1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (Олвер 1990 - Асимптотика и специальные функции), страница 6

1[азовем с выделенной точкой асимптотического разложения. ') В увр. 2Д вЂ” 2.5 предвозагается, что рассматриваются больпсие положительные аначения независимой переменной х. 2 Ф. Олзер введгппв В лсиыитотнческпе мктоды [гл. [ 3.2. Следующее обобщение касается комплексных переменных. Пусть $ — данный бесконечный сектор и ( агах ( ([, где агоз обозначает аргумент переменной г. Предположим, что для некоторого значения П существует такое нг зависли[ге от агу г число лГ, что (3.01) )Я )(()Г~[р( ) ~ (г~ 3(П)), где о(Л) ооозначает пересечение $ с множеством (з ~ ) П.

В этом случае мы будем говорить, что 1(з) = 0(ср(г)) при г — ~-оо в К или прас~о )(г) = 0([р(г)) в $(Н). Таким образом, символ Г) автол[атичгски. подразумевает равномерность относительно агапэ'). Аналоги сна для сил[волов и о. В дальнейп[ем определенное только что множество точек 8(П) мы будем называть бесконечным сектором нли просто сектором. Вершины и угол сектора Ь будут также называться вершиной н углом сектора о(П).

Наименьшее число, удовлетворяющее неравенству (3.01), называется гроничнои постоянной для Ь(Л). В действительности не имеется особых оснований рассматривать секторы; определении так жо хорошо применимы к л[обой области (т. е. к множеству точек в котшлексноп плоскости), имеющей бесконечность или какую-нибудь другую выделенну[о точку в качестве предельной (ср. упр. 3.2, приведенное нвже). 3.3. В качестве важного примера использования введенных выше обозпзченпй можно рассмотреть остаток сходящегося степенндго ряда. Теорема 3.1. Пусть ряд ~ алг" сходится при )г) ( г.

=.е Тогда для фиксированною и ~~„а,г .= 0(г") в любом круге ) з) = р, гдв р ( [.. Доказательство. Пусть р' — лгобое число из инторвала (о, т) . Тогда а,р — ь 0 при г — ~- оо; следовательно, существует такая постоянная А, что ) о, ( р" -< А (г —.= О, 1, 2,... ) . Поэтому Теорема доказана. ') Ве все авторы используют О и деа других символа в таком смысле. интеГРВРовлнпе п дпФФВРеншгРОВлннн Типичным примером может служить соотношение !В(1+0(з))= 0(з) (з-+.О). 3.4. Асимптотическое соотношение или отпошонне порядка может обладать свойствами равномерности относительно других переменных или параметров. Например, если и — параметр из интервала [О, а], где а — положпгельная постоянная, то М вЂ” ер О( е*) при з — е.сю в правой полуплоскости равномерно относительно и (и агах). Области с указанными свойсгвамн часто ьзаимозависимы: интервал ~ — а.

01 н левак половина л-плоскости дают другуго допустимую коьгбянациго областей. УПРЛЖНК!П1Н 3.1. Пусть б — полозкетельная постоянная; показать, чтс с!'х е*)2 прп х — е- оо в секторе ]агбх[ - п)2 — б и что зто не так з секторе )агйз[ С пра 3.2. Показать, что еем ' = е(1) прп з — ~ ое з полупозосе Пе > О, )1п~ х[ я)2 — б (.,2. 3.3.

Пусть р — фпкспрозанвое положктельпое чпгзо. Вычкслкть грзккчвузо постоянку|о з соотвошекпп е * = 0(з т) в секторе [згхх, '( п)2 — б ( ( и/2 я показать, что она стремятся з бесконечности прк б е.О. 34. Предло:южпм, что ф(х) > О, р — действительная постоянная н 1(х)— ф(х) прк х — ~ ее. С помощью теоремы 3.1 показать, что ()(х)) т— — (ф(х)) т к 1п(1(х)) 1в(ф(х)), если зо втором случае фуякция ф(х) отгракпчека ~) от едпвпкы.

