1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (Олвер 1990 - Асимптотика и специальные функции), страница 10

В силу существования мажорпрующего сходящегося ряда ряд из аналитическпх функцпй (9.05) равномеряо сходится в любом компактном ') множестве в л. Следовательно, функция 1(г) голоморфнав 8. Докаягеи, что )(г) пмеет задапяое аспмптотпческое разложение. 11усть п — произвольное положительное целое число. Тогда и — 1 и 1 а и а, ) »РЬ»1 ччае,(г) Вследствие неравенства (9.06) бесконечная сумма имеет порядок 0(г' "). Экспоненцпальные множители в конечной сумме в правой части равенства имеют меньший аспмптотпческпй порядок, и поэтому и — 1 1 (г) — —" =- О Я (г -э- оо в 8). чч» а 㻠— —.о Заменяя и на п+)р) +1, мы видим, что член с спьтволом О можно усилить до 0(1)г").

Это и есть искомый результат. УПРАгКНЕННН 9И. Пусть (а,) — пропзвольквя последовательность действительных илк комплексных чисел, в (и,) — произвольная последовательность положительных числе, таких. что ряд Хп, сходится. Определим последовательность (Ь,) условням11 Ь» = ае, Ь| = а, к Ь, = а. — с* (г «» 2), где с, — коэффициент перед г ' в рвзлон»енпи рацнонвльвой функции е — 1 Ьтпт )Ь„.)+а г 㻠— 1 по убывающим степеням г Показать, что в секторе )вгйг) < п12, )г) и 1, функция 1(г) = Ье+ г Ь,п ль1 ) Ь ) + п»г» — 1 голоморфна и »(г) а + аг + ае + (г г ') Компактное означает ограниченное и замкнутое, Ввндвник В Асиьгптотичкские мктоды ~гл с $10.

Обобщения определения Пуанкаре 10.1. Определение аснмптотпческого разложения, данное в з 7.1, можно обобщить в нескольких направлениях. Прел де всего, совсем не обязательно ограничиваться рассмотрением бесконечно удаленной точки. Аналогичные определения можно сформулировать и в случае, когда переменная г стремится к любой конечной точке с, если заменить г на (г — с) '. Птзк, пусть К вЂ” заданная область, имеющая предельную точку с (не обязательно принадлежащую К).

Предположим, что для любого фиксированного и 1(г) =а,+а,(г — с)+аг(г — с)г+ ... + а„~(г — с)" '+0((г — е)") при г -+- оо в,К. Тогда мы будеаг писать у(г) а«+а~(г — с)+а'(г — с) +... (г- с в П). (10.01)' Результаты $$ 7 и 8 переносятся на новью опредоления с очевидными видоизменениями. Точка с называется еьоделенной точкой асимптотического разложения (ср. $ 3.1). Рассматривая прежде всего случай с=со, мы следовали историческому прецеденту, а также исходили из того, что бесконечность является естественной выделенной точкой во многих физических пряложенпях.

10.2. Следующее обобщение приводит к рядам, отличным от степенных. Пусть К вЂ” снова заданное множество точек, имеющео с в качестве конечной или бесконечной предельной точки. Предположим, что (~р,(г)), г = О, 1, ...,— последоватольпогть функций, определенных в К и таких, что для калодого г ~р,ш(г) = о(гр,,(г)) (г — с в К). (1002)' В атом случае говорят, что (~р,(г)) является асимптотической послвдовательностюо или шкалой, и утверждение ~ (г),)' а,(р, (г) (г -~. с в К) (10.03) э=о означает,что для каждого неотрицательного целого числа и «-1 у (г) ,й, ад, (г) + О (гр„ (г)) (г - с в К).

з=о Многие из свойств обычных разложений Пуанкаре справедливы и для разложений типа (10.03). Исключения составляют умножение и деление: бесконечное множество функций ~р„(г)~,(г) с двумя индексами не всегда можно упорядочить так, чтобы оно образовало шкалу ') . ') условия, ари которых умножение возможно, были получены Эрдвая [1962, 1 1.5). ОБОБЩЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАНКАРЕ з ~з1 10.3. Только что сформулированное определение все еще является недостаточно общим во мпогпх отношениях. Например, ряд соз х соз дх саз Зх — + — + —.

