1611690473-ac0293a4673bfd0fa1a9b3b73fee187c (Лекции Гантмахерu), страница 4

П р и м е р ы. 1. Материальная точка вынуждена двигаться по неподвижной гладкой поверхности (рис. 4). Рнс. 4 Рис. 5 В этом случае любое возможное перемещение дг, как и любое виртуальное перемещение дг, лежит в плоскости, касательной к поверхности в точке Р, а реакция гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности в этой точке; поэтому всегда К де = О или К бг = О.

2. Материальная точка вынуждена двигаться по подвижной или деформирую«цейся гладкой поверхности (рис. 5). В атом случае возможная скорость материальной точки и, следовательно, бесконечно малое перемещение «)г = ч Ж уже не лежит в касательной плоскости (см. пример 2 на с. 17). Виртуальное же перемещение Бг, которое представляет собой бесконечно малое возможное перемещение для «оста- 21 б2. Возможные и виртуальные перемещения новленной», или «замороженной» поверхности, лежит в касательной плоскости. Поскольку реакция и в случае подвижной или деформирующейся гладкой поверхности направлена по нормали к поверхности, то Кбг = 0 (в то время как К де ~ 0). Таким обрезом, гладкая поверхность, как неподвижная, так и подвижнол или дефор- К.

мирующаясл представляет собой идеальную связь. Пример 2 наглядно поясняет, почему при определении нестационарных идеальных связей необходимо приравнивать нулю работу сил реакций на произвольных виртуальных, а не возможных перемещениях. В дальнейших примерах мы встретимся уже только со стационарными связями ). Рис. 6 ттк = «'»1 + «»г, где Ь вЂ” суммарный момент сил уч1 и учг относительно центра инерцни.

Но, по условию, гп. = 0 и 1 = О. Следовательно, 1ч'«+ Х = 0 и Е = 0 при конечных ю и е ). Из этих равенств следует, что силы «ч «и «чг, а значит, и К«и Кг прямо противоположны, т. е. направлены вдоль стержня. Далее, К~ бг~ + К г бгг = — Кг дг«+ Кг дгз = Кг(агг — дг«) = Кг а(гг — г1). Пусть Кг = с(гг — г«). Тогда с г К«бг~ + Кз бгз = с(гг — г«) 4гг — г«) = — а(гг — г«) = О., 2 поскольку (гг — гг) = солги г Из определения идеальных связей вытекает, что иестациоиариая связь является идеальной, если идеальными являются все ее ковфигурацив в различные моменты времени, рассматриваемые как стационарные связи. Если движение стержня не плоскопараллельное, то скалярное равенство 1е = й заменяется векторным (аде) (1ы) = Е, где 1 — тензор инерции, а ы угловая скорость. Из равенства 1 =- 0 снова следует а = О.

3. Две материальные точки соединены стержнем неизменной длины с пренебрежимо малой массой (рис.б). Обозначим через К«и Кг реакции связи, приложенные к материальным точкам Р, и Рг. Тогда согласно третьему закону Ньютона на стержень действуют силы 1ч« = — К«н «чг = — Кг. Обозначая через т и ы массу стержня и ускоренне его центра инерции, а через 1 и е — центральный момент инерции и угловое ускорение, будем иметь: 22 Гл. 1 Дифференциальные уравнения движения Абсолютно твердое тело является систел«ой материальных точек, в которой на любые две точки наложена связь рассматриваемого типа.

Поэтому твердое тело можно считать системой материальных точек, подчиненных идеальным связям. При отсутствии других связей, кроме связей, осуществляющих жесткое соединение точек тела между собой, твердое тело называется свободным. Рис. 7 Рис. 8 4. Два твердых тела шарнирно соединены в точке А (рис. 7). Пренебрегая массой и размерами шарнира, можно утверждать (как и в предыдущем примере), что Кг + Кг = О.

