1625914359-cbc33d52f0c3d7a85808063f7d7323b9 (Олвер 1990 - Асимптотика и специальные функции), страница 5

При х' 100 получаются 42 значащие цифры; ') По этой причине ряды такого типа называют вялустодящяяяся. !) Здесь в во!оду далее знак =, обозначает ярнбляягевяое равенство. ввкдкник р лснмптотичкскив мктоды шл. г немногие вычисления в прикладных науках требуют даже отдаленно такой точности. До сих пор мы рассматривали поведение последовательности (д„(х)) при фиксированном х и изменяющемся п.

Если же вместо этого фиксировать и, то можно онсидать в силу (1.08), что д„(х) даст лучшее прпблиисение для С(х), чем любая другая частичная сумма, когда х лежит в интервале п < х < и+ 1 '). Таким образом, никакое приближение не является случшимз зо всеобъемлющем смысле; каждое нз нпх имеет интервал, в котором оно имеет преимущества. 1.4. Разложение (1.05) является типичныи для п<нрокого класса расходящихся рядов, получаемых нз интегральных представлений, дифференциальных уравнений н, вообще всюду, где нарушаются условия, управляющие применимостью аналитических преобразований.

Теьс ие менее в восемнадцатом веке такие разложения широко использовались в численных и аналитических расчетах многими математиками, в частности, Эйлером. В отличие от приведенных выше рассуждений относительно функции С(х), тогда было мало что известно об опшбках в приближении функций такими методами, и поэтому иногда следствием были значительные неточности. В начале девятнадцатого века Лбель, Коши и другие нредпрнняли попытку поставить математический анализ на прочную основу. Одним нч результатов было введение полного запрета на испольаонание расходящихся рядов, хотя, кажется, этот шаг сопровождался некоторым сопротивлением.

В течение последовавшей половины столетия не было сделано нн одной попытки реабилитс<р<>зать использование расходящихся рядов. Двумя требованиями для удовлетворительной общей теории были, во-первых, чтобы она была применима к болыпинству известных рядов, и, зо-вторых, чтобы она допускала элементарные операции, вкл<очающие сложение, умножение, деление, подстановку, интегрпрование, дифференцирование и обращение. Нп одно пз требований не выполняется, если, навример, мы ограничимся рассмотрением рядов, остаточные члены которых ограничены по величине первым отброшенным членом.

Но в конце концов обоим требованинм удовлетворило введенное Пуанкаре в 1886 году понятие, которое он назвал асимптотичеспим разложением. Соответствующее определение будет дано ниже в 1 7.1. Как мы увидим, теория Пуанкаре охватывает широкий класс часто используемых расходящихся рядов, и все элементарные операции в ней допустимы (с некоторыми незначительнымн ограничениями в случае дифференцирования). ') Поскольку (П08) дает оценку. а не действительное значение (з (х)(, ннтерзал, з котором Х (х) дает наилучшее приближение, может несколько отзнчатьсн от п<х<п+П символы -,е и о и 2.

Символы, о п 0') 2.1. Чтобы описать поведение при х — «-оо ннтерссугощей нас функции ((х) в тс(гугинах известной функции гр(х), мы часто будем использовать следующие обозначения, введенные П«ахмапом и Ландау"). Предположим сначала, что х — лействнтельнзя переъгонная. На бесконечности гр(х) может суремпться к нулю, к бесконечности н;пг иметь какое-лноо другое повгление — никаких ограничений мы пе налагаем. 1) Если огношение )(х)ггр(х) стремится к единице, то мы пипи и 1(. ) - р(х) (х ) или, короче.

/ — гр. В этом случае мы говорим„что ( агиялтотически ггриблигкается к гр или гр является асилптотичегким приблизгвнггем 4уггкцгги (. 2) Если ((г)гггр(х) — «-О, мы пишем /(х) = о(гр(х)) (х -«-оо) илн, короче ) = о(гр); в этом слу гав мы говорим, что порядок ( меньше, чем порядок грз). 3) Если отношение (гг(х) гггр(х) / ограничено, то мьг пишем г(х) = 0(гр(х)) (х — «-оо) или ( = — 0(гр); в этом случае говорят, что функция ( имеет порядок, нв превогходяа(ий ггорядка гр з). В частности, соотношение ('= о(1) (х-«-со) просто означает, что / стремится к нулю при х — «- со; соотношение ( = 0(1) (со ч — х) означает, что величина (('( ограпичг ка при х — «.

со. Простые примеры; (х+ 1)г х-', —,, =-о~ — ) ь(г х ==- 0(в"). 2.2. Сравнивая 1), 2) и 3), мы замечаем, что 1)' и 2) взаимно исключагот друг друга. Проке того, каждое из нпх является частным случаем соотношения 3) и, если прпмепиио, несет больше информации, чем 3). ') Этк символы оарсдсляшт отношения порядкп.— Прим.