+ гг хг равномерно сходится, когда хе=(а, со), если а)1, н главные члены опредсля1от поведение его суммы прп х- оо. Такой ряд выпадает из рассмотрения, поскольку отношенее двух любых последовательных членов неограничено прв х-~- со. Ряды этого типа охватываются следу1ощпм определением. Пусть (ср,(г)) — шкала при г-~ с в й, а ((г), ),(г), г = О, 1, ...— такие функции, что для каждого неотрицательного числа и )(г) =- ~, т'„(г)+0(<рн(г)) (г- с в й). (10.04) о В этом случае мы будем говорить, что т ),( ) — обобщенное асимптотическое разложение относительно шкалы (<р„(г)), и писать ) (г) ~ ),(г); (<р, (г)) при г — с в й . г=е Если т'(г), т',(г) и (возможно) гр,(г) — функции, зависящие от параметра (или от совокупностипараметров) и,ачленыссимволамв о и О з (10,02) и (10.04) разноморны относительно и в некотором множестве точек Н, то говорят, что обобщенное разложение справедливо разномерно относительно и в ().

Требуется соблюдать большую осторожность при выкладках с обобщенными асимптотическвмп рааложениями, поскольку на них переносятся только некоторые из свойств разложений Пуанкаре. Например, для данной области й, выделенной точки с и шкалы (гр.(г)) функция 1(г) может или не иметьниодногообобщенного разложения или иметь бесконечное множество таких рааложении: нам достаточно лишь преобразовать любое из разложений, добавив к некоторым членам разложения произвольные кратные следующих членов. Вследствие этого не существует никакого аналога формулы (7.04) для вычисления членов разложения.

Далее, нельзя сделать вывод об эффективности рааложения только по виду шкаяы. Предположим, например, что ~ (х),~' — '; (х-') при х -~ со. (10.05) (Другими словами, имеется обычное рааложение Пуанкаре.) 1ГЛ. 1 Введение В Асггмнтотические мгтоды Простая перегруппировка членов дает »М- х ~.' »- ~"..'„~(: Ь-гл» *- . (~».»») »=а те Нельзя, очевидно, утверждать, что разложение (10.00) более сильное, чем (10.05), хотя его шкала и убывает как квадрат шкальг для первого из разложений. Наконец, определение допускает разложения, не пмшощие практического значения н аналитическом или численном смысле, если иметь в виду функции, которые онн представляют. Например, 1»+Па — (()пх) — ») при х- оо.

(10.07) ()в х)' УПРЛЖ1(ЕППЯ 10!. Пусть 5 и Е» обозначангг гекторы»» < згя» < р и и + б < агб» « » «р — б соответственно. Пока;жтга что если функция Н») голомофна е пересечении б с окрестностью точки» = О н )(») а» + а,»+ а»»+ „,. при» вЂ” ~-О в 5» для б такого, что О < б < (р — а))2, то П"'(») — ~ и) а при» вЂ” ~- 0 в 5». 10.2. Используя теорему Тейлора, до»:азата следующее обращение утвержденяя пз упражнения 10Л.

Предположим, что фуякггнл ((») голоморфна в 3 пря всех достаточно малых (»! и длн кая»лого а предел Пш(П"'(»)) существуег равномерно относительно агб» нрн» вЂ” »- О в 8». Обозначив этот предал через и'.а , доказать,что 1(») ао + а м + а»»» + .. (» †»- 0 в 5»). 10.3. Пусть Х вЂ” действительная постоянная, превосходящая единицу, С помощью предыдущего упражнения н теоремы Аоеля о непрерывности суммы стеленнбго ряда ') доказать, что нри» вЂ” ь 1 между двумя хордамп единичного круга, нерегекающнмяся в точке» = 1 [Дэйвис, 1953) 10.4.

Пусть х — действительная переменная. а (ю,(х)) — последователь- вость полояопельных непрерывных функций, образующих шкалу, когда л отремится к конечной точке с. Показать, что интегралы ( ~р,(г)»(г образу') Омт например, Титчмарш (1951, 1 7.61). 43 з сс) АНАЛИЗ ОСТАТОЧНЫХ ЧЛЕНОВ ют шкалу при х — ~ с и что если С(х) — непрерывная функция, имеющая разложение С(х) т и И (х) (х-хс), то х х ~ у(с) ас ~)' х ~ а,(с) с)с (х- с).