Показать также, что соотношение еп*~ еыю может оказаться коверным. 3.5. Пусть х изменяется з интервале [О, б], где б — положительная постояняая, а )(и, х) — положительная дейставтельяая фупкпкя, причем т'(и, х) = 0(и) пря и — 1- О разномерно относительно х. Показать, что (х+ 1(и, х))" = х'+ 0(иго прп и — ~-О равномерно относительно и. 5 4. Интегрирование и дифференцирование асимптотических соотношений и отношений порядка 4 1. Асимптотическне соотношения и отношения порядка можно, как правило, интегрировать при условии, что справедливы некоторые очевидные ограничения, касающиеся сходимости интегралов. Предположим, например, что ((х) — интогрируемая ') т. е.

сущестзуег такое число е > О, что ]ф(х) — 1) > е. сгл ! ввкднннк в лспмптотичискпв мктоды функция действительной переменной х, причем 1(х) х" ' при х — ~- со, где ч — действительная или комплексная постоянная. 1)усть а — лсобое конечное действительное число. Тогда нри х-ь со имеем ~1(1) д! — — хт+'Яч -)- 1) (Ве ч - — 1), (4.0!) е е (йе ч — 1), а ((!) д! )и т, (т — — 1), х 1(з +1) (Нег> — 1), (4.02) ) )(!)Й = ~ 1(г)дг+, (хт~ — Х ' )+ ) 1'т)(!)сП ь й и позтому )!ервые два члсна в праной части последнего равенства стремят- /~ з- 1!г ся к нулю прн х-+-со, а третий член ограничен числом ! ,.-Нс'.

Отсюда вытекает искомое соотношение. Формулы (4.0!) н (4.02) непосредственно обобша!отея на интегралы в комплексной области. 4,2. Дифференцирование асимптотнчсскил соотношений и атно!пений порядка не всегда допустимо. Например, если 1(х) = = х + сое х, то 1(х) — х при х — ь оо, но утверждение, что 1'(г) 1, неверно. Для того чтобы дифференцирование было возможно, необходимы дополнительные условия.

Для действнте:п,ных с!временных эти условия можно сформулировать в терминах монотонности производной. Т е о р е и а 4 1 ') . Пусть !'(х) — непрерывно дифференцируемая функция и !'(х) — х" при .т — ь ео, вде р(>1) — постоянная. Тогда если 1'(х) — неубывающая функция при всех достаточно болыиих значениях х, то 1'(х) — рх" '.

'! Де Брейн (!961, 1 7.3). где с — постоянная величина. Докажем, например, третье соотношение из (4.02). Имеем 1(х) = х'(1+ 0(х)), где (т1(х) / < е, если х > Х > О, причем Х выбирается по произвольно заданному полоткптельному числу е. Сгседовательпо, если х > Х, то ннтвгеиеоелнив н диФФвевнциеовьннн 21 а г! Доказательство. Имеем У(х)=х'(1+т((х)), где (>!(х) (( е при х ) Х, Х вЂ” некоторое положительное число, е— произвольное число из интервала (О, 4). Если Ь ) О, то л.>-ь Ь~' (х) ( ( 1' (Г) дг =- 1 (х + Ь) — 1 (х) =-. ь-~-й — р( аг ->-(х -( Ь) >((т + Ь) — х >!(х) ( ( Ьр(х+ Ь)" ' + Ог(х+ Ь) Положим Ь = е' '.с. Тогда 1'(х) ~ рхг '(((+ г'")"-'+2р 'е" (! + г' г)') (х ) Х). Аналогично рт> -1((( е>> )г-> хр >е>>г) (х) .

) Теорема доказана. Другой резул>,тат этого типа установлен ниже в упр. 4>.4. Следует, однако, отметить, что условие монотонности 1'(х) часто трудно проверить, поскольку 1'(х) и является той функцией, свойства которой требуется установить. 4.3. В комнлоксной плоскости дифференцирование асимптотических соотношеннй и отношений порлдка обычно допустимо в подобластях области, где они справедливы.

