1625913102-ff4f1ea09490ce7370ae6f6f6f7de8d5 (532421), страница 79
Текст из файла (страница 79)
(86.1) Тем самым поверхность можно считать двумерным рнмановым пространством с метрической квадратичной формой (86.1) и соответственно с метрическим тензором 8'ю = Е 11та = Каг = ~ 4ая = О. (86.2) Риманова геометрия, порождаемая на поверхности метрической квадратичной формой (86.1), носит название внутренней геометрии поверхности; она инвариантна при изгибании поверхности, Аналогичным образом и в многомерных евклидовых (в том числе и псевдоевклидовых) пространствах )с„ мы можем рассматривать любые поверхности У , получая на них каждый раз определенную рнманову геометрию (при условии (85.14)). По сравнению с научением поверхностей У в произвольном римановом пространстве У„ мы получаем здесь ряд преимуществ. Прежде всего будем считать, что уравнения поверхности У„ хг=х'(и', ..., и") (86.3) записаны в аффинных координатах х', Тогда можно перейти к параметрическому уравнению поверхности в векторной форме, выразив радиус-вектор х произвольной точки поверхности как функцию параметров: х = х'(и', ..., и ) ег, или, коротко, х = х (и', ..., и ).
(86.4) Касательный вектор к произвольной кривой и'=и'(1) (а=1, 2, ..., лг) (86.5) нз нашей поверхности мы находим, дифференцируя радиус-вектор хпо1: дх дх 4и" Й ди" дГ ' Проводя через данную точку М всевозможные кривые по поверхии* ности, мы получаем в качестве — всевозможные тензоры $" на у , Ж В дх а в качестве — — всевозможные векторы В, касательные к дГ Ю 392 (гл. чп РНМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА в данной точке. Итак, дх ~а ди' (86.6) дх В результате касательные векторы — откладываемые от точки М, дГ ' заполняют лг-мерную плоскость А, построенную на векторах дх дх ди'' '''' дкм' (86.
7) касательных к координатным линиям. Линейная независимость этих векторов видна из условия (83.2). В отличие от риманова пространства все рассматриваемые векторы и плоскость А (касательная плоскость) принадлежат тому же евклидову пространству, в котором расположена поверхность (а не специально построенному в каждой точке М касательному пространству А„). Этому же евклидову пространству принадлежит и нормальная плоскость В„ , ортогональная к касательной плоскости А . В частности, для гиперсферы 3„ , с центром в начале О радиус-вектор х удовлетворяет соотно- пгению х' = сопзй Дифференцируя х' вдоль любой кривой на гиперсфере, получим: дх дх 2х — =О, т. е.
— ) х. дГ ' ' ' дГ Таким образом, все касательные к гиперсфере 3„ , векторы в данной точке (а значит, и касательная гиперплоскость А„ ,) ортогональны к радиусу-вектору данной точки. Наконец, линейный элемент на поверхности У можно найти, применяя формулу (65.10): к произвольной кривой на поверхности У . Так как дх дх = — „с(и' ди* то г(аа = дха = — — г(и" г(иа. дх дх ди" дна (86.8) Сравнивая с (85.13), получаем: дх дх дл' дна' (86.9) Мы получили выражение координат метрического тензора в римановом пространстве У (предполагаем, что Ве(( 0„1( Ф О). Возникает 8 87) 393 нехвклидовы пгостглнствл вопрос, любое ли наперед заданное риманово пространство (l„ можно реализовать таким образом на некоторой поверхности в 77„.
Можно было бы доказать (хотя и совсем не простым образом), что ответ будет утвердительным, если вмещающее евклндово пространство гс„ взять достаточно большего числа измерений, а именно; и= гл (лг+ 1] 2 (86,1 0) Разумеется, иногда И можно реализовать н в енклиловом пространстве меньшего числз измерений, но чтобы провести реализацию во всех случаях, нужно Взять указанное аначенис и.
При этом наше утверждение носит локальный характер, т. е. мы можем гарантировать реализацию И в виде поверхности в )т'„, беря И не в целом, а лишь в некоторой окрестности любой сто точки. Кроме того, функции 8"гу(хг, ..., х") пРедполагаютса аналитическими, и УРавнениЯ поверхности получаются тоже аналитическими. Если жс 'к' псевдориманово пространство, то 77„ должно быть пссвдосвклидовым и притом подходящего индекса. Интересно отметить, что в случае лг = 2 формулз (86.10) лает л = 3, т.
е. любое двумеркое риманово пространство локально реализуется на некоторой поверхности в трехмерном евклидавом пространстве. В 1956 г. Нэш показал, что собственно риманово И в целом может быть реализовано в собственно евклидовом Й„ при достаточно большом л. 8 87. Неевклидовы пространства Мы хотим сейчас рассмотреть важный частный случай поверхности )г в 77„, именно, когда эта поверхность является гиперсферай Ю„ м Гилгрггргрой 8„ т мы называем множество всевозможных точек в Й„, находящихся на постоянном расстоянии (вещественном, чисто мнимом или нулевом) от фиксированной точки. Римановы геометрии, возникающие на гипсрсфсрах 5„ г в 7с„, обладают рядом замечательных свойств; эти геометрии мы будем нааывать неевклидовыми, а гиперсферы 5„ ю рассматриваемые как римановы пространства, — неевклидовыми пространствами.
