1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu), страница 2

Якоби, системы с циклическими координатами (главы П, И1, 1У и ЧП). Следуя идеям А. Пуанкаре и Э. Картава, автор кладет в основу изложения материала интегральные инварианты механики, которые здесь являются не декоративным украшением теории,а ее рабочим аппаратом. Технические приложения связаны с рассмотрением несвободных систем. Эти системы подробно изучаются в главе 1. В специальном параграфе этой главы, посвященном электромеханическим аналогиям, выясняется возможность распространения аналитических методов механики на электрические и злектромеханические системы.

В главах Ч и Ъ1 даны приложения аналитической механики к теории устойчивости Ляпунова и теории колебаний. Наряду с классическими вопросами теории линейных колебаний, излагаются и элементы современных частотных методов. Задачи нз динамики твердого тела разбираются в отдельных примерах. Книга предполагает у читателя знакомство с общими основами теоретической механики и высшей математики. Книга предназначается для студентов и аспирантов механико-математических, физических и инженерно-физических факультетов университетов, а также для инженеров-исследователей и других специалистов, желающих расширить и углубить свои знания в области механики.

ГЛАВА 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ л'РАВНЕНИЯ ДВИяКЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОх1ЕК $ 1. Свободные и несвободные системы. Связи и их классификация Изучается движение системы материальных точек Р, (и = 1, ..., Аг) относительно некоторой инерциальной (галилеевой) системы координат. На положения и скорости точек системы наложены ограничения геометрического или кинематического характера, называемые связялеи. Системы с такого рода связями называются несвободными в отличие от свободных систем, у которых подобные связи отсутствуют.

Аналитически связь выражается уравнением ') у"11,г„г„) = О, где в левую часть входят время 1, радиусы-векторы г и скорости та = г всех точек Р„системы (р = 1, ..., А'). В частном случае, когда скорости г, не входят в уравнение связи (1), связь называется конечной или геометрической. Ее аналитическая запись выглядит так: (2) 1(т,г ) = О.

Точка, поставленная над буквой, обозначает дифференцирование соответствующей величины по времени. Все радиусы-векторы строятся из одного и того же полюса, неподвижного в данной системе координат. Далее, Лй г,г„) = о представляет собой сокращенное обозначение для функции Лй гь ..., гм, гь ..., гге), Подобного рода сокращенные обозначения будут употребляться на протяжении всей книги. Гели х, р, х декартовы координаты точки Р в рассматриваемой системе координат (и = 1, ..., Х), то функцию З" можно считать функцией от бл" -~- 1 скалярных аргументов й л, Кю х, я„, у, й 1и = 1, ..., .'у). Относительно функции А как и относительно всех функпий, встречающихся в дальнейшем тексте, предполагается (при отсутствии соответствующих о~ опорок), что эти функции непрерывны вместе с теми своими производными, которые фигурируют в соответствующих местах текста.

12 Гл. б Дифференциальные уравнения движения В общем же случае связь (1) называется дифференциальной нли кинематинескай В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только таких дифференциальных связей, в уравнения которых скорости точек входят линейно: 1 г,+Р=О. е=-1 Здесь 1„г„-- скалярное произведение векторов 1, и г„, а векторы 1, и скаляр Р представляют собой заданные функции от 1 и всех ге (р, и = 1, ..., йг). При этом предполагается, что векторы 1, пе могут все одновременно обращаться в нуль.

При наличии конечной связи вида (2) система не может в каждый данный момент времени занимать произвольное положение в пространстве. Конечная связь накладывает ограничения на возможные положения системы в момент времени й При ншгичии же только дифференциальной связи система в любой момент времени 1 может иметь произвольное положение в пространстве. Однако в этом положении скорости точек системы уже не могут быть произвольными. Дифференциальная связь накладывает ограничения ва эти скорости.

Каждая конечная связь вида (2) влечет за собой как следствие дифференциальную связь, уравнение которой получается почлепным дифференцированием равенства 12): д)' д~ о=1 (4) где ) д))дг„= бгас)„) (и = 1, ..., Х). Но такая дифференциальная связь не эквивалентна конечной связи 12). Она эквивалентна конечной связи у(1,г„) =- с, (5) где с произвольная постоянная. Поэтому конечная связь (4) называется иатеерируемвй.

Заметим, что и прямоугольных декартовьгх коордигтитях уравнения связей 11) — (4) записываются так: ,~(1 те~ Уг~ ье хг Уе 4 ) 0~ (2') у(1, и, у, ье) = О, дт дУ, дт , дУ 1 -1 — — 4 т — - 1с 1о = 1, ..., Х) дг, дх, ду дх, ) Если г = х 1-~- у,1 Л х 1с, где 1, 1, 1с — азаимио-ортогоиальиые орты иоордииатиых осей, то 13 у1.