Важным частным случаем является следующая теорема. Те ор ем а 4,2 '). Пусть функция 1(г) голоморфна') в области, содержащей замкнутый сектор $, и 1(г) = 0(г") (или 1(г) = о(г")) (4,03) нри г-ь оо в Б, где р — любое фиксированное действительное чис.го. Тогда 1н" (г)= 0(г" "') (или )т"'(г)= о( " ")) (4.04) нри г-ь оо в любом замкнутом секторе С, лежащем строго внутри о и имеющем ту же веригину. Доказательство основано на интегральной формуле Коши длн т-й производной аналитической функции оь> т1 ( 100 ш (4.05) 2я>,! (г г)т->->' %' где путь У вЂ” окружность, обходящая точку 1 = г.

' ') Рвтт (1918). з) То есть аналитична. вввлвник в лспмптотнчвскпв мвтолы ~ГЛ 1 Существенной причиной того, что точку г нужно в конечном результате считать принадлежащей внутренности области, является необходимость проведения пути Ж в Ь. Так как )г — салаг)' )г)', то вершину сектора Ь можно без потери общности взять в начале координат.

Пусть Я опредб— лен неравенствами сс ( агдг( р, )г)') Л; расслштрим сектор л, ааданный услоанямн а+ 6 = агог ~ (1 — 6у и )г!) В', где 6 — положительный острый угол и 3' ==,, (рпс. 4у.1). 1 — Мл6 Выбирая 6 достатобно малылн мы можем добптьгя, бтобы сектор л содержал С. Возьмем в формуле 4 рдг1лл ь (4,05) путь $' в вяле ~1 — г) =, б= ) г ) з)п 6. Тогда б ) г ! (1 — ай п 6) - / Г ! -" ) г > ( 1 + г)п 6) . Следовательно, г ~ Я, если гя Я'. Кроме того, если К вЂ” граничная посто) у )л)=у' .,4 явная в (4.03) для 8, то о о г х з" " Ог) 1о6)'" б -Р б ° ° й ут бу уы рх~О нлн р(0. В любом случае Рис.

4.1. Селторы Я, б'. 1ою(г) имеет порядок 0(гт ")у что н требовалось доказать. Доказательство в случае, когда символ О в (4.03) заменен па о, аналогично. й(ы попутно показали, что граничная постоянная в формуле (4.04) в секторе Ь' пе превосходит т( (созес 6)"'(1 у- зпт 6) уК, но поскольку эта оценка стремится к бесконечности прн 6- О, мы не можем сделать вывод, что формула (4.04) справедлнвав В. УП РйуННКННЯ 4.1.

Поубазаты что если функция 1(х) гецрерыеиа и уб(х) = о(ур(х)) яри х х — у се, где бс(х) — яоложительиая яеубызающая фуииция х, то ) 1 (г) б1г = а о (хду (х) ) 4.л Можно о>кидать, что в случае сеч — 1, 1шт Ф О„результат, соответствующий (4йй), имеет вид ) 1(с) ос = 0(1). Показать, что зто неверно, на яримере фуяяяли 1(х) = х'е-у + (х 1о х) — ', где и — действительно. Асиыптотичгское Рсшенгтг уРАВнении $51 4.3. Пусть и и т ленсат з интервале (1, оз); показать, что 1 +0(1)+0~аз) 44.

Предположим, что 1(з) = т'+0(т) при л со, а 1'(з) нш»рерызпа и не убызает прн всех достаточно больших а Показать, что 1'(х) =- Хх+ + 0(зю). 4.5. Предполонсим, что вместо условия (4».03) спразедлизо соотношенио Пз) з', где т — ненулезая действительная пли комплексная постоянная. Вызегт»г яз теоремы 4.2, что У(з) — т' ' при з — к со в С. 4.6. Пусть Т и Т' ос»означают полуполосы тс а ~ 1гп з ( б, Вез~ р, Т'. и+ 6(1»п- ( Ь вЂ” 6, Вез --» р, тле О < 6 С вЂ” (5 — и). Предположим, что функция ((з) голоморфна х н Т и 1(з) = 0(е') прн з — »- аа и Т. Показать, что 1'(з) = 0(е») при з — ». ос з Т'.