1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (Олвер 1990 - Асимптотика и специальные функции), страница 4

Предварительные знания обыкнонснных дифференциальных уравнений полезны, но не обязательны. Нурс теории функций действителшгой переменной но является необходимым; все встречающиеся интегралы являются интеграламн Рнлгана. Звездочка ", поставленная у номеров некоторых параграфов и пунктов, означает, что изложенный в них материал монгет быть пропущен без ущерба для понимания дальнейшего материала.

Почти во всех главах имеются примеры иболос чем 500 упражнений существенно различной сложности. Некоторые нз этих упражнений явлнются иллюстративными, другие содержат обобщения теории или свойства специальных функций, которые важны, но выводятся непосредственно. Учащемуся настоятельно рекомендуется после изучения параграфа прочитать все упражнения, независимо от того, будет он их делать или нет.

Предупренгдающие звездочки* относятся к тем упражнениям, решение которых отличается повышенной трудностью или требует большой затраты времени. Все главы заканчиваются коротким параграфом, оааглавленпым «Исторические сведения и дополнительные ссылки». Здесь ') По этой причине первые семь глав были опубликованы издательством Асадеппс Ргезз в виде отдельной книги 1учебника) под названием «Введение в асимптотичесаие методы и специальные функции». пРедислОВие указаны источяики, на которых основан материал, изложенный в главе, и упомянуты работы, где можно найти дальнейшую информацию. Библиография помещена в конце книги. Особенно я в долгу перед превосходными книгами де Брейна, Копсона, Джеффриса и Свирлс, Эрдейн, Ватсона, Унттекера и Ватсона, а ташке обшпрными справочниками, опубликованными по проекту Бейтмена и Пациональным Бюро стандартов.

Ценные замечания относительно первых вариантов книги сделали Дяс Ф. Миллер (Национальная физическан лаборатория) и Ф. Стенджер (Университет штата Ута), которые полностью прочитали рукопись, а также Р. Б. Дингл (Уннверситот Св. Эндрюса), У. Г. Рейд (Чикагский университет) и Ф. Урселл (Манчестерскин университет), прочитавшие некоторые главы. Р. Э.

Аски (Висконсинскнй университет) прочитал окончательный вариант, и среди его полезных аамечаний были различныо дополнительные ссылки. Мне доставляет удовольствие выразить им всем свою благодарность; я олагодарен также миссис Линде Ло, печатавшей варианты книги и помогавпгей при корректуре, и сотрудникам издательства Асайепйс Ргезз.

Кроме того, я признателен за неустанные усилия моей жено Грейс, которая проводила все численные расчеты, печатала первоначальный вариант и помогала при чтении корректуры. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К КНИГЕ «ГХТВОВЕСТ10Х ТО АЭ г'МРТОТ1СВ АХВ БРЕС1АЬ Р1)Р)СТ10д(В Эта книга содержит семь глав из книги «Асимптотическне методы н специальные функцпиа того яге автора. Она публикуется отдельно для удобства студентов, которым нужен только вводный курс, Ответы к упражнениям, ссылкн, указатель обозначений и общий указатель были сокращены путем удаления информации, не относящейся к первым семи главам. ГЛАВА 1 . ВВЕДЕНИЕ В АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ в 1. Происхождение асимптотнческих разложений '1.1.

Рассмотрим интеграл Р(х) = ~ е — "' соз сссС (1.01) Е (х) .—.= ~ е "' ~ 1 о со со ос (1.02) (1.03) Если х ) 1, то последний ряд сходится к сумме Е(т) = е-+ 1 То, что попытка оказалась успешной, можно проверить, выведя полученный результат прямо кз (1.01) с помощью двух интегрирований по частям; ограничение х 1 при этом заменяется условием л ) О.

Проделаем теперь ту же самую процедуру с интегралом ~~+с о (1.04) Мы получим б (з) = ~ е *с (1 — С + С вЂ”...) сй = — — — + —. — о + о 1 1~ о (1.05) при положительных денствительных значенсиях параметра х. Попытаемся вычислить его, разлагая сов с по степеням с и интегрнрун полученный ряд почлеино. Мы получим вввдвнив в лспмптотичвскик катоды [гл, с 12 Этот ряд расходится при всех конечных значениях х и поэтому представляется бессмысленным. Почему указанная процедура привела к успеху в первом случае и была безрезультатной во втором:.' Ответ найти нетрудно.