Свободные и несвободные системы (А„х, + В,у„+ С,г„) + Р = О '). (3') ~ ГЮ, В7, В7,~ ВУ вЂ” х+ — у+ — 4)+ —,=О. ~,(г дх ' ду " дг, ") д1 (4') Примеры. 1. Материальная тпочка махает двигаться тполько по поверхности. Пусть уравнение этой поверхности задано в виде 7(г) = О у(х, у, г) = О. (б) или (б') Это конечная стационарная связь. Если поверхность подвижная или дефорь>ирующаяся, то в уравнение поверхности явно войдет время Н ,7(й г) = О у(1, х, у, г) = О.

(7) или (7') В этом случае связь коне.шая, но нестационарная. А„, В, С (о = 1, ..., М) — скалярные функции от г у>т гя. Часто к сами дифферекдкальвые веинтегрируемые кеголокоыныык. Иногда диффергкдизлькые ивтегрируеыые полуголономпыми. хт, уы х>, ..., хн, связи пазывзются связи казываются Конечная связь (2) или (2') называется стационарной, если 1 не входит явно в уравнение связи, т.е. если ду,>дг = О. В этом случае левая часть уравнения дифференциальной связи (4) линейна и однородна относительно скоростей.

По аналогии с этим дифференциальная связь (3) или (3') называется стационарной, если Р = О и векторы 1, в уравнении (3) [соответственно коэффициенты А„В„ С в уравнении (3')) не зависят явно от й Система материальных точек называется голономной, если на точки этой системы не нале>иены дифференциальные неинтегрируемые связи. Таким образом, голономной является всякая свободная система материальных точек, а также несвободная система с конечными или дифференциальными, но интегрируемыми связялти. У голономной системы все связи могут быть записаны в конечном виде.

При наличии дифференциальных неингегрируемых связей система называется неголономной~). Система называется ск.лерономной, если на иее наложены только стационарные связи. В противном случае система называется реономной. 14 Гл. й Дифференциальные уравнения движения 2. Две материальные точки соединены стержнем постоянной длины й В этом случае уравнение связи имеет вид (г1 — гг) — 1 = 0 2 г (8) или (лг — кг) +(уг — уг) + (21 — 22) — 1 = О.

1 2 1 (8') (О) или (кг — лг) + (уг — уг) + (21 — 22) — ф (С) = О. (О') Это голономная реономная система. 4. Две материальные точки в плоскости соединены стержнем постоянной длинь1 1 и могут двигаться только так, чтобь1 скорость середины стержня была направлена вдоль стержня (движение конька по лоскости). Уравнения связей записываются следугощим образом: 21 = О, 22 = О, (кг — лг) + (уг — уг) — 1 = О, 2 2 2 К1+Хг У1+У2 К1 Л2 У1 У2 (10) Эта система неголономная, так как последнее из уравнений (10) определяет дифференциальную неинтегрируемую связь. Наряду со связями вида (1), которые называются удерживаюгцими, в механике рассматриваются также неудерживаюшие связи, которые записываются в виде неравенства Я,г„,г,) >О.

В качестве примера можно рассмотреть две материюгы|ые точки, соединенные нитью длиной Е Эта связь выражается неравенством (2 — (г, — гт)2 > 0 (12) Если в условии (11) имеет место знак равенства, то говорят, что связь напряжена. Это голономная склерономная система. Заметим, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, находящихся на неизменном расстоянии друг от друга, т.е. подчиненных связям вида (8). С этой точки зрения свободное твердое тело является частным случаем несвободной голономной склеропомной системы материальных точек.

3. Две магпериальные точки соединены стержнем переменной длины 1 = 1(1). Уравнение связи записывается так: 15 у 2. Возможные и виртуальные перемещения Движение системы, на которую наложена неудерживающая связь, можно разбить на участки таким образом, чтобы на одних участках связь была напряжена и движение проходило так, как если бы связь была удерживающей, а на других участках связь была не напряжена н движение проходило так, как если бы этой связи не было. Таким образом, на отдельных участках неудерживающая связь либо заменяется удерживающей, либо совсем отбрасывается. Исходя из этого, мы в д льнейшем будем рассматривать исключительно удерживающие свлзть '3 2. Возможные и виртуальные перемещения. Идеальные связи Пусть на материальную систему наложены д конечных связей ~ (1, г,) = О (ст = 1, ..., д) и д дифференциальных ) 1д,ч„+Рр =О ()з =-1, ...,д).