1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (Олвер 1990 - Асимптотика и специальные функции), страница 8

Ссылка на формулу (6.03) показывает, что /(з,) чь /(зг), Поэтому функция (6.02) копформ- Р-- но отображает $1 на некотору~о область П1 неремеьпюй и. а г 'г,. Рассмотрим границы Пь Для больших )з~ имеем гг ' агд (/(з) ) = агд з + агб (1 + гг + з 'Ц(з)) =агд з+ о(1). Рис. 63. г-ялосаость. Следовательно, в окрестности бесконечности П1 содержит Ьз. Другая граница П~ соответствует дуге )з( = аь На этой дуге )/(з) ( =а1 ) 1 + з '$(з) ) ( 2щ при достаточно больших ао Поэтому сектор Яз целиком содержится в П1 при условии, что радиус его граничной дуги достаточно велик.

Этим установлено утверждение 1). Чтобы доказать 2), заметим, что для заданного е ()О) число щ можно выбрать таким образом, чтобы )з '$(з)( ( е(1 + е) Опгел!сление и ОснОВные свонствл 5 7! при з е= 51. Тогда Условие л(и) е= 31 может быть удовлетворено для всох иенЯЛ, если снова выбрать аг достаточно больншм. 1(оказательство теоремы 6.! тем самым завершено. УПРДНСПЕНПЗ Н1. Показать, что если ю — п1 лое *пило плп нуль, 7О О секторе (т— — Пг)л ~ агЬ г ( (т -)- Пг)л болыппе зазчсппа пулеп фую цпп - Ся г — )и г дюотся форчулой — мз'~)+ "'""' "' ' О("П"' '" г —" Опг снл)г ' ) нг Ц где л — Оолыкос нологкитсльное Целее чпс.чо. й 7. Определение и основные свойства асимптотических разложений 7.1.

Пусть 1(з) — срун111)ня действительной илн комплексной переменной х, та„зг — формальный степекнбй рял (сходящийся или расходящийся). а гг)„(з) — разность между 1'(х) и н-й частичной суммой этого ряда; таким образом, О„ ~(з) =: аа+ — "' + г +... + —,",,'+ ))О(з). (7.01) Предполонсим, что для каждого фиксированного значения н гг„(з) = 0(з ") (7.02) нри х — 1-оо в некоторой нсограничонной области К. Тогда, сзедуя Пуанкаре (1886), мы будем говорить, что ряд Ха,.з ' является асилкптотичеснии раз голгеииелсг функции ) (з) н записывать это в виде ') )(з) а + — '+++ ... (з- со в Й). (703) Мы будем.

называть з псигкптотической переменной, а граничную носпоянную в формуле (7.02) — п-й граничной постоянной аспмнтотического разложения в области П. г) здесь смысл слизала — Отличается от смысла, который ему продавался в Я 2 и 3. 1)тобы избежать возмояспых недоразумений, некоторые авторы используют символ т для асимитотпческпх разложевпп и оставляют для асимптотических приближений. !гл. ! ввкдкнпк в лспмптотичкскик мктолы Есп! соотношение (7.02) выполняется только при п ( л!, илп. в более общем случае, если В„(г) = о(1(г" ') при п ~ !т', то ьгы говорим. что (7.03) является асам!!готическим разложением до Л'-ео члена. Однако мы будем предполагать, что наличие такого ограничения всегда будет отмечаться особо. Па тг!грег!ы 3.1 (с заменен г па 1!г) видно, что если ряд л„огг сходятся прп всех достаточно больпгнх (г), то он явля- ется асимптстичсскпм разложением его суммы, определеинои обычным образом, без всяких ограничений на атдг.

Кстественво, однако, что наибальший интерес представляют аспмптотпческие раз»оженит. которые расходятся. Примерок служит разложение (1.05); оно является следствием оц(*нкн (1.03). 7.2. Теорема 7.1. Для того чтобы функция 7'(г) обладала асим»готическим разложением вида (7.03), пеобгодимо и достаточно, чтобы для каждого неотрицательного целого числа н (7.04) прп г — г оо в К ров!юмерно оп!осптелыго агцг. Очевидно, что пз (7.04) следует (7.02): это — достаточноо ус»овие. Чтобы проверить необходимость, напишем в силу (7.01) и (7.02) „( а„ г"В„(г) == г" ~ — "+ В„, г(г) — ьа„(г — г.

оо). Это соотношение эквивалентно (7.04). Сформулируем следствия, пепосредственно вытекагощие из теоремы 7.1. 1) (Своиство единственности). Для заданной функции 1(г) и области К существует самое ббльшее одно разложение вида (7.03) . 2) и-я граничная постоянная в формуле (7.03) для области К не может быть меньше, чем ~а„1 7.3. Утверждение, обратное следствию 1) из т 7.2, неверно.