с с в 11. Анализ остаточных членов; варнациопнын оператор 11 1. В этой главе мы впделп, как определение Пуанкаре аснмптотпческого разложения придает эффективный аналитический смысл вычислениям с широким классом форматьных степенных рядов. Вто оп)теделенссе прпвело к появлению новой ветви апалпза, которая со вреыепп Пуанкаре непрерывно развивается н находит все более шнрокоо применение. Важность и успехи этой теория (и ее позднейшнх обобщений) не зыэыватот сомнений, но у нее есть один существенный недостаток; она затрапсвает лишь вопросы существования. Она не зависит от численных значений граничных постоянных и не дает о них никакой информации. Позтовсу, следуя ван дер Корпуту (1256), мы называем теорию Пуанкаре чисто асимптотической, для того чтобы отлнчить ее от широкого термина асимнтотика, который используется для характеристики всех аспектов развития и использования асимптотпческнх щшблпжений и разложений.

В этой книге мы будем заннматься и чистой аснмптотикой и анализом остаточных членов. Прн вычислении граничных постоянных часто оудет Испол,зоватьсп еариас)ионньсй оператор У', к определению и изученшо свойств которого мы теперь переходим. 11.2. В теории функций действительной переменной вариаиией илн, точнее, полной еариас)ией функции С(х) в конечном или бесконечном интервале (а, Ь) называется точная верхння грань выражения и — с ~с )1(х, >с) — с(хс) ! при любых п и всех возможных способах разбиения хе < хс < хе < ° ° ° < х„, где хо и х„принадлежат замыканию (а, Ь).

Вели эта верхняя грань конечна, то С(х) называется функцией ограниченной еариассии в (а, Ь) мы будем обозначать точную верхнюю грань через У;=к с(С(х)), У'ь с()) или просто У',(С). сгл ю пвкдвннв в Асигиптотическив мвтодьг 11.3. В случае компактного интервала [а, Ь) один нз возмоязных способов разбиения вадается условием п=1, ха=а и х~=Ь. Тогда У',, з(/) > (/(Ь) — /(а) (.

Равенство выполняотся, когда функция /(х) монотонна в [а, Ь1.. У'.. (/) = (/(Ь) -/( ) ). (11.01) Рис, И.1. Вариация непрерывной фукз цви. У', з (/) = ~ (/' (х) ) дх. а (11.02) 11.4. Предположим теперь, что интервал (а, Ь) конечен или беслане шн, функция /(х) непрерывна в замыкании (а, Ь), производная //(х) непрерывна внутри (а, Ь), а функция (/0(х) ( интегрируема в (а, Ь).

Используя обозначения $ 11.2 и результаты $11.3, получаеи еп-1 у,,(/)) у „,„„,(/) = ) )/'(х)[е(х. м Последнее соотношение указывает простой метод вычисления вариации непрерывной функции с конечным числом максимумов и минимумов: мы разбиваем [и, Ъ~ в точках максимума и минимума и к каждому из подынтервалов применяем формулу (11.01). Папрнмгр, в случае функции. изобрае"Ф женкой на рис. 11.1, мы ви3 дим, что $ ! лх У' з(/) = [/(а) — /(х~))+ + (/(аз) /(г1) )+ (((хз) — /(хз) ) + (/( Ь) — /(хз) ) = .=/(а) — 2/(х;).+2/(хг)— — 2/(хз) +/(Ь) . Если функция /(х) непрерывно дифференз1ируезва в [а, Ь), то прнменепие теоре1иы о среднем значении дает в-з и — з ~ (/(х,гз) — /(х,)[== / (х,,ы — хз)(/'(~,)( а=а .:-О (х,(„-,(х, ). Из непрерывности функции /'(х) вытекает непрерывность ~/'(х) ~„ Поэтому в силу определения интеграла 1'лиана 45 лнллиз остаточных члвнов в !з! Так как х! и х„! — произвольные точки из (а, Ь), то (11.03) 1ьроме того, и — 1 -! ь ~„)~(хз ! !) — !(хз) ~ == ~' ~ !'(х) Нх < ~ )('(х)) с!х, ~=-с ! -0 й, и, следовательно, выполняется неравенство, обратное (11.03)'.

Таким образом. и в этом случае формула (11.02) справедлива. 11.о. До сих пор предполагалось, что функция !'(х) действительна. Гели 1(х) — комплексная функция действительной переменной х, то ее вариация определлегсл формулой (11.02), если этот интеграл сходится. Предположим. например, что !(г) — голоморфная функция г в комплексной ооласти 0 '), Пусть 3Э содержит пут!, (контур) лз, т. е. конечиузо цепочку регулярных (илп гладких) дуг, каждая из которых и!нет уравпснпе вида г = г(т) (сг<т<р), где т — дуговой параметр, а производная г'(т) пепрерьгвна и не обращается в нуль в замыкании (а, ()).