

30 Точка В расположена н ('чт октанте, в котором координаты к и у — положительны, а координата г — отрицательна. На рис. 30 указано также положение профильной В"' проекции этой точки. мую, перпендикулнрно к оси г, и отложить на ней ат этой осн влево (по отрицательному направлению оси у, принадлежащей трофильной плоскости проекции) значение у = — 20 мм. На рис. 31 показаны горизонтальные и фронтальные проекции точек А, В, С, Р, Е, Г. Зная положительные и отрицательные направления осей, можно без труда определить октант, которому принадлежит точка; так, точка А находится в третьем октанте пространства, а точка В, симметричная точке А относительно плоскости л,, принадлежит седьмому октанту. Точка С находится в восьмом октанте, так как значения абсциссы х и аппликаты г — отрицательны, а значение ординаты у — положительно.

На рис. 31 показаны проекции Р' и Р" точки Р. Для этой точки характерно равенство аппликаты г и ординаты у, поэтому точка Р удалена на одинаковое расстояние от плоскостей л, и л,()Р Рх~ = )Р Р )), т. е. она принадлежит биссекторной плоскости шестого и восьмого октантов. На рис. 31 указаны также проекции точек Е и Г. Точка Е принадлежит фронтальной плоскости проекции л, (ордината у(.)е = 0), а точка Š— горизонтальной плоскости проекции л, (г( )е = О) .

В тех случаях, когда нет необходимости в определении положения точки (нли любой геометрической фигуры) относительно системы плоскостей проекций, можно Не указывать на эпюре осей проекций. Иными словами, для безосного чертежа плоскости проекции принимаются неопределенными до параллельного переноса (т. е, могут перемещаться параллельно самим себе):, В инженерной практике при составлении чертежей, когда требуется определить форму и размеры геометрической фигуры или взаимное расположение совокупности геометрических фигур, обычно оси проекций не указывают. Отсутствие на чертеже осей не мешает определять третью проекцию любой точки по двум ее заданным проекциям, если указаны три проекции какой-либо другой точки. водим прямую, параллельную линии связи (А А '], и отмечаем точку нх перлсечения А1.

Через точку А1 прово. дим постоянную прямую Ь. Прямая Ь птэюводится как биссектриса угла А А1А '. Зная положение постоянной прямой, легко найти недостающую профильную ПРИМЕР. Даны три проекции точки А (А', А", А"'), а также горизонтальная и фронтальная проекции точки В (В и В") Требуегси найти профильную проекцию В" (рте.

32). Через горизонталь. ную проекцик точки А проводим прямую, параллельную линии связи (А 'А' '), а через профильную проекцию А' ' про- 34 Метод яроекьий Ач' с, Вгч 9 в" '.,в, в' А, 'й ,', А, Рис. 33 Рис. 32 проекцию точки В. Для этого через В проводим горизонтальную прямую, отмечаем точку В, ее пересечения с постоянной прямой Ь. Через точку В, прово- дим вертикальную прямую. Точка ее пе- ресечения с горизонтальной прямой, про- веденной через В', определяет искомую профильную проекцюо В"'.

Постоянная прямая позволяет решать задачу по определению третьей проекции точки по двум заданным независимо от того, в каком октанте находится точка. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ При построении проекции прямой следует исходить из инвариантного свойства 1а (см. 3 6) ортогонального проецирования: (ч" !)Л(!1 я, ): ! - !'. При, ортогональном проецировании на плоскость прямая, не перпендикулярная плоскости проекции, проепируется в прямую. Поэтому для определения проекции прямой достаточно знать проекции двух не тождественных точек, принадлежащих этой прямой. [АВ], определяющий прямую ! (рис. 34,а), занимает произвольное (общее) положение по отношению к плоскостям проекций (углы нак- * Естественно, будут справедлины и следуюшне утверледения: 1) (Ж)Л(!Ъгг):! !"; 2) (ггГ!)Л((1тг):1-'!"' ПРИМЕР.

Даны три проекции точки А(А', А", А"'), а также горизонтальная и фронтальная проекции точки С(С' и С"), расположенной в Ч! октанте (рис. 33), Требуется определить С"'. Через данную проекцию А' проводим горизонтальную прямую и отмечаем точ. ку А, пересечения ее с вертикальной прямой, проведенной через А . Через точку А1 проводим постоянную прямую ь. Для определения третьей проекции точки С достаточно через точку С провести горизонтальную прямую, а из точки Сг пересечения ее с постоянной пря- мой )г — вертикальную прямую. Точка пересечения этой вертикали с горизонтальной прямой, проведенной через С, укажет положение искомой проекции С"'.

Если на беэосном чертеже потребуется указать оси, то это всегда можно сделать (с точностью до параллельного переноса) . Для этого одну из осей, например .т, проводим произвольно, следя лишь эа тем, чтобы она была перпендикулярна линии связи, соединяюшей горизонтальную и фронтальную проекции точки.

Тогда ось е определится как прямая, перпендикулнрная к оси к в точке пересечения оси к с постоянной прямой й. Неояределяемые иоиятия геометрии; ортогоиояьиые ироекиии 35 точки, прямой, плоскости Дч Р, =Е," а1 б) Ц=н~ а1 Рис. 34 б) а) Рис. 35 лона прямой 1 к плоскостям проекций — произвольные, но отличные от О и 90' ) . Такая прямая называется прямой общего лолоясения. На эпюре проекции прямой общего положения составляют с осями проекций также произвольные углы (рис.

34,6). Прямую на эпюре можно задать не только проекциями ее отрезка (см. рис. 34,6), но и проекциями некоторой произвольной части прямой, не указывая концевьнх точек этой части. При этом можно ограничиться обозначением проекции только одной буквой, отнеся ее к какой-либо точке прямой (рис. 35,а) или к прямой (точнее ее проекции) в целом (рис. 35,6) . Следы прямой Прямая общего положения пересекает все основные плоскости проекции.

Точку пересечения (встречи) прямой с плоскостью проекции называют следом прямой. В зависимости от того, с какой плоскостью проекции происходит встреча прямой 1, следы обозначают и называют: Н) — горизонтальный след прямо,з 1; Р'~ — фронтальный след прямой (. Нь Н), Гь г') — соответственно горизонтальная и фронтальная проекции следов Н) и г). Следует иметь в виду, что Н) — = Н), .г) — = г 1".