Разложение сов «сходится при всех значениях 1; более того, оно сходится равномерно в любом конечном интервале изменения «. Применение иавестной теоремы об интегрировании бесконечных рядов в бесконечном интервале') показывает, что переход от (1,02) к (1.03) полностью оправдан прн х > 1. Во втором же случае разложение функции (1+ «) ' расходится при «) 1. Появление не имеющего смысла выражения в правой части формулы (1.05) можно рассматриваю как следствие интегрирования ряда в интервале, в котором он не сходится равномерно.

1.2. Если бы наш подход к математическому анализу был слишком ортодоксальным„то мы могли бы ограничиться в данных примерах приведенными рассуждениями. Предположим, однако, что ны допускаем эвристический подход, и попытаемся просуммировать ряд (1.05) численно для некоторого значения х, например, для х = 10. Первые четыре члена имеют вид 0,1000 — 0,0100 + 0,0020 — 0,0006, (1.06) е„(т) = С(т) — л„(х), где 1! 2! „с «в — 1)1 е„(х) =- — — —, + —, —... + ( — 1) Здесь и произвольно, а е„(г) называется остаточны.м членом или остатком, а точнее, н-и остаточным членом нли л-и остатком.

Так как з в — си с 1 — 1) с" 1+> — =-1 — «--« —... -Р( 1) — «+— 1'с с подстановка этого выражения в (1.04) дает » — >:с .(-) =( — 1)-1"',',, « о (1.07) ') Бромувч (1626, 1 175 — 176). Эта теорема сфор>сулирована полностью ниже (глаза 2, теорема 8) . >) Полученному прв численном интегрировании (1.04) или из таблиц эксвовеицвальиых интегралов; сравните 1 3.! главы 2. а соответствующая сумма равна 0,0914.

И, что удивительно, зта величин» очень близка к истинному значепиюС(10) =0,09156>). Чтобы понять причину этого неожиданного успеха, рассмотрим разность е„(х) между С(т) н п-й частичной суммой ряда (1.05), »3 % ц пеонсхождкпив лснмптотпчвс»»пх Рлэложкнии Очевидно, что ) г„ (х)) < ] ! е гй = — ;,. о Другими слонаьш, частвчньн суммы ряда (1.05) прпблшкают функцию С(х) с ошиокой, численно мепыпей первого отбрасываемого члена ряда.

Из (1.07) видно также. что ошибка имеет знак, совпадающий со знаком этого члена ряда. Поскольку следующий член в (1.06) ранен 0,00024. это полностью объясняет близость значения 0.0014 величины й„(10) к С('10). 1.3. '1'аким образом, разложение (1.05) имеет скрытый смысл: его можно рассматривать как последователь!гость ггриблггхеегггггй (д„(г)) к значению С(т). В этом смысле опо аналогично сходящемуся разлон»синю, вапримор (1.03).

Поэтому на практике мы могкем не вычислять бесконечное число члснон сходящогося ряда; мы заканчиваем сум»шровани», как только убеждаемся, что вклад остатка пр! пебрежпмо мал по сравнению с тргоуемой точностью. Вдесь имеются, однако, два нажных различия.

Во-первых, ошибку е„(х) нельзя предстаннть как сумму членов остатка. Бо-вторых. частичнан сумма сходящегося ряда становится, по определепи»о, произвольно близкой к сумме ряда, когд» число членов неограниченно возрастает, В случае (1.05) это пе так: прп данном апачеппн х последовательные члены ряда ( — 1)'в!г',г'»! монотонно унывают до тех пор, пока в не становится больше (х], целой части х. После этого онн иеограничопно возрастают. Поэтому частпчныо суммы д„(ге) сначала приближают С(х), но когда п проходит значение (х], опгнбкя начипа»от расти и, в конце концов.

очень сильно осцнллнровать'). Существенное отлично состоит, таким образом, в том, что в то время как сумма сходящегося ряда может быть нычпслена с произвольно большой точностью при достаточной затрате времени, точность значения С(х), вычисленного с помощью частичных сумм »„(х) пз (1.05), ограничена. Лучшее, что мы можем сделать при заданном значении х, это представить С(х) частичной суммой»г! г(г).

Абсолготная ошибка этого представления ограничена величиной (х]г/х"!»г, а относительная ошибка — приблизительно величиной (х]!гх"!. Хотя точность и ограничена, она очень высока. Например, если х = 10, то [х]!ггх"! ='. 0,30 ° 10 э!). Псютол»У пРи х ) 10 аначоние С(х) можно найти из (1.05) с точностью по крайней мере до трех значащих цифр, что в некоторых случанх является достаточныь».