Чтобы оценить важность неевклидовых геометрий, достаточно принять во внимание, что геометрия Лобачевского принадлежит к их числу (хотя и была получена самим Лобачевским совершенно иным путем). Заметим, что приходится говорить о неевклидовых пространствах во множественном числе, потому что даже прн ланном числе измерений л евклидовы пространства гс„ могут обладать различными индексами (г = О, 1, 2, ..., и, в связи с чем гиперсферы 8„ „ будут представ- 394 [гл, чп гимлновы пгостгьнствь лять собой существенно различные римановы пространства. Вещественное или чисто мнимое значение радиуса гиперсферы тоже играет роль.
Нулевого же аначения мы ие допускаем, так как 8„ , в этом случае будет изотропной поверхностью, именно изотропным гиперконусом, или даже просто сводится к точке (для собственно евклидовых пространств при )г = 0 или и). Пусть в евклидовом пространстве 77„ индекса й, отнесенном к ортонормированному реперу, рассматривается гиперсфера Ю„ д вещественного радиуса р с центром в начале О. Ве уравнение будет: — х' —... — х +х'+' +...
+х" = р', (87.1) если считать, что скалярный квадрат вектора х имеет вид ха= — х' —... — х~ +х +' +... + х" . (87.2) Заметим, что то же уравнение (87.1) можно переписать в виде хь~ .л+т та 2 (87. 3) и истолковать как уравнение гиперсферы 5„ , мнимого радиуса р) в евклидовом пространстве )7„ индекса и †, в котором х =х' + .+х — х ' —...— х 2 ' Ь Фег ь (87А) Так как при этом изменился знак метрической квадратичной формы в Йю то то же самое произойдет и иа о„ ы вследствие чего рима- нова метрика на 3„ , испытает тривиальное преобразование: все длины умножатся на Итак, гиперсфера радиуса р в )т„ данного индекса й несет на себе такую ясе риманову метрику, как и гиперсфера радиуса р( в Я„ дополнительного индекса и — й, если не считать умножения всех длин на 7. Вычислим теперь фактически метрическую квадратичную форму на гиперсфере о„ , вещественного радиуса р ) О.
При этом случай [г= и исключаем, так как тогда гиперсфера вещественно1о радиуса р невозможна (как видно из уравнения (87.1)). Это позволяет иач считать, что в метрической квадратичной форме (87.2) х" входит всегда с плюсом. Мы должны прежде всего ввести какую-либо координатную систему на д„ т, Один из удобнейших способов для этого дает стереографическая проекция гиперсферы Ю„ „ на гиперплоскость тс„ особенностью стереографической проекции явлиется то, что центр проектирования Р выбирается на самой Ю„ , а плоокость проекций )с„ д проходит оргогонально к радиусу ОР (т. е. параллельно касательной гиперплоскости к 5„ , в точке Р).
Разумеется, тс„ не проходит через Р. 395 нееВклидоВы ВРОстРАнствА 8 87) Рнс. 17 В самом деле, при х"= р мы берем точку М на пересечении Я„ с гиперплоскостью 77„ , (х" =- о), параллельной 77„ , и проходящей через Р. Тогла проектирую|ций луч РМ тоже параллелен 77„ , н проекции 7. не существует. Заметим, что плоскость 77' , имеет наНРавлающими вектоРами оРты е„ ..., е„ д, тем самым оРтогональна к радиусу-век|ору ОР, идущему по оси Х", и, следовательно, служи~ касательной гиперплогпостью и гиперсфере Ю„ д в точке Р. ПеРесечение )с„ , и О„ д опРеделаетсЯ УРавнением гипеРплоскости х" = о и уравнением гиперсферы (87.1); это последнее можно переписать, пользуясь х" = р, в виде — (х') — ... — (хь) + (хь+')' + ...
+ (х" ') = О. (87.81 Отсюда видно, что в гиперплоскости 77 мы получаем изотропный конус с вершиной в Р. В самом деле, х', ..., х» ' прп х" =р Всем этим условиям можно удовлетворить, взяв в качестве центра проектирования точку Р(0, О, ..., О, р), а в качестве плоскости проекций 77„ , †координатн плоскость х" = О, Допустим, что, проектируя точку М (хд.
..,х") гиперсферы из Р на 77„ д, мы попадзем в некоторую точку 7.(и', ..., и» ', 0) плоскости И„ „ где черези', ...,и" 'обо- Х значены х', в точке 7„ На рис. 17 изображен случай и = 3, при- р чем УРавнениео' имеет Яг вид ~((д411~44 " ' )( 4 Х' х'= — х' +х' -'- »(» +х' = р', точка Р имеет коорди- |Рг наты (О, О, р), а и', и' совпадают с координатами х|, хя точки 7. На координатной плоскости 77 . В случае обычного пространства и = 3, 7г = О, и мы получаем обычную стереографическую проекцию. Примем ид, ..., и» д за параметры на О'„ д и выразим х|, ,х" через них; это ласт нам параметрические уравнения гиперсферы Я„ Точку М мы будем бра|.ь на Ю„ д где угодно, однако при условии х" ~ р.
(87.5) 396 (гл. Ры РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА играют роль ортонормированных координат на Я„ с началом в Р, причем левая часть уравнения служит метрической квадратичной формой. В случае собственно евклидовой геометрии на плоскости !с„ , (и тем самым и на 77„ ,) изотропный конус вырождается в точку Р, которая, таким образом, лишь одна не имеет проекции на тс„ , (как это и имеет место в обычной стереографической проекции). )(а рис. !7 изотропный конус в гс; представлен парой прямолинейных образующих поверхности Ь„проходящих через Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