Рассмотрим асимптотическое разложение функции е * в секторе !агцг) (н!2) — 6(п/2. Так как для любого и имеем г"е *ь. 0 при г-+-оо в атой области, соотношение (7.04) дает а„= = 0 при и = О, 1, ... Таким образом, е *-О+ — + —, + ... ()агйг)((н/2) — 6). (7.05) Пусть теперь аь, а!, ать ... обозначает любую заданную последова- ОПРЕДЕЛЕННЕ Н ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА тельность постоянных. Воли существует') хотя бы одна такая функция ((г), что )(г) а„+ — '+ — ', — ,'- ... (г- оо в С,агйг)<(л,'2) — 6), г то существует и бесконечное число таких функций, так как соотноспенпе г"е ' — ~0 снова показывает, что к функции )(г) мосина добавить фупкщпо е ', угшожеппую па произвольную постояяпукь не меняя при атом козффсщиентов разложения.

Отсутствие единственности для функции, представленной асимптотическим разлосксппсн, находится в резком контрасте со свойством сдинстьепностп суммы сходящегося ряда. Мы использовали сектор (агу=( -- (лс2) — б чснс ссссгпострстцин;;сругнесекторы (с конечнынп углами) можно ряссмотрстгч используя вместо е * фупкцнсо ехр( — "), где р — подходящим образом выбранная положнтельпяв постоспнсзя. 7.4. Может случиться, что: отя функция Дг) и пе имеет асимптотического разссснссепня вида (7.03) в данной области, отнсипепие 7(г)/ср(г), гле с((г) — заданная функция, обладает таким разложением.

В атом слу*сае иы пишем кт о У(г)- Ч(г) 7,—,'.. =о '- Исключан случай, когда ао.= О, главный член ассу(г) дает асимп- тотическое приближенпе;сля 7(г) в смысле Е$ 2 и 3; )(г) воср(г). Лнялоюсчныи образом, если разность 7(г) — ср(г) 6 асимптотическое разложение ~а,г, то иы пишем 7(г) ср(г) + ~~ — '. имеет я=о ') Позднее Я 9) мы увидим, что ато условие всегда выполняется. Примером такого разложения служит аналитическая функция У(г), пмеющан полюс в бесконечно удаленной точке; если порядок полюса равен к, то ср(г) — многочлен от г степени и.

7.5. В ситуации, упомянутой в последнем предложении, асимптотические разложения сходятся при достаточно больших г. Этот результат является не таким частным, как зто пожег показаться. Теорема 7.2. Пусть Дг) — однозначная голоморфпая функция в окрестности бесконечно удаленной точки с выколотой Ввнденив В Асимптотическин методы >гл. 1 самой этой точкой и (7 06) при г-+ оо для всех агяг, гдв и — фиксированное целое число (ноложительное, отрицатегьное или равное нул>о), Тогда это разложение сходится во всей окрестности, и )'(г) является езо суз>мой. Для доказательства предположим, что )г( ) Н вЂ” данная окрестность и Ь, =,—.

~ 7'(г) г' с>г (7.07) И>-а для любого значения р, ббльшего П. Из (7.06)' имеем 7"(г)= =0(г ") яри г->-оо. Полагая р'. оо в (7.07), мы находим, что >>, обращается в нуль при з ( п. Таким образом, Это сходящееся разлоясение является такясе п асимптотпческим (теорема 3.1), и поскольку асимптотическое разложение функции 7(г) единственно, то ото>ода следует, что а, = Ь,. Доказательство закончеоо.

7.6. Результат, сформулированный в этом пункте, вытекает ншюсредственно из теоремы 7.2. Теорема 7.3. Пусть функция >(г) однозначна и зололюрфна в окрестности бесконечно удаленной точки с выколотой самой этой точкой. Предположим, что соотношение (7.06) выполняется в зал>кнутом секторе Б, а также что зто раэлоэкение расходится для всех ко>ьвчных г. Тогда угол сектора Я меныие, чвм 2я, и 7(г) имеет су>цествеяно особую точку на бесконечности.

Необходимо подчеркнуть, что теорел>ь> 7.2 и 7.3 применимы только к однозначным функциям. Если 1(г) имеет на бесконечности точку ветвления, то она может иметь расходящееся асимптотическое разложение в области изменения аргумента, большей, чем 2п. — соответствующий ряд Лорана. Этот ряд сходится при ~г) ~ П и ч а1 опврлцни нлд лсимптотичвскнмн влзлонвниями зз УПРАЖП11ПИЯ 7.1. Показать, что определение аснмптотпческого рааложенкя останется тем же, если мы замепцм (7.02) па Я (з] = о(1П" в) (и =М, Д'+1, ...), где р — любое фнпснрованпое положятгльное число, а 1У вЂ” любое неотрицательное целое число.

7.2. Показать, что нн одна нз функцнй з '", гбп з н 1п з пе имеет аснмптотнческого разложения вида (7.03). 7.3. Построить прнмер однозначной фуякцкн. которая имеет существенно особую точку на бесконечности н сходящееся аскмптотпческое разложенке в секторе )вги з( < (л/2) — б < я/2. 2 8. Операгттггг иад асниптотичесними разложениями 8.1. 1) Нз асилггтотическис разлолсеннй можно составлять л'инейные комбинации. Предположим, что 7'(г) ~~(,г, а(г) ~ в„г ~ в=в 9.—.в при г-в.