1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu), страница 7

Поэтому (см.с.30) этот суммарный момент должен равняться нулю. Получаем: 3. Горизонтальный однородньлй вал равномерно вращается с угловой скоростью ю. Перпендикулярно к оси вала на равных расстояниях от подшипников на вал эксцентрично насажен однородный диск. Требуется определить давления на подшипники при вращении вала. Рассмотрим силы инерции дтсг г, соотнетствующие отдельным элементам дт диска (рис.

18). Это сходящиеся силы, направленные от оси вала. Равнодействующая этих сил равна Л = ш ) г дт = Мгю гс, где Мг — масса г г диска, а гс = ОС (Π— точка пересечения плоскости диска с осью вала., а С вЂ” геометрический центр диска). Применяем принцип Даламбера и определяем статические давления на подпгипники, считая, что к оси вала приложены три силы г); Ц сила веса вала Мн; 2) сила веса диска ЛХгк и 3) сила 3 = Мгюггс. Давление Гч па каждый подшипник определяется формулой 1 г уху = — (М + ЛХг ) к + — ЛХг ш го, 2 2 Сила гэ имеет максимальную величину Л;, = — (М -~ ЛХг ) д -Р— Мгш ОС г 2 2 в том положении диска, когда геометрический центр диска С расположен под точкой О.

й 5. 1Ълономные системы. Независимые координаты. Обобщенные силы Пусть дана голономная система из Х материальных точек Р, с радиусами-векторами ) г = х 1+ у,1+ с,1с (и = 1, ..., Х), подчиненная конечным связям Х (Х,г,) = 0 (о = 1, ..., И), или (в эквивалентной записи) („(Х,х„,гу, з,) =0 (о=1, ..., д). Главный момент внутренних сил равен нулю. Равнодействующая элементарных сил инерции для вала равна пулю и поэтому не учитывается. й 3, 1с — орты осей Ох, Оу, Ог иверцвэльной системы коордипат. 38 Гл. й Дифференциальные уравнения движении Мы будем предполагать, что с) функций уо от ЗХ аргументов т„у, вп (п = 1, ..., Х) независимы ); 1 здесь рассматривается как параметр.

Поэтому мы можем из уравнений (1') выразить с) координат как функции Ззт — Й остальных и времени 1 и рассматривать эти ЗХ вЂ” д координат как независимые величины, определяющие положение системы в момент времени й Однако не обязательно в качестве таких независиглых координат брать декартовы координаты. Можно все ЗХ декартовых координат выразить в виде функций от и, = — ЗХ вЂ” а независимых параметров Ой...,во иота з'и = Ры(1~ Чз1 1 йп)~ уп = Фь()ч Чы ~ Чп)~ (2) з. = Х.(1, Оы ", 0 ) (и = 1, ", Х) Эти функции, будучи подставлены в уравнения связей (1'), обращают последние в тождества. Кроме того, мы будем предполагать, что любое положение системы, совместимое со связями в данный момент времени, может быть получено из равенств (2) при некоторых значениях величин дй ..., Оп, Равенства (2) эквивалентны векторным равенствам г,=г,(1,ды...,дп) (а=1,...,Х).

(2') Скалярные функции (2), а следовательно, и векторные функции (2') предполагаются непрерывными и дифференцируемыми. Минимальное число величин ум с помощью которых формулами (2) можно охватить все возможные положения голономной системы, совпадает с числом степеней свободы этой системы н = ЗХ вЂ” д (сьь с. 18) . Величины Оы ..., Оп в формулах (2) или (2') (и чисто степеней свободы) назьпзаются независимыми обобщенными координатами системы. Для каждого момента времени 1 между возможными положениями системы и точками некоторой области в и-мерном координатноь1 пространстве (ды ..., дп) устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Каждому положению системы в момент времени 1 соответствует точка в пространстве (ды ..., ап), изображающая это положение системы. Движению системы соответствует движение точки в координатном пространстве (ды ..., Оп), В противном случае, при наличии, например, зависимости вида уз == йФ, ", уз зд), овна из связей (в данном случае Ул — — 0) либо протнноречила бы остальным )при й(0,..., О, 8) к О), либо битла бы следствием остальных )при й(0, ..., О, С) = О).

у б. Голономные системы Коли все связи стациопарпы (склерономная система!), то время 1 не входит явно в уравнения (1'). Тогда всегда можно выбрать так координаты (уы ..., дп), чтобы и в уравнения (2) время 1 пе входило. В дальнейшем предполагается, что для склерономной системы независимые координаты (Ум ..., дн) выбраны именно таким образом. Тогда для склерономиой системы формулы (2) и (2') принимают вид х» = '«о»(Ч~)~ у» = «р»(ч«)~ зн = Х»Й~) (н =-1~ ".~ Л')~ (3) нли г .= г,(д,) (н =- 1, ..., Х). (3') Примеры. 1. Двойной мол»пнин (рис.19), движущийся в плоскости, имеет две степени свободы.

В качестве независимых координат д«и дэ можно взять углы р и й. 2. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. В качестве независимых координат можно взять три координаты хл, ул, ел какой-либо точки А тела и три угла Эйлера т, д и у», определяющие поворот системы осей АЩ, неизменно связанной с телом, относительно неподвижной системы осей координат Охую Углы Эйлера определяются следующим образом (рис.

