1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (Олвер 1990 - Асимптотика и специальные функции), страница 9

со в областях Г и С соответственно. Тогда, если ), и (х— постоянные, то Ц(г) +)гд(г), (л.т, + раз) г ' .=-а (г — все в Р()С). Ото соотношение вытекает непосредственно из определения. 2) Асимнтотичвскис разложения можно перемножать. Это означает, что 1(г) д(г) ~' Ьз (г — ~- оо в Г () С), г=е где Ь. =)з..+Лб.-~+Ьб.-г+."+)бз. Действительно, если с„(г), 6„(г) и Н (г) обозначают остаточные члены, относящиеся к и-м частичным суммам разложений 7(г), л(г) и /(г)д(г) соответственно, то в — 1 Н„ (г) = ~' †,' 6„ з (г) + я (г) т', (г) = О ( †„ ).

/з 1 т а=-е (:) 3 Ф. Овввв Вввдкпие В Асимптотнчвскпн мктоды [гл. 1 3) Асимптотичесние разложения можно делить друг на друга, Пусть 1о Ф О и значение (з) достаточно велико; тогда 1(г) 1г ж Рг (г) я-1 ~ ( — 1)' ) й l. 1 р (,)) « ( — ( )" ( р, (г) ) " — — ... + — „'„(~(+ Поскольку Р1(г) = 0(г ') н Р„(г) = 0(г "), то отсюда следует я-1 — — +О( —,) (г — «оо в Р), где 1е )г, — многочлен относительно 1в, 1ь . ° .„1,.

Тзк как и прог+1 извольно, это означает, что асимптотическое разложение (11(г) существует. Коэффициенты )г, можно найти указанным способом, однако в случае сходящегося стеясннбго ряда их удобнее вычислять из рекуррентных сосжношеннй 1в/г, = — (11)г„— ~ + 1«н, г +... + 1*)гв) (з = г, 2,...), полученных с помощью тождества 1(х) (111(г)) = 1. Первые че- тыре коэффициента имеет внд й, —. ((1„й, = — 1,11.', "'з =- Ы вЂ” )о1г~11г, )гз =- ( — 1~ + 21о1г1з — 1о(з)Ло.

Необходимые изменения в случае 1о = О пе представляют трудности. 8.2. 4) Асимятотичесние разложения можно интегрировать. Предположим, что для всех достаточно оольших значений положительной действительной переменной х функция 1(х), действительная нлн комплексная, непрерывна и имеет асимптотическое разложение аида Если не выполняется условие 1з =11 = О, то мы не молем интегрировать 1(() в интервале х - г ( со, поскольку получающиеся интегралы расходятся.

Однако выражение 1(() — 1в — 1,(-' имеет порядок О(( з) при больших г и поэтому интегрируемо. Интегрируя остаточный член и используя результаты з 4А, мы находим, что 9 З! ОпеРАцпи нлд Асныг!тотическпми РАзложкниями 35 Коли а — произвольно выбранное положительное число, то х / ') 1 (г) дс = ~ ~ — ~ ~ ~)1 (с) — 1 — — '~ сс! + 1 (х — а) + а а х +1 1и — А — '1 х+ 1, !и х — — —.— х 12 1Ф 1с а о . —.

—;.с-,х при х-а-оо, где Эти результаты можно обобщить на аналитические функции комплексной переменной, голоморфные, например, в секторе. При этом используетшя ветвь логарифма до.сжпа быль непрерывной. 8.3. 5) Дифференцирование осимптоти !еского рогложессия возможно не всегда. Иапрнмср '), если 1 = е-аз)п е', а значения з действительны л положительны, то о, О 1(х) О+ — + —, + ..; (х — со). Но 1'(х) == созе" — е-'япех осцнллпруст при х — а-оо н псютому в силу теоремы 7.1 не имеет аспмптотнчсского разложения нида (7.08). Дифференцирование допустимо, если известно, что 1'(х) — непрерывная функция и ее асимптотическое разложение существует.

Это утверждение можно доказать, интегрируя (9 8.2) разложение для 1'(х) и используя свойство единственности (т 7.2), Другая система условий, при которых днфферонцировапие законно, относится к случаю, когда 1(г) — аналитпческая функция комплексной перемепнои г. В качестве следствия из теоремы 4.2 нетрудно вывести, что асильчтотическое разложен!се 1(г) можно дифференцировать сколько угодно раз в любом секторе, лежащем строго внутри. первака солж!ого сектора сприведливости разложения и еиесощем ту же верисину. 8.4. В заключение мы рассмотрим операцшо обраи1енсся.

Она возможна и для дейстж|тельных, и для комплексных переменных; для иллюстрации мы огракичнмся вторым случаем. Пусть функция й(г) голоморфяа в области, содержащей замкнутый сектор,8 с вершиной в начале координат и углом, меньшим 2л; предположим, что ь(г) г -с-а, + — ' -1- — с -1-... (г — ь сю в Я). ') Бромуич (1926, стр. 345). вввдвнин в асимптотичкскин мвтоды (гл. 1 Пусть Б1 и ог — замкнутые секторы с вершггнами в начале координат, причем Я1 лежит строго внутри о, а Яг лежит строго внутри Яь Теорема 6.1 показывает, что если ь ен Яг, то существует единственная точка х в Я~ (прп условии, что значения ) Ь) достаточно велики), такая,что г = (1 + о(1))ьь (ь -~-со в бг). Начиная с этого приближения и повторно подставляя следугощие приближения в правую часть соотношения з где и — произвольное целое чис.то, мы видим, что существует представление вида Ь, Ьз Ь а=Ь вЂ” Ь вЂ” —.— — — ... — — +О( — ) (9 в Я.) о Э где коэффициенты Ь, являются многочленами относительно а„ не аависящимн от количества сдоланных приближений.

