1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (Олвер 1990 - Асимптотика и специальные функции), страница 7

4.7. Поиззатгь что результат упражненяя 4.6 останется спразелтнеым, если оба члена 0(е") заменить на 0(зг'), где р — действительная постояннан. Показать аатем, что соотноспенпе 1'(з) =- 0(»е ') неверно, иа примере функции з г е'*. 5 5. Асимптотическое решение трансцендентных ураниеиийт действительные переменные 5.1. Рассмотрим уравнение х + 111 х = и, в котором и — действителыгый параметр. Левая часть уравнения является строго возрастагогцей функцией х. Следовательно, для каждого значения и супгествует точно один действительный корень х(и) (в этом легко убедиться графически).

Каково асимптотическое поведение х(и) при больших положительных значениях ггз Если т велико, поведение левой части определяется первым членом. Поэтому мы переносим 111 х в правую часть и рассматриваем его как «поправку»: х = и — 'ь!гх. Так как ) 1)г х) ( 1, то отсюда следует, что х(и) и (и-».со)'„ (5.01) Это — первое асимптотическое приближение для корня. Результат немедленно улучшается, если вспомнить, что 111х = 1+ о(1) 1ГЛ. 1 вввдвннв в асиьтптотичискин мвтоды при х-ь ао; таким образом, (5.02)' х = и — 1+ о(1) (и-+.оо).

т1тобы получить следующие приближения, мы разложим бйх в ряд, удобный при больших х, а именно: 01 х = 1 — 2е '"+ 2е '* — 2е '"+ (х "» О)' и снова выразим х через и. Из (5.02) видно, что е м = 0(е-т')'). Отсюда с помощью теоремы 3.1 получаем х = и — 1+ 0(е "") = и — 1+ 0(е т'). Следующий шаг дает х = и — 1+ 2ехр( — 2и. + 2+ 0(е т"))+ 0(е 4') = = и — 1+2 '"+в+0(е '"), (5.03) Продолжение этого процесса дает последовательность приближений с опсибками, асимптотнческпй порядок которых постоянно убывает. Сходимость этой последовательности при неограниченном возрастании числа шагов на основе проведенных рассуждений увидеть трудно, но численные возможности этого процесса можно оценитгч взяв, например, и = 5 и не учитывая ошибку 0(е ') в (5.03).

Мы найдем, что х = 4,0006709, ..., в то время как точное значение, полученное ставдартвымп численными методамит), равно 4,0006698... 5.2. Второй пример, характеризующий тот же самый подход, касается отыскания больших положительных корней уравнения х(ях = 1. Зто уравнение можно обратить следующим образом: 1 х = пл + агс! я —, где и — целое число, а арктангенс принимает главное значение. Так как в этом случае оп изменяется в интервале ( — п~2, и/2), мы находим, что х — ип прп н-ь со.

Далее, если х ) 1, то 1 1, 1 1 агс(а — =- — — —.. +,— — =, + Эгс бс ') Следует отметить, что ето соотношение нельзя вывести прямо ив (5.01). т) Оценка остатка дан (5.05) указана ниже в упр. 5.5. ЛСНМПТОТИЧССКОЕ РЕШЕНИЕ УРЛВНЕННН Следовательно, х = ни+ 0(1/х) = ни+0(и '). Следующио дво подстановки да»от — + — +0(~ —.,), = + — — — „+0~~,), (н«/ дн З (вн)3 ! »Б )» и так долее. 5.3. В качестве третьего примера рассмотрим уравнение х' — !пх = и, (5.01) в котором и — снова большая положительный параметр.

Этот пример отличается от предыдущих теп, что «поправка» )ох не ограничена прп х — »-оо. Чтобы разобраться с уравнением (5.04) и с апа:шгпчными уравненпямн, мы установим следующий простой общий результат. Теорема 5.1. Пусть уэуээкуия ~(а) неирерывна, строго возрастает в интервале а ( с оо и 1(ь) — в (". ~~~~). (5.05) Обозначим через с(и) корень уравнения Я)= — и, (5.06) яелсаээ!пэ!' в интервале (а, оэ), когда и ) )'(а), Тогда 'в(и) — и (и -».оэ).

(5.07) Графическое рассмотрение показывает, что корень,",(и) единствен, возрастает и неограничен прн и- оо. Из (5.05) и (5.0о) имеем и = (! + о(1)),- при и — э-оо, и поэтому также н п!эээ сс — ». — »- со, Деление на 1 + о(1) лает тогда соотношение = — (1 + о (1) ) и, эквивалентное (507) . 5.4. Вернемся к примеру (5.04), В нем с = хг и /("-) = =-$ — (!и ьь)ээ2. Поэтому функция )(Д строго возрастает при ь ) 1/2, и из тсоремы следует, что в и при и — » оо; таяимобразом, х = и"(! + о(1)) (и-».со) Подставляя зто приближение в правую часть уравеенпя хг = и+1пх, (5.08) н вспоминая, что!п(1+ о(1)) = о(1), мы поэгучаем х = и+ —,)п и+ 0(1)) откуда (теорема 3.1) х — -- и" г ( 1 + — + о Я. вввдкник в асимптотичкскнк мктоды ггл ! Кан и в 22 5.! и 5.2, подстановки можно продолжить неограниченно и получить для рггпения асимптотическое разложение любого порядка.