Но тогда К, дг -~- К, бг = (К, ц- К,) бг = О. 5. Два твердых тела при движении соприкасаются иде льне гладкими поверхностями. (Тревиеы пренебрегаелй) (рис. 8) . В этом случае снова Кг+ +Кг = О. При этом Кг и Кг направлены по общей нормали к поверхностям. С другой стороны, относительная скорость этих тел в месте соприкосновения ъ г — им а значит, и разность возможных перемещений дгг — Ыгг = (иг— — иг) Ж лежат в общей касательной плоскости. Поэтому Кг бгг + К дгг = Кг дгг + Кг дгг = Кг(дгг — дгг) = О. 6.

Два твердых тела при движении соприкасаются идеально шероховатыми иоверхнвстлми («зубчатое зацепление«). В этом случае относительная скорость скольжения равна ъг — иг = О. Следовательно, и Игг — дгг = = (иг — тг) дг = О. Поэтому и здесь Кг бгг + Кг дгг = Кг(дгг — дгг) = О. Сложный механизм можно рассматривать как систему твердых тел, которые попарно либо соединены между собой жестко или шарнирно, либо соприкасаются своими поверхностями. Если считать все з 3. Общее уравнение динамики жесткие соединения абсолютно жесткими, все шарниры идеальными, все соприкасающиеся плоскости -- идеально гладкими или идеально шероховатьпаи, то любой сложный механизм можно трактаовать как систему материальных таочек, подчиненную иде льным связям. Заметим, что во многих случаях подобная идеализация не является допустимой.

Так, например, пренебрежение силами трения может иногда существенным образом исказить физическую картину явления. В этом случае условие идеальности связей следует отбросить и вместо него взять другие условия, вытекающие из характера связей и законов трения. Однако можно поступить иначе.

Можно и в этих случаях считать связи идеальными, учитывая при этом только нормальные составляющие реакций негладких поверхностей и рассматривая силы трения как неизвестные активные силы. Появление новых неизвестных ком- пенсируется дополнительными соотношениями, получаемыми из экспериментальных законов трения. При такой трактовке понятия идеальных связей применимость этого понятия становится практически универсальной. В дальнейшем всегда предполагается, чтв все связи, наложенные на систему, являютася идеальными.

з 3. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа первого рода Для материальных точек несвободной системы имеют место уравнения т,тч,.=Р +В, (и=1, ...,Лт), где т,, масса и-й точки, чт, †. ее ускорение, а г', и В. соответственно равнодействующая активных сил и равнодействующая сил реакций, действующих на эту точку (и = 1,..., Лт). Поскольку связи идеальны, то в любом положении системы при любых виртуальных перемещениях (2) К бг,=О.

н=т Подставляя сюда вместо реакций К, их выражения из уравнений (1) и умножая обе части полученного равенства на -1,получаем (г'„— т,тт,) бг, = О. г =ч 24 Гл. й Дифференциальные уравнения движения Равенство (3) называется общ м уравнением динамики. Это равенство утверждает, что при движении системы в любой момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю.

Таким образом, общее уравнение динамики всегда выполняется для любого совместимого со связями движения, соответствующего заданным активным силам Р, (р = 1, ..., Х). Пусть теперь, наоборот, дано некоторое совместимое со связями движение системы, для которого выполняется общее уравнение динамики (3). Тогда, полагая К,=т,ту„— Е, (и=1,...,Х), "бг,=О (а=1,...,И), ау„ дг к=1 (4) 1л бг = О ()» = 1, ..., д). (5) «.=1 Умножая почлеппо рапспстпа (4) и (5) па произвольпыс скалярные в|ножители — Л„и — )«11 н складывая почлепно полученные равенства с равенством ~2), получаеьс у'~и.