20) . Проводим через точку А оси Ахц Аун Ахм параллельные и одинаково направленные с осями Ох, Оу, Оа Линия АЛ' пересечения плоскостей Ах»у» и Абу называется линией узлов ). Тогда б -- «угол нутацин» угол л«ежлу осями Ащ и АЕ; «д -- «угол прецессии» вЂ”. угол между осями Ах» и АЛ'; ~р — «угол чистого вращения», образованный осями АЖ и АЕ. Тремя параллельными сдвигами вдоль осей Ох, Оу, Оз — соответственно па хл, ул, зл триэдр осей Охуз переходит в положение Ах» у«зн Тремя последовательными поворотлми— на угол «б вокруг оси Азы на угол б вокруг осн Адг и на угол Э» вокруг оси А~ — триэдр Ахгугз« переводится в положение АЩ. Такил«образом, величины хл, ул, ел, р, б, «» определяют положение триэдра осей Абц~ относительно триэдра Рис.

20 Охуз, т. е, определяют положение данного твердого тела относительно исходной системы осей координат. Возьмем произвольную точку твердого тела. Она определяется заданием ее ко- Ось АХ направляем тэк. чтобы поворот вокруг этой осп от оси Ат до Аб по наименьшему углу совершался против часовой стрелки. 40 Гл. й Дифференциальные уравнения движения ординат б, ть С. Тогда координаты х, у, е этой точки могут быть представ- левы как функции величин хл, ул л ф, б, ~р. Так, например, ~ш рис.20 легко усмотреть, что х = хл 4- ( яп эв з1п д+ у соз р яп б+ 4 соз д. Аналогичные, несколько более сложные формулы имеют место для х и у '). Эти формулы представляют собой частный случай формул (2). Они не содержат явно й Свободное твердое о ело является склерономной системой.

Рис. 22 Рис. 21 Заметим, что при движении твердого тела величины хл, ул, гл, йн д, х меняются и приведенное выше разложение перехода от Охуе к АЩ на три параллельных сдвига и три поворота дает представление произвольного движения твердого тела в виде сложного (составного) движения, состоящего из шести простых движений: трех поступательных (вдоль осей Ох, Оу, Ох) и трех чисто вращательных (вокруг осей Аем АХ и А4). Поскольку угловая скорость в сложном движении равна векторной сумме слагаемых угловых скоростей, то ы = ие + ыв + ыт, (4) где ыт ыв, со„направлены соответственно вдоль осей Аем АХ, А4, причем ые = Ф, ыв = д, ыт = Ф. 3. Свободн я материальная тпочна М имеет три степени свободы.

В качестве независимых ксюрдинат можно взять декартовы илв какие-либо другие координаты гочки. В случае, когда в качестве ды дя уз берутся цилиндрические координаты г, ф, х, формулы (2) выглядят так (рис. 21): х=тсоз18, у=тяпам, (3) В случае сферических координат т, Э», 1в (рис. 22) вместо формул (5) имеем у=тяпСяпх, х=тсозсь (О) х = т соз ф яп ~р, ~) См., вапример, )25. — С. 77 и 83).

у б. Ролономнь»с системы 4. Несвободная материальная точка ЛХ находится на подвинсной сфере (х — а!) -!- (у — б!) + (з — с!) = г . Тогда п = 2 и в качестве независимых координат можно использовать «долготу» и «широту» на сфере (рис. 23); х = а!+г соя о1 соя оз, у = Ы+г я1п о1 соя д», я = с!+ г я!и а. Каждой координате !71 соответствует своя обобщеннал сила с„», (1 = 1,..., и). Обобщенные силы определяются следующим образом. Рассмотрим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях бА = ~~1 Р„бг,. »=1 (7) Рис.

23 Но виртуальными перемещениями бг, являются виртуальные дифференциалы (т. е. дифференциалы при фиксированном («замороженном») !) от функции ) г,(1, д,)! (8) Подставим выражения (8) в правую часть формулы (7) и выразим элементарную работу активных сил на виртуальных перемещениях через произвольные элементарные приращения бд, независимых координат о, (1 =- 1,..., и): бА=~ У„~ — б!71=~ ~~ Р,—,"~б61=~ су!бд«, (9) »=1»=1 »=1»=1 »=1 бг =-О (о — -1, ..., И), д) дг где дг (и = 1, ..., Л') -- виртуальные дифференциалы.

Но уравнения (») совпадают с первыми д уравнениями (7) ва с. ! 6, которыми определялись виртуальные перемещения голояомяой системы, Следовательно, виртуальные дифференциалы радиусов-векторов являются виртуальными перемещснилми точек»олонслтой системы. Действительно, функция г (1, с,) (и = 1, ..., »У), будучи подставлены в уравнения связей ! (1, г ) = О (о = 1, ..., д), обращают зтя уравнения в тождества. Продяфферевцяруем почлевяо полученные тождества, предварительно зафиксировав !.

1!айдем: 42 Гл. й Дифференциальные уравнения движенил где коэффициенты при бее «обобщенные силы Я,» равенствами к 1з«=~~ в» (1=1 ... и), сгу» определяются (10) бА, бо, П р и м е р ы. 5. Твердое тело может двигаться только поступательно вдоль оси х. Тогда и = 1 и в качестве независимой координаты можно взять абсциссу х какой-либо точки тела А.

При этом бА = Хбх, где Х -- сумма проекций на ось х всех активных снл, действующих на тело. Очевидно, что Х и есть обобщенная сила для координаты х: 0 = Х. (12) 6. Твердое тело может только враи4аться вокруг неко«порой неподвижной оси и. Соответствующий угол поворота»» может быть взят в качестве независимой координаты, Тогда бА = Ь„б»», (13) где Л . суммарный момент всех активных сил относительно оси враще- О=7„. (14) 7.