УПРАЖПЕН!!Я 5.1, Доказатть что когень Ууавкениа * !их =- и, зе,ьа:пий в иьчсгва:ю (О. л)2), имеет внд = — (! — и !+и з) — ( — — —,ги +0(и !) (и — г.сю). ! 2 2!! 5.2. Показать, что больщне погюжятельвые норни уравнения !ах = х даютсн асииптотической формулой 2 х=! — р ' — л р а+0(р ') (р- ), 6 где д = (и + г/г)л, а л — положительное целое число. 5.3. Показать, что в примере из 4 5.1 прн и ~ О справедливо соотношение х — и ! ! 2(ге — 2 ег и, следовательно, = и — 1 + 2е-г" гг — !Обге-" ее где О,и Ог — некоторые числа пз пптервала (О, 1). бй Пусть )!(х)сггз О(е) = сов х -г- е(1) н М(х) е!и О(х) = гбпх+ о(1) при х ее где функция 61(х) положнгельяа, а О(х) — действительна и непрерывна.,г(оказать, что ЗХ(х) = 1+ о(1), О(х) = х+2юл+о(1), где ги — целое число.

5.6. Доказать, что прп больным волологтсльнои и дспствительные корни ураиневня хе"" = е" имеют внд 1 !пи ()пи]з Йпи! х= — — —,+ — +0 и из ие ( из х.— е" — 1 — — е "+0(е Л"). 2 5.6. (Оценка остаточного члена для теоремы 5.1.) Пусть 5 — положительная перемепяая и !(6) — строго возрастающая непрерывная функция, удовлегворягощая условию !!($) — $( ( 42 где й и р — поггогггнтсльные постоннные. Показатьь что если и ) О и если могнно найти такое положительное число 6 гп (О, 1), для ноторого 6(1 — 6) г> =ь лиг а — ', то положительный корень уравнения !(5) = и лежит в внтервале (и — иб, и + иб). Вывести отсюда, что если 1 — произвольное число, превосходящее й, то корень удовлетворяет неравенству )5 — и( < й)хЦ1 — й)и) — г при условии и ) 1(1 — й) ее!не'г. асимптотическое Решение уРлзненин 27 й.7.

Повалять, что прп больших и положительный корень уравнения х )и х = и Лается форяулой х (и) и !и и Показать также, что прп и ) е — < ()< (+ — ~— !пи ! е/!пи 6. Асимптотическое решение трансцендентпыг уравненнйг комплексные переменные 6.1.

Предположим тепорь, что 7(2) — аналитическая функция комплексной переменной 2, голоморфная в оозастн, содержащей замкнутый сектор 3 с верпшной в начале координат и углом, меньшим 2н. Допустим, что е( ) 2 (2 — ьпо В 5). (6.01) Тогда соотношение (6.02) и = 1(2) отображает Ь на некоторую яеограняченную область П. Существенная трудность при установлении результата, аналогичного теореме 5.1, состоят в том, что нужно наложить на 2 н и такие условна, чтобы этн переменные были связаны взаимно однозначно.

Теорема 6.1. Пусть Ь! и 52 — замкнутые секторы с вершиналт в начале координат, причвл! Б! лежит строго внутри заданного сектора л, а ог лежит строго внутри $!. 1) Если граничные дуги секторов 8! и Яг имеют достаточно болыиой радиус, то уравнение (6.02) ил!ест точно один корень 2(и) в Я! при любом не=Я!. 2) г(и) и при и-+.оо на Яь Для доказательства положим 7(г) = + ь(г).

Из '(6.01) и теоремы Рнтта (ч 46) следует. что "„'(2) =о(1) при г — со в Я!. Пусть г, и гг — две любые различные точки сектора $!, причем )2!) ( )22(, Тогда ! (22) — ! (2!) = (1 + 6) ( г — 2!) е (6.03) где б=й(гз) — 2( )) (г — ). 6.2. Первый шаг состоит в доказательстве того, что если радиус а! граничной дуги лектора Ь! достаточно велик, то (й) «1 для всех г! и гг пз 3!.

Очевидно, Ввкдкнне В Асимптотнчвские метОды !Гл. г где б — максимальное значение (обязательно конечное) функции ) З'(з) ~ в Ьь а 1(зь зз) — длина пути интегрирования. Рнс. 6.1 показывает, что в некоторых случаях мы не можем интегрировать вдоль прямолинейного отрезка, соедиия~ощего точки з| и зн оставаясь прн этом внутри 60 на рисунке 81 = агдз1 и Оз == агдгз. Однако мы всегда можем взять в качестве пути интегрирования дугу окружности %' с центром в з = 0 и прохои. дящую от з1 до за ==) з, )е' " вместе с отрезком г, соединявшим зз и зз. Так как угол з~заО во всех случаях меныпе, чем и/2, обе вели ~ииы (зз — з|( и (за — зз( ограничены величиной )зз — з|!.

Обозначая угол сектора $~ через о, имеем 1 (г,, г,] Длина г Лаана $' )Е, — О, ~ гы ~ —.е — —.е а где /г =-. 1+ (а/2)созес о/2, причем значение /г конечно, поскольку о '=. 2ч. Таким образом, (д) ~ йб. Прн щ- со мы имеем б- О. Следовательно, ~ б ~ ( 1 при достаточно больших щ, что и требова:ньсь доказать. 6.3.