— г ь — у', „Ь.) ь. =. а о=-1 ' Д=1 (6) 1) при этом не следует забывать, что общее уравнение динамики (3) представляет собой, по существу,пе одно уравнение,а систему уравнений, поскольку для любого момента времеви 1 в уравнение (3) вместо бг (ы = 1, ..., ~Ч) можно подставить пропзеольные виртуальные перемещения. будем иметь равенства (1) и (2).

Таким образом, в любой момент времени можно подобрать такие реакции В.„которые в силу равенства (2) были бы допустимымн для данных связей и при которых имеюг место полученные из второго закона Ньютона уравнения (1). Мы считаем, что зги реакции В., в действительности реализуются («гипотеза о реализацяи допустимых реакцийь) и что, следовательно, рассматриваемое движение соответствует данным активным силам Г,(с, ги, уя) (р = 1, ..., Х). Таким образом, обгцее дравнение динамики выражает необходимое и достаточное условие для того, чтобы движение, совмеспп мое со связями, соотвегпствовало заданной систпеме активиых сил Р (р = 1, ..., Х) ').

Найдем вьгражения для реакций К, с помощью так называемых неопределенных множителей Лагранжа. Выпишем соотношения, определяющие виртуальные перемещения точек системы (см. 3 2); 25 бЗ. Общее ураенение динамики В развернутом виде это соотношение запишется так: ~1е б б б бббб )б* »ббб бб »б*б б* =б. » —.-1 о=.б ' а=э (6') Здесь мы через (у), и (г), сокращенно обозначили выражения, которые отличаются от выписанного в формуле 16') коэффициента при бх, заменой букв х, А па у, В или на х, С соответственно. Соотношения 17') 8 2 позволяют выразить д+д из ЗЯ виртуальных приращений дх, ббу„бх, через остальные и = ЗХ вЂ” д — д приращений.

При этом определитель д, составленный из коэффициентов при «зависимых» приращениях в уравнениях (7') 8 2 отличен от нуля. Подберем Ы+ д множителей Л и рв так, чтобы в равенстве (6') коэффициенты при «зависимых» приращениях обратились в нуль. Это можно сделать, и притом единственным образом, ибо сшределитель д из коэффициентов при определяемых величинах Л, ббр не равен пулю. После этого в равенстве 16 ) остаются только слагаемые с независимыми приращениями бх„, ду„дх„.

Но тогда и коэффициенты при этих независимых приращениях также должны быть равны нулю. Иначе говоря, неопределенные множители Л„и бббб могут быть подобраны такб чтобы все скалярные коэффициенты в равенстве (6') и, следовательно, все векторные коэффициенты в равенстве 16) обращались в нуль. Но тогда Н, = ~~б Л "+~ 1»р1р„(о=1, ..., Х). (7) д7'„ Мы получили общее выражение для реакций идеальных связей через неопределенные множители Лагранжа Л„, ра (о = 1....., дб д = =1, ..., д). Подставляя выражения (7) для В., в уравнение (1), мы получим так называемые уравнения Лагра»бжа первого рода»): ш.~.— Р.+„„Лс,д -~-~дэ1о. (б — 1, ",А') (8) д7 о=1 дг, К этим уравнениям следует еще прибавить уравнения связей: 7' (г,)=-Об ~ ~1бб г,+08=-0 (о=1, ...,д; д=1, ...,д), (9) Эти уравнения были получены французским математиком и механиком Ж.Лагранжем в его звалбевитом трактате «Аналитическая механика», опубликованном в 1788г.

1русский перевод т,! вънпел а 1938г, т. 11 — е 1980г). В этом трактате впервые были изложены основы аналитической механики. 26 Гл. Л Дифференциальные уравнения движения Заменяя каждое векторное уравнение тремя скалярными, мы можем считать, что уравнения (8) и (9) составляют систему из ЗХ+ е(+ д скалярных уравнений с Згу + 1Х+ д неизвестными скалярными величинами х'„у„, х„, Ла, Хед. Интегрируя эту систему, мы получаем конечные уравнения движения и одновременно из равенств (7) — величины реакций связей.