Это итребовалось доказать. Можно проверить, что первые четыре коэффициента имеют вид ') г Ь,=.а„Ьг=-аа,+аг, Ь,=-аза,+а',-';2аа,+а,. Ьо=-аз, У ПРЛ2КПКППП 8.1. Пусть К„и Е являются и-ми граничными постоянными в асимптотических разложениях функций г(з) и 1П(з) соответственно, указанных е 1 81, а п~ — то пын нижння грань П(з) ) з Г. Показать, что з †! б„(т 1 ~~~~ )Ь )К„, (л)1). з=а 8.2. (Подстановка асимптотических разложений.) Пусть )=:1(з) ~~'„) з (з-ьсо е Р), в=0 (г)-г+ "', ь,г * (1- в т). з — —. а ') )(ля любого з число зЬ.

является коэффициентом при з ' в асимптотическом разложении функции (ь(з))* по убывающим степеням з. Это вытекает иа формулы Лагранжа обращения степенных рядов; см., яапример, Копсов (1935, 1 6,23). % е! фрикции. имвющин злдлннын рлзложнкия 8т Показать, что если образ Т содержится в р, то ! допускает разложение вида 1- ~',с,а * (а осе Т), .=о где сз = Уз, с~ = !ь са = Уа — йбз, сз = Уз — 2!або+ У~ (Ьо Ьа Га ! т 8.3, 11редполоажим, в обозначениях 1 8.1, что (з = 1.

Доказать, что !я () (г!) ~З вЂ”" (г -ь сс и р), а=! где 1, = й и зб = з/, — (з — 1)ДЕ, а — (з — 2)Ц, а — ... — 0,0 (з ) 2), 84, !!озьзуясь обозначениями З 8.1, показать, что если !з —— 1, а т — денствитеап,изн или комптексвзя постоянная, то ()',г)) ~~ — ' (х-асс в Г), ,=о г где ю = 1 и зр, = (с — а+1)йр.-а + (хдч — з+2)йр.-а+ ... ... +((з — 1)ч — 1)й ада + зт/.ръ 8 9. Функции, имеющие заданные асимнтотические разложения 9 1.

Пусть ао, ам аа,...— бесконечная последовательность произвольных чисел, действительных или комплексных, а Й вЂ” неограниченная область. Существует ли функция, имеаощня формальный ряд а + — -Р— + с,, с, с а ха (9.01) тп*о ?()=.'у'Ъ з=о (9.02) где за() г) ) — наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству ) ае ) + ) аа ) +... + ) а„(,н ( + т () г )) - ) г ). (9.03) Очевидно, что т()г() —, неубывающая функция (г~. Пусть и— своим аснмптоткческим разложением при г -а- со в к? Ответ, несколько неожиданный, заключается в том, что такая функция существует всегда, без всяких условий. Рассмотрим функцию В8 ВВЕДЕН11Е В АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [гл.

1 произвольное положительное целое число и г„= [ао) + ) аг (+... + (а„ег[+п-(-1. Если [г[- г„, то т([г[))гг+1, [г)»1 и ! и — 1 ) )гию тпг[) -г а,е, [г) у(г) = =о (9.05) где е,(г) = 1 — ехр ( — г'Ь'[[а,[), р и Ь вЂ” любые фиксированные числа, удовлетворяющие условиям 0<р<л/(2о) и 0<Ь<а. Если какое-либо из чисел а. равно нулю, соответствующая функция е,(г) также берется равной нулю.

Непосредственно из этих определений следует, что (агя (г') (=(р зги г(<ро<тг[2. Поэтому (9.06) Иа '(9.03) видно, что правая часть (9.011) ограничена величиной ()а„)+1)/г"; следовательно, ряд (901) явлнется аспмптотпческим разложением функции )(г) прн г — ~ со в люоой неограниченной области. Найденное решение задачи не едпнствепно. Например, если мы изменим определение функции т([г[), заменив праву[о часть неравенства (9.03) на гг)г(, где гг — любая положительная постоянная, то функция (9.02) снова будет иметь (9.03) своим аскмптотическнм разло конг[ем.

Бесконечное множество всех функций, имеющих (9.01) в качестве аснмптотпческого разложения, называется асимптотической суммой этого ряда в [Х. 9.2. Функция (9.02) является в некоторой степени искусственной конструкцией в том смысле, что она разрывна па бесконечном множестве окружностей. 51ы построим теперь она гитичесггг[го функцию с требуемыми свойствами.

Единственным условием будет ограниченность области изменения агд г. Предположим, что область й является замкнутым сектором, который мы обозначим через 5 н ноторып предварительным переносом начала координат и поворотом г-плоскости совмещен с сектором [агах( -о, )г) >а. На положительные числа О и а не налагается никаких ограничений. Мы дока>кем, что подходящая функция имеет вид Фм »ВУНКЦИ1Н ИМЕЮЩИЕ ЗАДАННЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 39 где Х вЂ” точная верхняя грань функции ) (1 — е ')/») в правой половине г-плоскости. Очевидно, что значение Х копечно.