перев. г) Ландау (г92ы т. 2. стр. 3 — 5). г) В случае, когда функция Ч«ке является действительной и положительной, некоторые авторы используют в оврелеленви знак абсолютной величины, т. е. т(х) = о((гр(х) ). Аналогично в оаределенвв 3). ~гл г введение В Асиыптотпческие методы Далее, символ О иногда связывают не с предельной точкой оо, а с интервалом [а, оо)'). Таким образом, соотношение /(х) = 0(гр(х)) при хе=[а, со) (2.01) просто означает, что величина [/(х)/гр(х)) ограничена в интервале а <х( со. Однако яп один пз символов или о нельзя использовать таким образом. Из соотношения (2.01) вытекает существование такого числа К, что [/(х) [ < К [г/(х)[ (х ) а), (2.02) причем о действительной величине К оно информации но дает.

Конечно, если неравенство (2.02) выполняется для некоторого значения К, то оно также выполняется и для любого большего значения; таким образом, существует бесконечное множество возможных значений К. Наименьшую верхнюю грань значений отношения [/(х)/гр(х) [ в интервале [и, со) мы будем называть граничной постоянной з) в этом интервале. 2.3. Обозначения о(гр) и О(гр) люжно такяго использовать для обозначения классов функций / со свойствами 2) и 3) соответственно, или просто функций с этими свойствами. Таким образом, символ о(гр) не обязательно означает каждый раз одну и ту же функцию /. Аналогичные соглашения применяются также для 0(гр).

Напрнмор, о(гр)+ о(гр) = о(гр), о(гр) = 0(гр). Следуот отметить, что многие соотношения такого типа, включая второй пример, необратимы: равенство 0(гр) = о(р) неверно. В то гтее время все соотнозпения с символами обратимы. Б качество примера приведем выражение е'*(1+ о(1))+ е (1+о(1)) = 2созх+ о(1). (203) Его легко проверить, цредставлвн сх'" в виде сов х.+-1згя х и вспоминая, что тригонометричесние функции ограничены.

Необходимо отметить еще тот важный момент, что правую часть соотношения (2.03) нельзя переписать в виде 2(1 + о(1) ) соз х, так как это означало бы, что левая часть точно равна нулго, если х — нечетное кратное л/2. В общем случае это не так, поскольку функции, представленные членом а(1), могут быть различными. ') В этой книге мы принимаем стандартное обозначение (в, Ь) дла открытого интервала и < х < Ь; (а, Ь) — длл соответствующего замкнутого вктервала а < х < Ь; (а, Ь) н [а, Ь) для замкнутых с одной стороны интервалов а < х < Ь и а < х < Ь соответственно. з) В оригинале Ппрйео сопз|зш.— Прим. перев.

17 СИМВОЛЫ-, с П О !ПРОЛОГ!ЖЕНИЕУ УПРАЖНЕНИЯ 2.1 '). Доказать, что если т — любое фпкспрованное чясло, то х' = е(е") и е — ' = е(х'). Доказать также, что 1и х = о(х') при Вес ) б. 2.2. Показать, что х+ о(х) = 0(х), (0(х))з = 0(хз) о(х'), 2.3, Показаттч что соз(0(х ')) = 0(1), з1п(О(х ')) = 0(х ') гг соз(х+ а+ с(1)) = соз(х+ а) + е(1), где а — дейстзптельная постоянная.

2.4. Верно лп соотношение (1+ о(1)) сй х — (1+ о(!))з)с х = (1+ с(1))е "? 2.5. Показать, что 0(ср)0(с?) = 0(ссс?), О(ср)е(с(>) =о(сгс?), 0(ср) + 0(с?) = 0((ср( + (с?(), 2.6. Чему равняется граничная постоянная з соотношениях (х+ 1)з = 0(хс), (хз — 1/2)'с' = 0(х), хе = 0(е*) в интервале [1, сс)? 27. Доказатгь что есле / ср, то / = (1+ е(1))ж Показать, что обратное справедлива, если бесконечность не является предельной точкой нулей функцки ср.

2.8. Пусть ср(х) — положительная незозрастасощзя функпия х и /(х) ср(х) при х — е сс. С помощью предыдущего увраяснения показать, что зпр /(1) ср(х) (х-с. ос). Сы1х, ) 6 3. Символы, о и О (продолнсение) 3.1. Определения, введенные в з 2.1, можно обобщить несколькими способами. ([апре!мер, переменная х не обязательно доли!на быть непрерывпои; она может стремиться к бесконечности по последовательности значений. Таким образом, з(п(пи+ (/и) = О()/и) (и-ь- оо) при условии, что и — Полые числа. Далее, мы не обязаны ограничивать рассмотрение поведением отношения /(х)/бс(х) лишь при т-с- са; определения 1), 2) и 3) из 2 2.( применимы и в случае, когда х стремится и гпобой конечной точке с. Например, если с ~ О, то при х — с-с (хз — сз)/хз — 2(х — )/с = 0(х — с) = о(().